聚焦“數(shù)學(xué)教育哲學(xué)”
——哲學(xué)視角下的數(shù)學(xué)教育（四）

鄭毓信

本系列的前幾篇文章已從不同角度指明了哲學(xué)思維對(duì)于數(shù)學(xué)教育的特殊重要性，作為本系列的結(jié)束篇，本文將聚焦“數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的建設(shè)與學(xué)習(xí)”這樣一個(gè)論題。筆者在此首先強(qiáng)調(diào)這樣一個(gè)基本立場(chǎng)：數(shù)學(xué)教育各個(gè)具體問題的哲學(xué)審視不應(yīng)被等同于數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的系統(tǒng)理論。另外，相對(duì)于純粹的理論建設(shè)而言，我們應(yīng)更加重視理論研究與教學(xué)實(shí)踐的相互促進(jìn)，特別是，不僅應(yīng)很好地發(fā)揮理論對(duì)于實(shí)際教學(xué)工作的促進(jìn)作用，而且應(yīng)通過對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的研究促進(jìn)理論的發(fā)展，包括對(duì)理論的正確性做出必要的檢驗(yàn)。上述立場(chǎng)事實(shí)上可被看成筆者這些年在這方面諸多工作的簡(jiǎn)要概括。

1995年出版的《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書主要反映了筆者建構(gòu)數(shù)學(xué)教育哲學(xué)系統(tǒng)理論的努力，相關(guān)研究可被看成是圍繞這樣三個(gè)問題展開的：什么是數(shù)學(xué)？為什么要進(jìn)行數(shù)學(xué)教育？應(yīng)如何進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)？也可以說，提供了關(guān)于數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)教育觀與數(shù)學(xué)教學(xué)觀的系統(tǒng)分析和論述。與此相比較，筆者2008年出版的《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的理論與實(shí)踐》一書可以說更加突出了數(shù)學(xué)教育哲學(xué)研究的實(shí)踐性質(zhì)，并以我國(guó)新一輪數(shù)學(xué)課程改革作為研究的直接背景。筆者2015年出版《新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書的主要目標(biāo)，是希望能以過去這些年的教學(xué)實(shí)踐為背景，在理論建設(shè)上取得新的突破。具體地說，盡管《新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書仍然聚焦上述三個(gè)問題，但并非《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書的簡(jiǎn)單重復(fù)，或只是作了少量的增補(bǔ)和調(diào)整，而是反映了筆者在這方面更加深入的思考，特別是，究竟什么是數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的主要功能？我們應(yīng)如何從事數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的研究？事實(shí)上，如果說《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書的主要特征是較強(qiáng)的規(guī)范性，那么，《新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書則采取了更加開放的立場(chǎng)，特別是，相對(duì)于各種簡(jiǎn)單化的斷言，書中更加強(qiáng)調(diào)了問題的復(fù)雜性與觀念的多樣化，并希望以此促進(jìn)讀者獨(dú)立思考，而不是直接提供解答；另外，相對(duì)于純粹的理論建構(gòu)而言，筆者希望能夠更好地體現(xiàn)理論研究的實(shí)踐價(jià)值。總之，如果說為數(shù)學(xué)教育提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)仍是筆者在這一方面的最終理想，那么，這里所說的“基礎(chǔ)”就不是指某種具體的理論或觀念，而是更加希望能有助于廣大數(shù)學(xué)教育工作者學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，包括不斷提高自己的理論素養(yǎng)，逐步養(yǎng)成反思的習(xí)慣與批判的精神，從而能將自己的工作做得更好，特別是表現(xiàn)出更大的自覺性。

那么，既然已經(jīng)有了上述三本著作，筆者為什么還要撰寫這篇文章呢？這可被看成“再認(rèn)識(shí)”的產(chǎn)物。筆者之所以做出這樣的努力，不只是因?yàn)閿?shù)學(xué)教育本身的發(fā)展為我們更深入地開展研究提供了新的背景與重要?jiǎng)恿?，它也?duì)我們很好地發(fā)揮數(shù)學(xué)教育哲學(xué)對(duì)實(shí)際教育工作的促進(jìn)作用提出了更高的要求。下面，筆者就對(duì)我們應(yīng)當(dāng)如何建設(shè)與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)教育哲學(xué)做出具體論述，相關(guān)分析將仍然圍繞數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)教育觀與數(shù)學(xué)教學(xué)觀這三個(gè)關(guān)鍵詞來(lái)展開。

一、數(shù)學(xué)觀

什么是數(shù)學(xué)？或者說，我們應(yīng)當(dāng)如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)？這也是中國(guó)旅美學(xué)者馬立平博士幾年前來(lái)南京時(shí)向筆者提的一個(gè)問題。筆者當(dāng)時(shí)首先強(qiáng)調(diào)了這樣一點(diǎn)：所說的問題不存在任何一種絕對(duì)的解答。這事實(shí)上也可被看成數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域（在嚴(yán)格意義上，數(shù)學(xué)觀的問題顯然應(yīng)當(dāng)歸屬于數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究范圍）中的一項(xiàng)共識(shí)。

為了弄清“數(shù)學(xué)是什么”，有兩位教師閱讀了不少文章和專著。但由于相關(guān)的論點(diǎn)與說法并不一致，他們最終發(fā)出了這樣的感慨——“不想再摘了，摘多了，可能會(huì)應(yīng)了法國(guó)數(shù)學(xué)家韋伊的話：‘?dāng)?shù)學(xué)的特別之處，就是它不能為非數(shù)學(xué)家所理解。’”［1］由此，我們或許可以更好地領(lǐng)會(huì)上述事實(shí)，包括現(xiàn)實(shí)中可能因此而導(dǎo)致的困惑。

當(dāng)然，上面的論述并不是指我們根本不應(yīng)去思考“數(shù)學(xué)是什么”這樣一個(gè)問題。這就是筆者針對(duì)馬立平博士的提問在當(dāng)時(shí)給出的另外一半解答：“與刻意地去追求某種單一的、絕對(duì)化的觀點(diǎn)相對(duì)照，這是我們面對(duì)這方面的不同論點(diǎn)真正應(yīng)當(dāng)思考的問題——相關(guān)思想或主張對(duì)于我們改進(jìn)教學(xué)究竟有什么新的啟示？”

這事實(shí)上也是上述兩位教師在初步研究陷入困境后采取的具體對(duì)策：“我們要思考！我們不是數(shù)學(xué)家，我們是數(shù)學(xué)教育工作者，我們是小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者，那么，小學(xué)數(shù)學(xué)是什么？小學(xué)數(shù)學(xué)教育是什么？……我們應(yīng)該明白了，我們不是從數(shù)學(xué)家的角度為數(shù)學(xué)定義，而是為小學(xué)數(shù)學(xué)，為小學(xué)數(shù)學(xué)教育，為了小學(xué)生享受數(shù)學(xué)教育。”［1］

更一般地說，各種關(guān)于數(shù)學(xué)的論述事實(shí)上都可被看成從不同側(cè)面指明了數(shù)學(xué)的特征。正因如此，如果在現(xiàn)時(shí)仍有人認(rèn)為自己最終發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，如認(rèn)定“度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)”，并認(rèn)為應(yīng)當(dāng)以此作為數(shù)學(xué)課程改革的重要指導(dǎo)思想，就只能說實(shí)在有點(diǎn)孤陋寡聞了。這事實(shí)上正是筆者在《新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》第一部分（什么是數(shù)學(xué)）中特別強(qiáng)調(diào)三種觀念（數(shù)學(xué)活動(dòng)論、數(shù)學(xué)模式論、數(shù)學(xué)文化論）的主要原因。

下面，筆者就從上述角度對(duì)相關(guān)內(nèi)容做出概述，包括什么可被看成已有工作的不足或進(jìn)一步努力的方向。

第一，數(shù)學(xué)活動(dòng)論。

強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)活動(dòng)論，可以看成是對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代發(fā)展的積極回應(yīng)。具體地說，數(shù)學(xué)哲學(xué)研究在20世紀(jì)上半葉應(yīng)當(dāng)說主要集中于所謂的“基礎(chǔ)研究”，盡管數(shù)學(xué)哲學(xué)中的不同學(xué)派對(duì)什么是數(shù)學(xué)的最終基礎(chǔ)有不同的看法，但這些學(xué)派所持有的都可以說是一種靜止的、絕對(duì)主義的數(shù)學(xué)觀。與此相對(duì)照，數(shù)學(xué)哲學(xué)在20世紀(jì)60年代可以說經(jīng)歷了一次重要的革命，其重要特征之一就是由靜止的、絕對(duì)主義的數(shù)學(xué)觀轉(zhuǎn)向了動(dòng)態(tài)的、擬經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)觀。美國(guó)數(shù)學(xué)教育家倫伯格指出：“兩千多年來(lái)，數(shù)學(xué)一直被認(rèn)為是與人類的活動(dòng)和價(jià)值觀念無(wú)關(guān)的無(wú)可懷疑的真理的集合。這一觀念現(xiàn)在遭到了越來(lái)越多數(shù)學(xué)哲學(xué)家的挑戰(zhàn)，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是可錯(cuò)的、變化的，并和其他知識(shí)一樣都是人類創(chuàng)造性的產(chǎn)物……這種動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀具有重要的教育涵義。”這就是我們應(yīng)當(dāng)特別重視數(shù)學(xué)活動(dòng)論的主要原因。

具體地說，數(shù)學(xué)活動(dòng)論給予我們的一個(gè)重要啟示，就是應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)（活動(dòng)）做廣義理解，而不應(yīng)將此等同于數(shù)學(xué)活動(dòng)的最終產(chǎn)物（各種概念、結(jié)論與理論）。首先，由于數(shù)學(xué)活動(dòng)往往將某個(gè)或某些有待解決的問題作為出發(fā)點(diǎn)，因而我們應(yīng)將問題看成數(shù)學(xué)（活動(dòng)）的一個(gè)重要組成部分。其次，為了解決問題，需要使用一定的理論工具和研究方法，這就直接涉及數(shù)學(xué)（活動(dòng)）的另外兩個(gè)要素——語(yǔ)言和方法。再者，由于現(xiàn)代社會(huì)中每個(gè)數(shù)學(xué)工作者都處于一定的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)之中，后者集中地體現(xiàn)于其所具有的觀念和信念，因而我們應(yīng)將此看成數(shù)學(xué)（活動(dòng)）的又一重要組成部分，認(rèn)真做好傳統(tǒng)的繼承與發(fā)展。

綜上可見，數(shù)學(xué)活動(dòng)論對(duì)于我們改進(jìn)教學(xué)有著重要的意義。但從現(xiàn)今的角度看，相關(guān)工作也有一定的局限性，特別是容易導(dǎo)致一些簡(jiǎn)單化的理解，如對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的片面強(qiáng)調(diào)，乃至將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單地歸結(jié)為“學(xué)數(shù)學(xué)，做數(shù)學(xué)”，包括對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的簡(jiǎn)單化理解等。

正因如此，我們?cè)诂F(xiàn)時(shí)就應(yīng)特別重視這樣幾點(diǎn)：

（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)主要是指思維活動(dòng)，而非具體的操作性活動(dòng)。值得指出的是，這事實(shí)上可被看成以下論述的核心所在：相對(duì)于可見的活動(dòng)，我們應(yīng)當(dāng)更加重視活動(dòng)的內(nèi)化（皮亞杰語(yǔ)）。依據(jù)以色列數(shù)學(xué)教育家斯法德關(guān)于“凝聚”的以下分析，相信讀者可以更好地理解內(nèi)化的涵義，包括為什么說內(nèi)化對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展特別重要：所謂凝聚，是指由過程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)變，其中包括三個(gè)相繼的過程——內(nèi)化、壓縮、客體化。

（2）以上論述并非指教學(xué)中我們完全不應(yīng)要求學(xué)生從事其他各種活動(dòng)，包括動(dòng)手實(shí)踐、問題解決、數(shù)學(xué)應(yīng)用等，而是應(yīng)當(dāng)更加重視以做促思，應(yīng)當(dāng)通過數(shù)學(xué)活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生思考，并使他們能逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更全面、更合理、更深入，或者說，應(yīng)努力提升他們的思維品質(zhì)。例如，依據(jù)這一分析，我們就可立即引出判斷一堂數(shù)學(xué)課成功與否的標(biāo)準(zhǔn)：不管這是一堂什么樣的數(shù)學(xué)課，涉及什么樣的具體內(nèi)容，也不管教師采取了什么樣的教學(xué)方法或教學(xué)形式，如果相關(guān)教學(xué)未能促進(jìn)學(xué)生積極深入地進(jìn)行思考，就不能被看成一堂真正的好課。當(dāng)然，真正做好以做促思應(yīng)被看成這方面工作的重點(diǎn)，這可被看成教學(xué)中我們應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)胤怕?jié)奏的主要原因。再者，相對(duì)于簡(jiǎn)單的經(jīng)驗(yàn)積累而言，我們又應(yīng)更加重視總結(jié)、反思和再認(rèn)識(shí)的工作。

第二，數(shù)學(xué)模式論。

依據(jù)諸多數(shù)學(xué)家的相關(guān)論述，我們即可更好地理解數(shù)學(xué)模式論的重要性，包括它的主要涵義：“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)。數(shù)學(xué)家們尋求存在于數(shù)量、空間、科學(xué)、計(jì)算機(jī)乃至想象之中的模式。數(shù)學(xué)理論闡明了模式間的關(guān)系；函數(shù)和映射、算子把一類模式與另一類模式聯(lián)系起來(lái)從而產(chǎn)生穩(wěn)定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?！保?］“數(shù)學(xué)家是‘通過構(gòu)造’而工作的，他們‘構(gòu)造’越來(lái)越復(fù)雜的對(duì)象。”［3］18

具體地說，這主要涉及抽象這一特別重要的數(shù)學(xué)思維形式，特別是它的建構(gòu)性質(zhì)：盡管數(shù)學(xué)對(duì)象并非物質(zhì)世界中的真實(shí)存在，而只是人類思維活動(dòng)的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)結(jié)論仍然具有超越各個(gè)個(gè)人的確定性，從而就可被看成一種客觀的存在；再者，數(shù)學(xué)家們所從事的活動(dòng)主要是以已經(jīng)得到建構(gòu)的對(duì)象為基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)更高層次的抽象，這也就是所謂的“自反抽象”。

就當(dāng)前而言，數(shù)學(xué)模式論應(yīng)當(dāng)說還有助于我們更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。這也就如法國(guó)數(shù)學(xué)家、科學(xué)家彭加勒所指出的：“數(shù)學(xué)……是一種活動(dòng)，在這種活動(dòng)中，人類精神似乎從外部世界所取走的東西最少，在這種活動(dòng)中，人類精神起著作用，或者似乎只是自行起著作用和按照自己的意志起作用。”［3］374“因?yàn)閿?shù)學(xué)科學(xué)是人類精神從外部借取的東西最少的創(chuàng)造物之一，所以它就更加有用了……它充分向我們表明，當(dāng)人類精神越來(lái)越擺脫外部世界的羈絆時(shí)，它能夠創(chuàng)造出什么東西，因此它們就愈加充分地讓我們?cè)诒举|(zhì)上了解人類精神?！保?］367進(jìn)而，數(shù)學(xué)模式論可被看成對(duì)一些觀念的直接反對(duì)，如所謂的“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)主義”，它認(rèn)為可以將數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單等同于其他自然科學(xué)，我們可以通過單純強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用乃至數(shù)學(xué)的生活化有效地解決數(shù)學(xué)教育中存在的各種問題，特別是學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)這一長(zhǎng)期存在的問題。

由于上述各種觀念在現(xiàn)時(shí)仍然具有廣泛的影響，從而應(yīng)當(dāng)引起我們的特別重視。在筆者看來(lái)，這也正是以下論述的主要意義所在——“所有這些‘改革’最悲哀的地方，是企圖‘要讓數(shù)學(xué)變有趣’和‘與孩子們的生活產(chǎn)生關(guān)聯(lián)’，你不需要讓數(shù)學(xué)變得有趣——它本來(lái)就遠(yuǎn)超過你了解的有趣！它的驕傲就在于與我們的生活完全無(wú)關(guān)。這就是為什么它是如此有趣……我們不需要把問題繞來(lái)繞去的，讓數(shù)學(xué)與生活產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。它和其他形式的藝術(shù)用同樣的方式來(lái)與生活產(chǎn)生關(guān)聯(lián)一樣：成為有意義的人類經(jīng)驗(yàn)?！保?］還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，這一論述的重點(diǎn)并不在于完全否定數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，而是我們應(yīng)將何者看成數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)：“無(wú)論如何，重點(diǎn)不在于數(shù)學(xué)是否具有任何實(shí)用價(jià)值……我要說的是，我們不需要以這個(gè)為基礎(chǔ)來(lái)證實(shí)它的正當(dāng)性。我們談的是一個(gè)完全天真及愉悅的人類心智活動(dòng)——與自己心智的對(duì)話。數(shù)學(xué)不需要乏味的勤奮或技術(shù)上的借口，它超越所有的世俗考量。數(shù)學(xué)的價(jià)值在于它好玩、有趣，并帶給我們很大的歡樂?！保?］

第三，數(shù)學(xué)文化論。

數(shù)學(xué)文化論（數(shù)學(xué)的文化研究）涉及不少內(nèi)容。首先，數(shù)學(xué)在什么意義上可以被看成一種文化，什么是數(shù)學(xué)文化的主要涵義？其次，從文化的研究看，與其他文化形式一樣，數(shù)學(xué)文化是否也有一定的多元性？數(shù)學(xué)發(fā)展是否具有一定的相對(duì)獨(dú)立性？我們應(yīng)如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)文化與整體性社會(huì)文化（包括其他各種子文化）之間的關(guān)系？等等。再者，從教育的角度看，我們應(yīng)當(dāng)如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，包括在教學(xué)中如何才能很好地落實(shí)？

當(dāng)然，作為哲學(xué)的分析，我們不應(yīng)過多涉及后一問題，但這仍然可被看成相關(guān)研究的主要意義所在，即有利于提升人們?cè)谶@一方面的自覺性，由不自覺狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)楦幼杂X的行為。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，這事實(shí)上正是文化傳承的一個(gè)重要特征，即其主要是一個(gè)潛移默化的過程，從而容易表現(xiàn)出較大的盲目性，特別是需要認(rèn)真總結(jié)與反思。另外，無(wú)論從橫向比較還是從縱向發(fā)展的角度來(lái)看，這都應(yīng)被看成中國(guó)社會(huì)需要特別加強(qiáng)的一個(gè)方面。

總之，相對(duì)于純理論的分析，我們應(yīng)當(dāng)更加注重密切聯(lián)系數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)情況深入地去開展研究，特別是，應(yīng)將“數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”的分析與我們關(guān)于數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的思考很好地聯(lián)系起來(lái)，從而對(duì)促進(jìn)實(shí)際教育工作發(fā)揮更大的作用。

二、數(shù)學(xué)教育觀

筆者在《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書中提出了這樣一個(gè)主張：數(shù)學(xué)教育哲學(xué)中關(guān)于數(shù)學(xué)教育觀的研究主要不是為數(shù)學(xué)教育制定出某個(gè)具體的目標(biāo)，而應(yīng)從更高層面對(duì)我們?nèi)绾螐氖逻@一方面的研究提出必要的準(zhǔn)則。當(dāng)然，這并非是指我們對(duì)這一方面的現(xiàn)實(shí)情況特別是現(xiàn)實(shí)中所提出的關(guān)于數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的各個(gè)主張都可以置之不理；恰恰相反，我們應(yīng)當(dāng)通過哲學(xué)審視引出普遍性的結(jié)論，從而就可以對(duì)現(xiàn)實(shí)工作發(fā)揮更加積極的作用。還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，這事實(shí)上直接關(guān)系到哲學(xué)的本質(zhì)或主要特征：相對(duì)于各個(gè)具體的概念或理論體系而言，哲學(xué)更應(yīng)被看成一種思維方式，其主要作用是有益于人們思維的改進(jìn)，特別是批判、反思意識(shí)的增強(qiáng)，從而就可以在工作中表現(xiàn)出更大的自覺性。

顯然，從上述角度我們也可更好地理解什么可被看成數(shù)學(xué)教育的基本矛盾，包括以下具體建議：我們應(yīng)當(dāng)很好地認(rèn)識(shí)和處理數(shù)學(xué)教育的“教育方面”與“數(shù)學(xué)方面”之間的辯證關(guān)系，這兩者的適度平衡可被看成是我們真正做好數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵，包括把握數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)。就這方面的具體工作（特別是數(shù)學(xué)教育改革）而言，我們又應(yīng)特別重視防止與糾正這種傾向：因?yàn)槠鎻?qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育的“數(shù)學(xué)方面”或“教育方面”而導(dǎo)致片面性認(rèn)識(shí)或錯(cuò)誤性做法，甚至由此造成改革運(yùn)動(dòng)的失敗。正如人們所熟知的，20世紀(jì)60年代在世界范圍內(nèi)盛行的“新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)”就是由于對(duì)數(shù)學(xué)教育“數(shù)學(xué)方面”的不恰當(dāng)強(qiáng)調(diào)而失敗了。當(dāng)然，現(xiàn)實(shí)中也可看到相反的做法，如我國(guó)新一輪課程改革中出現(xiàn)的“去數(shù)學(xué)化”傾向。正如張奠宙先生所指出的：“君不見，評(píng)論一堂課的優(yōu)劣，只問教師是否創(chuàng)設(shè)了現(xiàn)實(shí)情境？學(xué)生是否自主探究？氣氛是否活躍？是否分小組活動(dòng)？用了多媒體沒有？至于數(shù)學(xué)內(nèi)容，反倒可有可無(wú)起來(lái)?！保?］53“聽課時(shí)發(fā)下來(lái)某些‘評(píng)課表’，居然只有‘情境過程’‘認(rèn)知過程’‘因材施教’‘教學(xué)基本功’四個(gè)指標(biāo)。至于數(shù)學(xué)概念是否清楚，數(shù)學(xué)論證是否合理，數(shù)學(xué)思想是否闡明，則處于次要地位，可有可無(wú)。”［5］197張奠宙先生強(qiáng)調(diào)指出，盡管其中充滿了美麗的詞語(yǔ)，如“自主”“探究”“創(chuàng)新”“聯(lián)系實(shí)際”“貼近生活”“積極主動(dòng)”“愉快教育”等，我們又應(yīng)當(dāng)始終記住這樣一點(diǎn)：“任憑‘去數(shù)學(xué)化’的傾向泛濫，數(shù)學(xué)教育無(wú)異于自殺。”［5］214

還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，盡管已經(jīng)有過不少教訓(xùn)，但現(xiàn)實(shí)中我們還是經(jīng)?？梢钥吹揭恍╊愃频淖龇?，只是它們的表現(xiàn)形式可能略有不同，從而也就更清楚地表明了加強(qiáng)總結(jié)和反思特別是批判意識(shí)的重要性。具體地說，正如筆者在《教育發(fā)展之“正道”》（本刊2021年第26期刊發(fā)）一文中所指出的，以“大教育”的論述完全取代專業(yè)的分析，可被看成上述片面性的又一具體表現(xiàn)。例如，就如何落實(shí)“努力提升學(xué)生的核心素養(yǎng)”這一思想而言，數(shù)學(xué)教育工作者似乎只要能正確復(fù)述“中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”的“三個(gè)方面、六大要素、十八個(gè)基本要點(diǎn)”，并能通過逐條對(duì)照發(fā)現(xiàn)每一堂課的不足之處與努力方向就可以了，而無(wú)需深入思考數(shù)學(xué)教育對(duì)提升個(gè)人與社會(huì)的整體性素養(yǎng)究竟有哪些特別重要甚至是不可取代的作用。另外，我們似乎也可以按照某種統(tǒng)一的模式去解決不同學(xué)科如何做好深度學(xué)習(xí)的問題，即我們只需首先從“大教育”的角度對(duì)深度學(xué)習(xí)理論做出統(tǒng)一研究，然后將其直接應(yīng)用到各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域，特別是統(tǒng)一采用“一般性理論+學(xué)科實(shí)例”的模式，就可很好地實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)，包括建立起各門學(xué)科深度學(xué)習(xí)的具體理論。

當(dāng)然，這也應(yīng)被看成上述片面性的又一具體表現(xiàn)：完全局限于純數(shù)學(xué)的思考，而忽視了我們還應(yīng)超出專業(yè)并從更大的角度去思考數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)，既包括對(duì)“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”的不恰當(dāng)強(qiáng)調(diào)，還包括認(rèn)定我們應(yīng)將所謂的“三會(huì)”（會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界）作為數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)。

最后，這事實(shí)上也可被看成筆者在《數(shù)學(xué)課程改革深入發(fā)展最需要什么——哲學(xué)視角下的數(shù)學(xué)教育（一）》（本刊2022年第9期刊發(fā)）一文中提出這樣一個(gè)觀點(diǎn)的主要原因：為了促進(jìn)課程改革的深入發(fā)展，我們應(yīng)當(dāng)切實(shí)加強(qiáng)學(xué)習(xí)、總結(jié)和反思。

簡(jiǎn)言之，這正是我們?cè)诋?dāng)前應(yīng)當(dāng)特別重視的又一問題：如何看待我國(guó)新一輪數(shù)學(xué)課程改革的實(shí)際進(jìn)程？特別是，相關(guān)發(fā)展是否可以被看成真正的進(jìn)步，還是僅僅意味著“詞語(yǔ)”的簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)換，乃至由于缺乏深入研究而造成的發(fā)展停滯——繼所謂的“三維目標(biāo)”以后又先后轉(zhuǎn)向了“四基”和“三會(huì)”？

由一線教師的具體體會(huì)，讀者即可對(duì)此有更清楚的認(rèn)識(shí)。“我是1986年參加工作的，教小學(xué)數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的教學(xué)目標(biāo)稱為‘雙基’，即基本知識(shí)、基本技能?！保?］55“到了2000年左右，新課程改革了……改革的顯著之處在于將‘雙基目標(biāo)’改為‘三維目標(biāo)’……于是，我努力將自己的教學(xué)目標(biāo)調(diào)整為‘三維目標(biāo)’。可是，從此我發(fā)現(xiàn)，寫教案的時(shí)候，我已經(jīng)不會(huì)寫教學(xué)目標(biāo)了。因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)每節(jié)課都有特定的基本知識(shí)、基本技能，卻很難區(qū)分出每節(jié)課的思想方法。當(dāng)思想方法成為教學(xué)目標(biāo)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)上節(jié)課也這樣，下節(jié)課也這樣。更痛苦的是，實(shí)在不知道這節(jié)課的情感態(tài)度價(jià)值觀與上節(jié)課有何不同……就這樣迷茫了，在迷茫中努力地教學(xué)?！保?］55-56“到2010年，好像又修改了，三維目標(biāo)還是不對(duì)的。作為一個(gè)一線數(shù)學(xué)教師，很認(rèn)真地接受新的‘四基目標(biāo)’……讓我抓狂的是基本經(jīng)驗(yàn)，不知道如何去落實(shí)……教師們看我一臉困惑的樣子，告訴我：教書啊，別想那么多……從2016年開始，‘四基目標(biāo)’好像又不大重要了，代之以‘小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)’。因此，討論環(huán)節(jié)有位專家問我：‘你這節(jié)課，培養(yǎng)了什么核心素養(yǎng)？’我當(dāng)時(shí)就被問蒙了……盡管課上成功了，大家也認(rèn)為上得挺成功的，但面對(duì)這個(gè)問題，我真的不知從何說起?！保?］56

作為對(duì)照，筆者愿意再次轉(zhuǎn)引美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞的這樣一段論述，希望能引發(fā)讀者的深入思考：“一個(gè)教師，他若要同樣地去教他所有的學(xué)生——未來(lái)用數(shù)學(xué)和不用數(shù)學(xué)的人，那么他在教解題時(shí)應(yīng)當(dāng)教三分之一的數(shù)學(xué)和三分之二的常識(shí)。對(duì)學(xué)生灌注有益的思維習(xí)慣和常識(shí)也許不是一件太容易的事，一個(gè)數(shù)學(xué)教師假如他在這方面取得了成績(jī)，那么他就真正為他的學(xué)生們（無(wú)論他們以后是做什么工作的）做了好事。能為那些70%的在以后生活中不用科技數(shù)學(xué)的學(xué)生做好事當(dāng)然是一件最有意義的事情?！保?］182

希望在不久的將來(lái)，我們能在這一方面看到真正的進(jìn)步，從而能真正發(fā)揮數(shù)學(xué)教育對(duì)個(gè)人發(fā)展與社會(huì)整體進(jìn)步的積極作用，至少在努力糾正“應(yīng)試教育”這一方面看到切實(shí)的進(jìn)展，因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的不恰當(dāng)界定事實(shí)上也可被看成在“應(yīng)試教育”方面起到了推波助瀾的作用。

三、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀與教學(xué)觀

眾所周知，既應(yīng)有一定的重要性和基礎(chǔ)性也應(yīng)有一定的前沿性和先進(jìn)性是科研工作的一項(xiàng)基本要求。在筆者看來(lái)，從同一角度，我們也能大致理解數(shù)學(xué)教育哲學(xué)中關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀和教學(xué)觀的研討為什么會(huì)直接涉及建構(gòu)主義與情境學(xué)習(xí)理論等理論思想或發(fā)展趨勢(shì)。

當(dāng)然，作為數(shù)學(xué)教育哲學(xué)研究，我們?cè)诖岁P(guān)注的主要是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)或特征性質(zhì)，而不是各種具體的學(xué)習(xí)方法或教學(xué)方法。但是，由于相關(guān)研究對(duì)后一方面的工作具有重要的指導(dǎo)意義，從而可以說具有較大的重要性和基礎(chǔ)性。再者，由于建構(gòu)主義在20世紀(jì)90年代在教育領(lǐng)域中占據(jù)了絕對(duì)的主導(dǎo)地位，為我們深入理解學(xué)習(xí)的本質(zhì)提供了與傳統(tǒng)觀念直接相對(duì)立的另一種觀念，更由于建構(gòu)主義本身也有一個(gè)不斷發(fā)展和演變的過程，即由個(gè)人建構(gòu)主義逐步走向了社會(huì)建構(gòu)主義，后者則又直接導(dǎo)致了情境學(xué)習(xí)理論在現(xiàn)代的興起，乃至所謂的“教育的社會(huì)轉(zhuǎn)向”，這樣，圍繞這些理論進(jìn)行分析研究就可以保證相關(guān)研究具有較大的前沿性和先進(jìn)性，并使研究工作更有深度。

總之，從教育的角度看，這正是建構(gòu)主義在現(xiàn)代興起及其后續(xù)發(fā)展的主要意義——為我們深入認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)的本質(zhì)提供了一個(gè)新的視角，更有益于我們對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)觀念的自覺反思與深入批判。首先，我們不應(yīng)將教學(xué)與學(xué)習(xí)看成單純的給予與接受，相反，學(xué)習(xí)主要應(yīng)被看成一個(gè)意義建構(gòu)的過程，即學(xué)習(xí)主體將新學(xué)習(xí)的內(nèi)容與其本身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，或者更恰當(dāng)?shù)卣f，學(xué)習(xí)主體將新學(xué)習(xí)的知識(shí)納入其已有的認(rèn)知框架，從而使之獲得確定的意義，包括已有認(rèn)知框架的擴(kuò)展或必要調(diào)整（同化與順應(yīng)）。其次，這又應(yīng)被看成現(xiàn)代意義上的學(xué)習(xí)活動(dòng)（即學(xué)生在學(xué)校中的學(xué)習(xí)活動(dòng)）的主要特點(diǎn)——在學(xué)校這一特定環(huán)境中，在教師的直接指導(dǎo)下進(jìn)行的，應(yīng)被看成一種文化繼承的行為。再者，按照社會(huì)建構(gòu)主義的觀點(diǎn)，我們還應(yīng)清楚地看到群體在這一方面的重要作用，這可被看成情境學(xué)習(xí)理論的核心所在，即我們應(yīng)將分析的著眼點(diǎn)由主要關(guān)注知識(shí)的學(xué)習(xí)（或者說，單純的認(rèn)知行為）轉(zhuǎn)向?qū)W習(xí)主體身份的界定與變化。

上述認(rèn)識(shí)顯然具有重要的教學(xué)涵義，包括我們應(yīng)當(dāng)如何認(rèn)識(shí)教師在教學(xué)活動(dòng)中的地位與作用。但從現(xiàn)今的角度看，相關(guān)研究應(yīng)當(dāng)說也有一定的局限性。事實(shí)上，建構(gòu)主義本身的發(fā)展（包括情境學(xué)習(xí)理論的興起）就已清楚地表明了這樣一點(diǎn)，因?yàn)樗f的發(fā)展即是對(duì)先前理論局限性的一種糾正或超越。另外，就我們的論題而言，當(dāng)然又應(yīng)更加突出數(shù)學(xué)教學(xué)的特殊性，而不應(yīng)停留于一般的分析，而且正如先前關(guān)于數(shù)學(xué)觀的分析，我們顯然也應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)教學(xué)活動(dòng)的復(fù)雜性，從而應(yīng)從多個(gè)不同的角度進(jìn)行分析研究，包括努力做好不同觀點(diǎn)的必要互補(bǔ)與整合。

從后一角度，我們事實(shí)上也可更好地認(rèn)識(shí)近年來(lái)由諸多優(yōu)秀教師提出的各種教學(xué)主張，如華應(yīng)龍老師倡導(dǎo)的“化錯(cuò)教學(xué)”，徐斌老師倡導(dǎo)的“無(wú)痕教學(xué)”，以及一般意義上的“以學(xué)為主”（或“先學(xué)后教”）等教學(xué)主張。我們應(yīng)當(dāng)注意分析這些主張對(duì)我們改進(jìn)教學(xué)（包括認(rèn)識(shí)的發(fā)展與深化）有哪些新的啟示，也應(yīng)對(duì)它們的局限性做出深入剖析，包括相應(yīng)的教學(xué)實(shí)踐應(yīng)當(dāng)特別注意哪些問題。以下就是關(guān)于上述三個(gè)主張的簡(jiǎn)要分析：

（1）正如建構(gòu)主義所強(qiáng)調(diào)的，我們應(yīng)當(dāng)以一種更加理解、更加開放的態(tài)度看待學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，包括善于發(fā)現(xiàn)其中的合理性成分，并能將此作為新的認(rèn)識(shí)活動(dòng)的重要背景或直接出發(fā)點(diǎn)。但是，我們顯然不應(yīng)將“化錯(cuò)”看成數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是一個(gè)不斷優(yōu)化的過程。

（2）相對(duì)于有形的教學(xué)活動(dòng)，“無(wú)痕教學(xué)”具有一些明顯的優(yōu)點(diǎn)，特別是，不易使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭倦，甚至是反感；但教學(xué)活動(dòng)顯然又應(yīng)努力實(shí)現(xiàn)這樣一個(gè)更高的目標(biāo)，即使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，由潛移默化逐步轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂忻鞔_目標(biāo)并主要依靠?jī)?nèi)在動(dòng)力與自我指引完成的自覺行為；又由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要學(xué)生做出持續(xù)的努力，包括逐步地學(xué)會(huì)堅(jiān)持，學(xué)會(huì)承受挫折和失敗，因此，我們應(yīng)當(dāng)由單純強(qiáng)調(diào)“春風(fēng)化雨”“愉快學(xué)習(xí)”逐步過渡到“獨(dú)上高樓”“衣帶漸寬終不悔”這樣一種更高的境界。

（3）無(wú)論是所謂的“以學(xué)為主”或“先學(xué)后教”，最基本的指導(dǎo)思想都突出強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的主體地位；這一做法當(dāng)然有一定的道理，但我們顯然不應(yīng)因此而否定教師在教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)發(fā)揮的主導(dǎo)作用，特別是，這不僅關(guān)系到我們?nèi)绾螏椭鷮W(xué)生克服學(xué)習(xí)中必然會(huì)遇到的困難，也直接關(guān)系到學(xué)習(xí)目標(biāo)的具體設(shè)定。即使我們暫且不去論及數(shù)學(xué)教育的“三維目標(biāo)”，單憑學(xué)生自身的努力應(yīng)當(dāng)說也很難跳出當(dāng)前的學(xué)習(xí)內(nèi)容并從更大范圍去設(shè)定整體性的目標(biāo)。再則，從數(shù)學(xué)教育的角度看，這應(yīng)當(dāng)說也與數(shù)學(xué)思維的性質(zhì)密切相關(guān)，特別是，由于數(shù)學(xué)思維的發(fā)展主要涉及縱向的提升，特別是更高層次的抽象，從而就很難單純依靠學(xué)生自身的努力完成，后者既包括所謂的“熟能生巧”也包括單純的“經(jīng)驗(yàn)積累”。

以下再特別轉(zhuǎn)引荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的若干相關(guān)論述，因?yàn)榘凑胀ǔ５睦斫?，其?shù)學(xué)教學(xué)思想與上述主張十分一致，如“學(xué)生應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化而不是數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)抽象化而不是抽象”，以及對(duì)于“再創(chuàng)造”的特別推薦，認(rèn)為我們主要應(yīng)讓學(xué)生通過重復(fù)數(shù)學(xué)史上的創(chuàng)造來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。但是，仔細(xì)閱讀可以看出，這只是對(duì)弗賴登塔爾的一種誤讀，或者說，他在這方面的基本思想后來(lái)有了十分重要的發(fā)展?！皩W(xué)習(xí)過程中重要的問題是不連續(xù)性”［8］119，又由于這在很多情況下就意味著“觀念的轉(zhuǎn)變”［8］144，也即與主體原有觀念或信念的決裂，人們的自然傾向是維持原有的觀念，而不是自我否定與重構(gòu)，由此，我們顯然就可以更好地理解要求學(xué)生單純憑借自身努力實(shí)現(xiàn)發(fā)展的困難性。正因如此，弗賴登塔爾后來(lái)倡導(dǎo)的就不是單純依靠學(xué)生自身努力的“再創(chuàng)造”，而是“教師指導(dǎo)下的再創(chuàng)造”，后者在他認(rèn)定的“教學(xué)原理”中占據(jù)首要的位置。

還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，除了“以學(xué)為主”這一主張以外，由弗賴登塔爾的論述我們顯然也可在其他方面獲得直接的啟示，如我們究竟應(yīng)如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)、如何看待“糾錯(cuò)”在這方面的重要作用，以及我們是否可以主要依靠“無(wú)痕教學(xué)”幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)上實(shí)現(xiàn)不斷的進(jìn)步，等等。

再則，依據(jù)上述分析，我們顯然也可更好地認(rèn)識(shí)什么是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)發(fā)揮的主要作用。具體地說，將教師與學(xué)生在教學(xué)過程中的活動(dòng)分別歸結(jié)為“教”與“學(xué)”是一種過于簡(jiǎn)單化的概括，特別是，更容易導(dǎo)致這樣一種錯(cuò)誤的理解，即將“教”和“學(xué)”分別等同于“知識(shí)的簡(jiǎn)單傳授”和“知識(shí)的被動(dòng)接受”。與此相對(duì)照，如果認(rèn)定數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)應(yīng)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，那么，將“引”（教師的主要作用）和“思”（學(xué)生的主要活動(dòng)）的對(duì)立統(tǒng)一看成數(shù)學(xué)教學(xué)的主要矛盾顯然更加恰當(dāng)。

在筆者看來(lái)，依據(jù)這一分析，我們也可對(duì)以下論述做出自己的剖析，即認(rèn)為教師的定位應(yīng)是“學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”［9］。具體地說，與并列地強(qiáng)調(diào)這樣三個(gè)作用相比，我們應(yīng)更加突出教師的引導(dǎo)作用，特別是，應(yīng)通過教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生更深入地進(jìn)行思考，使他們逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更全面、更合理、更深刻，努力提升思維品質(zhì)。

再者，上述分析也可被看成為我們做好其他方面的工作提供了重要的指導(dǎo)，包括：究竟何者可以被看成數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵？我們應(yīng)如何看待數(shù)學(xué)教學(xué)方法的研究與改革，乃至“整合課程”或“基礎(chǔ)教育的去專業(yè)化”等相關(guān)主張？等等。顯然，由此我們也可更好地理解數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的基礎(chǔ)性質(zhì)和重要性。

在此，筆者愿意再次強(qiáng)調(diào)堅(jiān)持辯證思維指導(dǎo)的重要性。事實(shí)上，這也正是弗賴登塔爾特別強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)：“指導(dǎo)再創(chuàng)造意味著站在創(chuàng)造的自由性和指導(dǎo)的約束性之間，在學(xué)生取得自己的樂趣和滿足教師的要求之間達(dá)到一種奧妙的平衡?！保?］67更一般地說，我們又應(yīng)為自己的專業(yè)成長(zhǎng)設(shè)定這樣一個(gè)目標(biāo)——努力成為“具有一定哲學(xué)思維的數(shù)學(xué)教師”！