考慮患者分類的應(yīng)急手術(shù)調(diào)度研究

余夢(mèng)圓，葉春明，趙靈瑋，郭 靜，馬 琨

上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093

調(diào)度理論在生產(chǎn)車間、車輛等領(lǐng)域已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，但在應(yīng)急救援管理中還需要不斷完善與創(chuàng)新。城市突發(fā)公共衛(wèi)生事件，指的是在城市中由于無法進(jìn)行提前預(yù)測(cè)或者未能準(zhǔn)確檢測(cè)而突然發(fā)生的，涉及廣大人民群眾的生命生活全方面，并可能會(huì)帶來實(shí)際損失的事件。它的主要特點(diǎn)是突發(fā)性、范圍廣、傳播快、信息局限、復(fù)雜性、難以預(yù)測(cè)、破壞性等。城市突發(fā)事件一旦發(fā)生，對(duì)國(guó)家的政治和經(jīng)濟(jì)都會(huì)造成不可估量的影響，甚至還會(huì)威脅到社會(huì)的穩(wěn)定。距離最近的就是2019新型冠狀病毒，這種病毒傳染極快，特別是在人群聚集的地區(qū)。手術(shù)調(diào)度問題是各種調(diào)度問題中的熱點(diǎn)問題，并在患者救治方面有著直觀作用，多年來國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行研究。

傳統(tǒng)的手術(shù)調(diào)度問題假設(shè)患者的手術(shù)持續(xù)時(shí)間是固定的，即在調(diào)度開始之前就預(yù)先知道了所有患者的手術(shù)持續(xù)時(shí)間并基于此進(jìn)行排序與優(yōu)化[1]。但是，在實(shí)際應(yīng)急手術(shù)情形下，患者手術(shù)時(shí)間會(huì)隨著手術(shù)開始時(shí)間的延長(zhǎng)出現(xiàn)手術(shù)效率下降的情況，具體表現(xiàn)為針對(duì)同一患者，越晚開始手術(shù)，其所需要的手術(shù)時(shí)間就越長(zhǎng)。相對(duì)應(yīng)的，對(duì)于疫情手術(shù)的相似性，醫(yī)護(hù)人員能夠在手術(shù)進(jìn)行中對(duì)手術(shù)過程更加熟練，從而對(duì)于后進(jìn)行手術(shù)的患者，會(huì)縮短部分手術(shù)時(shí)間。

目前，手術(shù)調(diào)度管理針對(duì)以下問題：人力、社會(huì)、資源、信息等資源的冗余或匱乏；醫(yī)生連續(xù)工作產(chǎn)生疲勞；手術(shù)室開放時(shí)間不足或過剩；完成時(shí)間太遲；醫(yī)生長(zhǎng)時(shí)間加班、醫(yī)療設(shè)備空閑、病患等待成本過高等。學(xué)者們以手術(shù)時(shí)間、院方及患者期望收益、取消風(fēng)險(xiǎn)、患者滿意度、綜合成本和可信度等為目標(biāo)，建立符合醫(yī)院實(shí)際情況的模型，并尋求模型的最優(yōu)解。Anne等[2]提出每個(gè)病人同等重要，通過調(diào)度手術(shù)組患者，來減小手術(shù)后住院床位占用率的可變性，并采用禁忌搜索算法求解，發(fā)現(xiàn)該模型適合短期住院病人。提出可使用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型預(yù)測(cè)病人狀況，病人的年齡、性別、外科醫(yī)生和疾病是可以區(qū)分病人手術(shù)時(shí)間的一些變量。王騰飛等[3]以等待成本、加班成本和空閑成本為目標(biāo)，通過蒙特卡洛方法轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)規(guī)劃模型，對(duì)日間手術(shù)預(yù)約調(diào)度問題進(jìn)行研究并進(jìn)行敏感度分析。Paola等[4]在主手術(shù)調(diào)度背景下，根據(jù)三個(gè)性能標(biāo)準(zhǔn)采用不同調(diào)度策略，探尋效率、平衡和穩(wěn)健性的價(jià)值。Lisa等[5]通過混合研究方法，找出了影響實(shí)時(shí)手術(shù)安排的不確定性因素，提出彈性手術(shù)安排的框架。安佰玲等[6]給出了病床合理安排的三個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，建立非線性優(yōu)化模型，結(jié)合蒙特卡洛方法進(jìn)行模擬求解。潘興薇等[7]考慮兩種類型的檢查的不同需求，并考慮患者兩類緊急程度和患者的失約，進(jìn)行門診患者調(diào)度研究。

近年來，許多學(xué)者對(duì)布谷鳥算法進(jìn)行了研究，并應(yīng)用于多種情境。Dipak等[8]將布谷鳥搜索算法中的連續(xù)位置轉(zhuǎn)換為離散的調(diào)度問題，以最長(zhǎng)加工時(shí)間為目標(biāo)驗(yàn)證了并行機(jī)調(diào)度的有效性。Hamidreza等[9]提出了多目標(biāo)入侵雜草優(yōu)化算法對(duì)布谷鳥算法改進(jìn)，并評(píng)價(jià)多技能資源約束項(xiàng)目調(diào)度問題，最后采用基于優(yōu)先級(jí)的方法對(duì)所提出的算法進(jìn)行了不同指標(biāo)的比較。Preetam等[10]提出了一種離散種間的布谷鳥搜索算法，采用最小位置值法，并進(jìn)一步說明了其在解決混合流水作業(yè)調(diào)度問題和置換流水作業(yè)排序問題中的優(yōu)越性。

手術(shù)調(diào)度是應(yīng)急救援管理的重要問題，是優(yōu)化醫(yī)院醫(yī)療資源與服務(wù)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。在醫(yī)院日常運(yùn)行中，或許并沒有大批患者短期內(nèi)到達(dá)，但在應(yīng)急救援中，通常會(huì)有大量患者等待救治。上述文獻(xiàn)在多角度對(duì)手術(shù)調(diào)度做了有效研究，為后續(xù)的研究奠定了良好的基礎(chǔ)，但是這些研究都沒有考慮患者的分類對(duì)手術(shù)調(diào)度的影響。因此本文考慮不同的患者類型，并同時(shí)考慮手術(shù)團(tuán)隊(duì)的學(xué)習(xí)效應(yīng)和患者傷情的惡化效應(yīng)，在新冠疫情的背景下，對(duì)應(yīng)急手術(shù)調(diào)度問題展開研究。

1 應(yīng)急手術(shù)調(diào)度模型

1.1 問題描述

本文研究的是城市公共衛(wèi)生事件發(fā)生后，傷員到達(dá)救助醫(yī)院后應(yīng)急手術(shù)救治過程。手術(shù)調(diào)度的過程可以看作是三級(jí)混合流水車間問題[11]，分為術(shù)前準(zhǔn)備階段（預(yù)麻醉）、手術(shù)階段和手術(shù)恢復(fù)階段（麻醉恢復(fù)）。國(guó)內(nèi)大型醫(yī)院的恢復(fù)室數(shù)量與手術(shù)室數(shù)量相近[12]，因此只有恢復(fù)階段有空余時(shí)，患者才可以被轉(zhuǎn)送去術(shù)后恢復(fù)室，否則要在當(dāng)前的手術(shù)室滯留，直至有空余的恢復(fù)室。若手術(shù)調(diào)度不合理，將會(huì)直接導(dǎo)致手術(shù)室和恢復(fù)室的利用率低下，最終導(dǎo)致患者得不到妥善及時(shí)的救治與安排。手術(shù)具體流程如圖1所示。

將在醫(yī)院或者應(yīng)急救援點(diǎn)的患者，按照術(shù)前麻醉—手術(shù)—術(shù)后恢復(fù)的流程，建立多目標(biāo)整數(shù)規(guī)劃模型。在此情景下，將患者按照手術(shù)服務(wù)時(shí)間長(zhǎng)短和傷情緊急程度相結(jié)合的方式進(jìn)行手術(shù)調(diào)度，基本變量表述如下：

n位患者pi(i=1,2,…,n)將在m(m=3)道手術(shù)工序上依次進(jìn)行手術(shù)治療，所有患者的手術(shù)流程相同；Oij表示第i位患者的第j道手術(shù)工序；mj(j=1,2,…,m)表示第j道手術(shù)工序包含的手術(shù)室數(shù)量，每位患者都可以在某一手術(shù)階段的任意手術(shù)室，且每位患者的手術(shù)治療路徑彼此獨(dú)立；tijk表示患者i在第j道手術(shù)工序的第k間手術(shù)室進(jìn)行手術(shù)的時(shí)間；Sij表示手術(shù)工序Oij的開始時(shí)間；Cij表示手術(shù)工序Oij的完成時(shí)間；Ci表示患者i的整個(gè)手術(shù)完成時(shí)間；Njk表示第j道手術(shù)工序的k間手術(shù)室治療的患者數(shù)量；xijk為0、1變量，若Oij選擇在第k間手術(shù)室進(jìn)行手術(shù)則為1，否則為0。

1.2 患者分類手術(shù)室選擇

在大規(guī)模城市突發(fā)公共衛(wèi)生事件的背景下，患者的傷情具有高度的相似性，為提高手術(shù)治愈率，針對(duì)患者的不同傷情，將病患的種類分為三級(jí)。在術(shù)前對(duì)患者進(jìn)行有效分類可以極大程度減少傷亡，并提高醫(yī)生的手術(shù)效率。用pu表示分類患者的集合，分為輕度患者p1、重度患者p2、危重患者p3,易知p1+p2+p3=n；表示在第j道手術(shù)工序的手術(shù)室k上救治的第R個(gè)u類患者。在手術(shù)的準(zhǔn)備階段和恢復(fù)階段，三類患者在任意一間都可以得到合理的救治，而在手術(shù)階段卻不一樣。醫(yī)院一般采用r1（30 m2）和r2（50 m2）兩種規(guī)格的手術(shù)室對(duì)患者進(jìn)行救治，其中危重患者由于手術(shù)過程的復(fù)雜性及人員和設(shè)備的多樣性，只能選擇在50 m2的手術(shù)室進(jìn)行手術(shù)，而輕度患者和重度患者在兩種手術(shù)室都能完成手術(shù)。

表1 分類患者手術(shù)室選擇Table 1 Selection of operating room for classified patients

因此，重癥患者p3在手術(shù)階段在特定手術(shù)室進(jìn)行可以表示為：

式中，gij是決策變量，表示第i位患者的第j道手術(shù)工序是否必須在某類指定的手術(shù)室進(jìn)行手術(shù)，若是，其值為1，否則，其值為0。

1.3 手術(shù)團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)效應(yīng)與患者惡化效應(yīng)

在城市公共衛(wèi)生突發(fā)事件中，患者常因得不到及時(shí)治療而使病情惡化，因此應(yīng)急救援尤為重要，更何況大部分患者往往擁有相似的病情，處理手段也具有一定的相似性。手術(shù)時(shí)間不是固定的，這取決于正常手術(shù)時(shí)間、手術(shù)順序、手術(shù)團(tuán)隊(duì)積累的經(jīng)驗(yàn)、控制參數(shù)及其開始時(shí)間。在實(shí)際的時(shí)間表中，手術(shù)時(shí)間會(huì)隨著手術(shù)團(tuán)隊(duì)經(jīng)驗(yàn)的積累而呈現(xiàn)一定程度的減少，這就是學(xué)習(xí)效應(yīng)[13]。隨著處理手術(shù)的數(shù)量增多以及手術(shù)時(shí)間的累積，負(fù)責(zé)固定手術(shù)階段醫(yī)生的經(jīng)驗(yàn)越來越豐富，技術(shù)越來越成熟，因此手術(shù)救治過程擁有一定的學(xué)習(xí)效應(yīng)[14]。手術(shù)團(tuán)隊(duì)的學(xué)習(xí)效應(yīng)指的是由于手術(shù)過程的重復(fù)性，醫(yī)療團(tuán)隊(duì)進(jìn)行重復(fù)操作而獲得手術(shù)救治經(jīng)驗(yàn)的積累，使得繼續(xù)救治同一類患者時(shí)，手術(shù)時(shí)間不斷下降，患者的手術(shù)救治效果更好的過程。與此同時(shí)，患者不同的等待手術(shù)時(shí)間也會(huì)帶來惡化效應(yīng)，因此實(shí)際手術(shù)所用的時(shí)間表示為：

式中，C′i1,C′i2,…,C′im分別為患者i的第j道手術(shù)工序?qū)嶋H結(jié)束時(shí)間；ti1k,ti2k,…,timk分別為基本手術(shù)的各個(gè)工序所需時(shí)間；α1,α2,…,αm分別為醫(yī)護(hù)工作者不同手術(shù)階段的學(xué)習(xí)系數(shù)；βi(0≤βi≤1)表示第i位患者的惡化系數(shù)。

1.4 目標(biāo)函數(shù)

本文根據(jù)對(duì)手術(shù)調(diào)度實(shí)際情況的分析，確定的調(diào)度目標(biāo)集表示為min(f1,f2,f3)。其中f1表示平均手術(shù)時(shí)間；f2表示患者惡化成本；f3表示手術(shù)室總能耗。

（1）最小化平均完成手術(shù)時(shí)間

在醫(yī)院的手術(shù)管理中，很多管理過程都是統(tǒng)一的，例如部分手術(shù)室的中央空調(diào)是集中進(jìn)行管控的；手術(shù)室的普通照明燈光是統(tǒng)一進(jìn)行控制的，等等。同時(shí)，用最小的時(shí)間對(duì)患者進(jìn)行有效治療是醫(yī)院和患者同時(shí)關(guān)注的重點(diǎn)，手術(shù)時(shí)間在一定程度上也關(guān)乎著患者的身體及精神負(fù)擔(dān)。因此，對(duì)所有患者的手術(shù)過程平均時(shí)間的考慮是必要且有效的。

（2）最小化患者惡化成本

患者的惡化成本也是應(yīng)納入考慮的重要因素，在最佳治療時(shí)間內(nèi)進(jìn)行手術(shù)能極大降低患者進(jìn)一步惡化的風(fēng)險(xiǎn)，手術(shù)開始和進(jìn)行的時(shí)間與患者的治愈效果直接相關(guān)，靠前則治療效果相對(duì)較好，反之亦然。因此，患者的惡化成本包括手術(shù)開始前等待時(shí)間成本和手術(shù)持續(xù)時(shí)間成本。

式中，參數(shù)ω、δ1、δ2、δ3為非負(fù)數(shù)。

（3）最小化手術(shù)室總能耗

Karme等[15]提出手術(shù)完成質(zhì)量與執(zhí)行或推遲手術(shù)、手術(shù)室加班和閑置時(shí)間以及重癥監(jiān)護(hù)室（ICU）的成本不足有關(guān)。Wim等[16]提出資源過載的數(shù)量是進(jìn)行評(píng)估的重要因素，并針對(duì)醫(yī)院的資源對(duì)手術(shù)數(shù)量進(jìn)行研究，結(jié)果表明構(gòu)建的模型在文獻(xiàn)和實(shí)踐中考慮的許多外科病例調(diào)度方面有較好的改進(jìn)效果。

在應(yīng)急救援管理中，由于突發(fā)事件的隨機(jī)性和廣泛性，醫(yī)療消耗資源例如醫(yī)用外科口罩、防護(hù)服和檢驗(yàn)類試紙等是有限的，資源的調(diào)度需要一定的時(shí)間，未必能按時(shí)按量送達(dá)指定地點(diǎn)。同時(shí)手術(shù)所需的各類醫(yī)療設(shè)備，例如呼吸機(jī)、制氧機(jī)、麻醉機(jī)和X射線機(jī)等，它的能耗越小，則設(shè)備的損耗越小，越能救治更多的患者，同時(shí)醫(yī)療成本也越低。因此，醫(yī)院進(jìn)行手術(shù)的資源在應(yīng)急管理的場(chǎng)景下是珍貴的，對(duì)資源有效合理地利用能在一定程度上提高手術(shù)的效率、患者的治愈率以及患者的救治數(shù)量。本文將醫(yī)院的手術(shù)資源量化為手術(shù)室的總能耗進(jìn)行研究。

綜上所述，手術(shù)室總能耗也是應(yīng)急手術(shù)考慮的重要因素，其包括忙時(shí)能耗和空載能耗，手術(shù)過程中的能耗與調(diào)度方案直接相關(guān)。手術(shù)室處于空載狀態(tài)時(shí)會(huì)加速醫(yī)療設(shè)備的老化，以及手術(shù)室能源包括空調(diào)在內(nèi)的無故消耗。同樣，手術(shù)室作業(yè)時(shí)也會(huì)加速設(shè)備的老化，同時(shí)也會(huì)消耗醫(yī)院的醫(yī)護(hù)資源和醫(yī)療用品資源等。因此，手術(shù)室總能耗的計(jì)算公式為：

式中，IEk表示手術(shù)室k上的單位時(shí)間空載的單位能耗；Tk表示手術(shù)室k處于空載的時(shí)間；PEijk表示手術(shù)工序Oij在手術(shù)室k處于忙時(shí)的單位能耗。

1.5 應(yīng)急手術(shù)調(diào)度數(shù)學(xué)模型

本文以平均完成手術(shù)時(shí)間、患者惡化成本和手術(shù)室總能耗為目標(biāo)，對(duì)應(yīng)急手術(shù)調(diào)度進(jìn)行優(yōu)化研究。為了簡(jiǎn)化并構(gòu)建合理有效的模型，需要對(duì)問題做出如下假設(shè)：

（1）一間手術(shù)室同一時(shí)間只能進(jìn)行一臺(tái)手術(shù)；

（2）一位患者同一手術(shù)階段只能在一間手術(shù)室進(jìn)行；

（3）保證手術(shù)過程連續(xù)性，一旦開始就不能中斷；

（4）手術(shù)過程必須按照同一順序依次進(jìn)行；

（5）不考慮手術(shù)過程中突發(fā)情況手術(shù)間轉(zhuǎn)移情況；

（6）不同患者之間沒有先后約束；

（7）手術(shù)過程中患者的移動(dòng)時(shí)間忽略不計(jì)；

（8）手術(shù)過程中所有資源包括人員、設(shè)備和物資準(zhǔn)備充足并且能夠準(zhǔn)時(shí)到位；

（9）患者的類別已全部分好，不存在檢查產(chǎn)生的時(shí)間；

（10）沒有特殊要求的病患，并且在手術(shù)前不用特殊檢查[17]；

（11）所有手術(shù)的初始開始時(shí)刻以及手術(shù)間的開始手術(shù)時(shí)間都為0；

（12）不考慮連續(xù)不同手術(shù)之間的切換時(shí)間。

約束條件如式（6）～（15）所示：

式（6）表示每位患者在同一手術(shù)工序上只能在唯一的手術(shù)室進(jìn)行治療；式（7）和式（8）表示應(yīng)急手術(shù)每個(gè)階段至少有一個(gè)病床；式（9）表示每道手術(shù)工序治療的患者總數(shù)為n；式（10）表示一間手術(shù)室在同一時(shí)間只能對(duì)一位患者進(jìn)行一道手術(shù)過程；式（11）表示必須按照手術(shù)流程進(jìn)行手術(shù)；式（12）表示手術(shù)過程Oij一旦開始就不可以中斷；式（13）表示手術(shù)工序的順序約束；式（14）約束了手術(shù)開始和結(jié)束時(shí)間一定是正數(shù)；式（15）表示變量的取值范圍。

2 算法設(shè)計(jì)

2.1 應(yīng)急手術(shù)調(diào)度數(shù)學(xué)模型

布谷鳥算法（cuckoo search，CS）是由英國(guó)劍橋大學(xué)的Yang等在2009年提出的一種仿生群智能算法[18]，是一種求解優(yōu)化問題的新型高效的基于種群的啟發(fā)式進(jìn)化算法，具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、控制參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)。該算法是基于某些布谷鳥類的義務(wù)后代寄生行為，結(jié)合某些鳥類和果蠅的Lévy飛行行為而設(shè)計(jì)的。該算法的靈感來源于布谷鳥的繁殖策略，根據(jù)布谷鳥產(chǎn)卵時(shí)的飛行機(jī)制進(jìn)行搜索，能夠快速有效地解決多維空間尋優(yōu)問題。通過模擬布谷鳥的智能繁殖行為而開發(fā)出來的，基于群體的搜索過程，作為優(yōu)化工具，解決復(fù)雜的、非線性的和非凸的優(yōu)化問題。在初始化過程中，所有的鳥巢（解）都是在上限和下限內(nèi)隨機(jī)生成的。

2.1.1 Levy飛行

布谷鳥算法的一個(gè)重要特征是使用了Levy飛行的方式進(jìn)行局部和全局搜索。Levy飛行過程，以前被用于其他啟發(fā)式搜索，其特征是從概率密度函數(shù)中選擇一系列瞬時(shí)移動(dòng)。這個(gè)過程代表了最佳隨機(jī)搜索模式，在自然界中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)[19]。Levy飛行的原理是模擬一種隨機(jī)游走過程，它由低頻率的長(zhǎng)距離飛行和高頻率的短距離飛行所組成，其步長(zhǎng)服從Levy分布。因此，布谷鳥算法尋找鳥巢的位置以及路徑更新公式如下：

式中，Xti為當(dāng)前的解；?為點(diǎn)乘；Levy(λ)為L(zhǎng)evy飛行的搜索路徑；λ為參數(shù)；α是步長(zhǎng)參數(shù)，其大小直接取決于問題的規(guī)模，具體可表示為：

式中，α0為大于0的實(shí)數(shù)，通常取0.01；Xbest表示當(dāng)前最優(yōu)解。

2.1.2 布谷鳥搜索過程

傳統(tǒng)的布谷鳥算法需要滿足以下三種原則：（1）布谷鳥隨機(jī)選擇寄生巢，并且隨機(jī)產(chǎn)卵。（2）只有擁有最高質(zhì)量的卵的最好的巢才會(huì)被選擇給下一代。（3）布谷鳥的卵被宿主察覺的概率為pa，并且被察覺后，布谷鳥需要尋找新的鳥巢。最后一個(gè)假設(shè)可以理解為：如果參數(shù)設(shè)置為0.2，則在每次迭代結(jié)束時(shí)，有20%的最差巢穴將被隨機(jī)生成的新巢所取代。Levy飛行表示隨機(jī)飛行的路徑，飛行的方向服從均勻分布，連續(xù)跳躍距離和時(shí)間t服從著名的Levy概率分布，故對(duì)其簡(jiǎn)化和進(jìn)行傅里葉變換后，得到符合冪次形式的分布：

式中，u是一個(gè)帶有重尾的概率分布，服從Levy分布，該分布有一個(gè)無窮方差和無窮均值，其步長(zhǎng)本質(zhì)上構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)行走過程。

2.2 改進(jìn)的布谷鳥算法

布谷鳥算法具有全局搜索性能好、參數(shù)較少、簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。但它只適用于局部，容易陷入局部最優(yōu)解，并且最初的布谷鳥算法是為了應(yīng)用于連續(xù)優(yōu)化問題而開發(fā)的。因此，該算法不能直接用于解決離散的問題，通過改變算法的原始范式，將算法的思想推廣到離散域。

2.2.1 Levy飛行數(shù)學(xué)模型

本文采用Mantegna[20]提出的Levy飛行算法，公式如下：

式中，θ為分布參數(shù)，θ∈[0.3,1.99]，一般取1.5；μ和v服從正態(tài)分布，μ:N(0,σ2μ)和v:N(0,σ2v)；σμ和σv的取值如下：

綜上所述，布谷鳥算法的位置更新公式為：

2.2.2 被發(fā)現(xiàn)概率自適應(yīng)調(diào)整

傳統(tǒng)的布谷鳥算法都會(huì)采用不變的被發(fā)現(xiàn)概率pa，并且一般取值為0.25。被發(fā)現(xiàn)概率的大小會(huì)直接影響尋優(yōu)的搜索速度，若被發(fā)現(xiàn)概率過大，則會(huì)較難收斂到最優(yōu)解并有可能陷入局部最優(yōu)；而過小，則會(huì)使得收斂速度較慢并對(duì)搜索范圍盲目搜尋。因此，為了解決該問題，本文引入自適應(yīng)調(diào)整機(jī)制，具體如下：

式中，pmax表示最大被發(fā)現(xiàn)概率；i表示當(dāng)前迭代次數(shù)；Max_iter表示最大迭代次數(shù)；pmin表示最小被發(fā)現(xiàn)概率。

該策略使得算法在計(jì)算前期保證全局搜索能力的前提下快速收斂到非劣解，隨著迭代次數(shù)的逐步增加，種群個(gè)體的質(zhì)量也隨之增高。到了計(jì)算后期，被發(fā)現(xiàn)概率會(huì)隨著迭代次數(shù)的增加而遞減，有利于算法進(jìn)行更精確的局部搜索。相比于其他改進(jìn)方式，本文提出的改進(jìn)策略參數(shù)少，求解速度快，實(shí)現(xiàn)方式簡(jiǎn)單，有效地改善了搜索能力和收斂速度。

2.3 編碼規(guī)則

編碼是算法實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵。由于患者手術(shù)排序編碼是離散型的，無法直接使用布谷鳥算法，本文需要對(duì)手術(shù)工序和手術(shù)室進(jìn)行編碼?？紤]當(dāng)前手術(shù)工序手術(shù)室選擇和患者前后手術(shù)順序兩方面，為此，本文設(shè)計(jì)一種同時(shí)考慮當(dāng)前患者手術(shù)選擇和患者前后手術(shù)順序的兩段式整數(shù)編碼方式，如圖2所示。

基于手術(shù)工序編碼中，數(shù)字表示患者編號(hào)，數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)表示手術(shù)工序，比如第三個(gè)數(shù)字1表示患者1的第2道手術(shù)工序?；谑中g(shù)室編碼中，上行數(shù)字表示手術(shù)室編號(hào)，比如說第三個(gè)數(shù)字5表示患者1的第2道手術(shù)工序在手術(shù)室5上進(jìn)行。第一段編碼確定患者手術(shù)工序的順序，第二段編碼確定當(dāng)前患者手術(shù)工序所在的手術(shù)室。兩段編碼相結(jié)合確保所求解可行。

2.4 算法步驟

綜上所述，改進(jìn)的布谷鳥算法對(duì)應(yīng)急手術(shù)調(diào)度問題具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1設(shè)置算法參數(shù)，被發(fā)現(xiàn)概率pa，編碼上下限，Pareto解的個(gè)數(shù)Z，設(shè)置搜索終止條件以及最大迭代次數(shù)Max_iter。

步驟2初始化種群，計(jì)算各個(gè)鳥巢的目標(biāo)函數(shù)值，并保留最好鳥巢及其目標(biāo)函數(shù)值。

步驟3計(jì)算鳥巢位置，對(duì)應(yīng)三個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，構(gòu)建初始Pareto最優(yōu)解集。

步驟4根據(jù)位置更新公式（16）～（21），得到下一代鳥巢的位置。

步驟5計(jì)算每個(gè)鳥巢的目標(biāo)函數(shù)值，并與上一代的鳥巢進(jìn)行對(duì)比，如果較優(yōu)，則更新當(dāng)前最好鳥巢的位置和最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。

步驟6用隨機(jī)游走的方式產(chǎn)生的新鳥巢代替位置較差的部分鳥巢，并計(jì)算被發(fā)現(xiàn)概率pa；每個(gè)新鳥巢產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)r，服從[0,1]之間均勻分布，如果r大于被發(fā)現(xiàn)概率pa則返回步驟4，否則進(jìn)入步驟7。

步驟7比較兩代鳥巢目標(biāo)函數(shù)值，構(gòu)建新Pareto最優(yōu)解集，并計(jì)算每個(gè)鳥巢的目標(biāo)函數(shù)值，更新最優(yōu)鳥巢。

步驟8判斷當(dāng)前迭代次數(shù)是否達(dá)到最大迭代次數(shù)Max_iter，若不符合則返回步驟4；否則終止算法，輸出Pareto解。

改進(jìn)后的算法流程圖如圖3所示。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 算例描述

在新冠肺炎疫情的背景下以某地突發(fā)城市公共衛(wèi)生事件為例，驗(yàn)證本文提出的模型和設(shè)計(jì)的布谷鳥算法。假設(shè)突發(fā)事件后有12個(gè)患者需要應(yīng)急手術(shù)，所有患者全部同時(shí)到達(dá)[21]，患者的傷勢(shì)人數(shù)比例為輕度患者50%、重度患者25%、危重患者25%。患者都需要依次進(jìn)行準(zhǔn)備、手術(shù)和恢復(fù)3個(gè)手術(shù)流程，手術(shù)不同階段手術(shù)團(tuán)隊(duì)的學(xué)習(xí)率分別取20%、15%和10%；患者惡化率取1.5%。其中，準(zhǔn)備室有2個(gè)編號(hào)為m1、m2；手術(shù)室有5個(gè)，包括3個(gè)r1手術(shù)室編號(hào)為m3、m4、m5和2個(gè)r2手術(shù)室編號(hào)為m6、m7；恢復(fù)室有3個(gè)編號(hào)為m8、m9、m10。成本參數(shù)設(shè)置方面，文靜等[22]在急診檢查調(diào)度研究中考慮了患者的滯留成本，與本文的患者因長(zhǎng)時(shí)間等候造成的惡化成本相似，因此將參數(shù)一致設(shè)置為ω=1/15,δ1=0,δ2=1,δ3=2。手術(shù)室能耗參數(shù)方面，于思文[23]在對(duì)手術(shù)排程研究中的手術(shù)室加班和空閑的懲罰系數(shù)的值是以Jebali[24]研究中的系數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，因此設(shè)定各手術(shù)室單位時(shí)間的空載能耗系數(shù)IE=1,手術(shù)室處于忙時(shí)單位時(shí)間的能耗系數(shù)PE=8[25]。手術(shù)時(shí)間具有不確定性的特點(diǎn)，同時(shí)考慮患者的不同分類，患者在每個(gè)手術(shù)流程的具體治療時(shí)間如表2所示。

表2 患者在每個(gè)手術(shù)室的治療時(shí)間Table 2 Treatment time of patients in each operating room 單位：min

3.2 結(jié)果及分析

多目標(biāo)應(yīng)急手術(shù)調(diào)度問題求解的運(yùn)行環(huán)境為：操作系統(tǒng)為Windows10，處理器為Intel?CoreTMi5-5200U，主頻為2.20 GHz，內(nèi)存為4 GB，采用MatlabR2018a編程實(shí)現(xiàn)。

根據(jù)應(yīng)急手術(shù)調(diào)度的數(shù)學(xué)模型，將改進(jìn)的布谷鳥算法與傳統(tǒng)的布谷鳥算法的運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。為了驗(yàn)證算法的有效性，設(shè)置算法的總迭代次數(shù)為100，分別對(duì)兩組實(shí)驗(yàn)獨(dú)立運(yùn)行20次后取平均值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果具體如表3所示。從表3可以看出，與傳統(tǒng)的布谷鳥算法相比改進(jìn)的布谷鳥算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)f1有15.51%的提升；對(duì)目標(biāo)函數(shù)f2有30.72%的提升；對(duì)目標(biāo)函數(shù)f3有15.52%的提升。這說明經(jīng)過被發(fā)現(xiàn)概率自適應(yīng)性調(diào)整的布谷鳥算法能夠很好地找到Pareto解，并避免陷入局部最優(yōu)。

表3 20組Pareto最優(yōu)解Table 3 20 Pareto optimal solutions

為了更清楚地看出改進(jìn)布谷鳥算法的收斂速度，本文隨機(jī)選取表3中的第17次運(yùn)行過程，繪制算法的收斂曲線圖。平均完成手術(shù)時(shí)間、患者惡化成本和手術(shù)室空載及忙時(shí)總能耗三個(gè)目標(biāo)函數(shù)的迭代曲線具體如圖4所示。圖中橫坐標(biāo)表示迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)表示各目標(biāo)函數(shù)的變化值。

從圖4可以看出，隨機(jī)選取的第17次運(yùn)行結(jié)果的最優(yōu)目標(biāo)值收斂曲線中改進(jìn)的布谷鳥算法相比傳統(tǒng)布谷鳥算法，具有更快的收斂速度。

由此繪制的甘特圖如圖5所示，圖中橫坐標(biāo)表示時(shí)間；縱坐標(biāo)表示不同手術(shù)室，圖中不同顏色代表不同患者，并且每個(gè)患者應(yīng)急手術(shù)不同階段的顏色是相同的。圖5中患者手術(shù)的三個(gè)階段在時(shí)間維度上基本首尾相接，說明患者的應(yīng)急手術(shù)調(diào)度安排得比較緊湊，調(diào)度結(jié)果比較合理。

根據(jù)圖6可知，Pareto可行解的分布比較分散且均勻，能夠有效地跳出局部收斂狀態(tài)，說明被發(fā)現(xiàn)概率自適應(yīng)性能夠使布谷鳥算法跳出局部最優(yōu)，擴(kuò)大搜索的范圍，有效更新鳥巢并保證種群的多樣性。

3.3 不同參數(shù)對(duì)手術(shù)調(diào)度的影響

手術(shù)團(tuán)隊(duì)中各成員直接配合的默契程度以及醫(yī)生的職稱和經(jīng)驗(yàn)之間存在差異，會(huì)有不同的學(xué)習(xí)效應(yīng)，學(xué)習(xí)率以20%、15%、10%為例，按照手術(shù)階段依次遞減規(guī)律，獨(dú)立運(yùn)行改進(jìn)的布谷鳥算法20次求平均值，以平均手術(shù)時(shí)間為例，結(jié)果如表4所示。由表4可知，隨著不同手術(shù)階段的學(xué)習(xí)率的遞減，平均手術(shù)時(shí)間并不是直線下降而是呈現(xiàn)跳躍的趨勢(shì)。

表4 不同學(xué)習(xí)率下的調(diào)度結(jié)果Table 4 Scheduling results under different learning rates

由于每批患者的惡化效應(yīng)存在差異，會(huì)導(dǎo)致患者擁有不同的惡化效應(yīng)，惡化率分別取0.5%、1.0%、1.5%、2.0%、2.5%、3.0%，獨(dú)立運(yùn)行改進(jìn)的布谷鳥算法20次求平均值，同樣以平均手術(shù)時(shí)間為例，結(jié)果如表5所示。由表5可知由于惡化率的存在，應(yīng)急手術(shù)調(diào)度問題的所有患者平均完成手術(shù)的時(shí)間會(huì)比理論值小，并且惡化率越高，對(duì)手術(shù)調(diào)度的結(jié)果影響越大。

表5 不同惡化率下的調(diào)度結(jié)果Table 5 Scheduling results under different deterioration rates

4 結(jié)束語

應(yīng)急手術(shù)的調(diào)度對(duì)患者傷勢(shì)的救治情況起著至關(guān)重要的作用。本文充分考慮手術(shù)治療的三個(gè)階段與三級(jí)置換流水車間相似的特點(diǎn)，將流水車間的思想運(yùn)用到應(yīng)急手術(shù)調(diào)度中，以最小化平均完成手術(shù)時(shí)間、患者惡化成本和手術(shù)室總能耗為目標(biāo)，并同時(shí)考慮了患者的三級(jí)分類。在求解算法方面，對(duì)算法中被發(fā)現(xiàn)概率進(jìn)行自適應(yīng)性調(diào)整，通過對(duì)算法和模型的結(jié)果分析，驗(yàn)證了改進(jìn)布谷鳥算法的有效性。未來可進(jìn)一步考慮突發(fā)事件不同階段的特征，針對(duì)性地探索手術(shù)資源及醫(yī)院資源多周期配置，進(jìn)行動(dòng)態(tài)手術(shù)調(diào)度研究。