分式方程的尋“根”之旅

文／唐榮喜

斐波那契是最早應(yīng)用分式方程的歐洲數(shù)學(xué)家，早在13 世紀(jì)就提出了分式方程的概念。斐波那契的著作《計(jì)算之書》中給出了大量分式方程的應(yīng)用問題，典型的有“分10 問題”和“分錢問題”。但《計(jì)算之書》中的所有分式方程在化整后，都沒有出現(xiàn)增根現(xiàn)象，因此，斐波那契也就沒有意識到分式方程增根的存在。

1850 年之后，西方許多數(shù)學(xué)著作中也出現(xiàn)了分式方程，但作者們往往對分式方程和分?jǐn)?shù)系數(shù)方程不加區(qū)別，對增根仍視而不見。

“0 能否作除數(shù)”是分式方程是否產(chǎn)生增根的一個(gè)重要原因。1880 年左右，分析學(xué)的嚴(yán)密化促使數(shù)學(xué)家們重新討論這個(gè)問題。德國數(shù)學(xué)家利普希茨、奧地利數(shù)學(xué)家斯托爾茨等相繼指出：0 不能作除數(shù)。這次大討論在一定程度上促進(jìn)了分式方程增根問題的解決。

1882 年，美國康奈爾大學(xué)三位數(shù)學(xué)教授奧里佛、威特和瓊斯在他們合著的《代數(shù)》中討論了分式方程的解法，證明了下面的定理：方程兩邊乘同一個(gè)數(shù)，若這個(gè)數(shù)既不是未知數(shù)的函數(shù)，也不是0或無窮大，則方程的根不變。三位數(shù)學(xué)家對分式方程增根和失根問題已經(jīng)有了比較清晰的認(rèn)識，他們指出，在方程轉(zhuǎn)化過程中，每一步都必須是正確的，并且是可逆的，否則必須將所得結(jié)果代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，若有任何一步不正確或不可逆，就有可能會(huì)出現(xiàn)增根或失根。方程兩邊同時(shí)乘最簡公分母顯然不可逆，因此必須將所得結(jié)果代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)。結(jié)果若滿足原方程，即為方程的根，否則就是增根。

1899 年，美國賓夕法尼亞大學(xué)教授費(fèi)舍和施瓦特在他們編寫的《代數(shù)基礎(chǔ)》中給出了分式方程的一般解法：先移項(xiàng)，使得分式方程的一邊化為0，然后進(jìn)行通分、化簡，再令分式的分子等于0 且分母不等于0 來求解，用這種方法解分式方程避免了增根的產(chǎn)生。

分式方程的增根問題，從發(fā)現(xiàn)到解決經(jīng)歷了漫長而曲折的歷程，增根問題的完美解決是數(shù)學(xué)家們前赴后繼、不懈追求的結(jié)果。數(shù)學(xué)家們鍥而不舍、追求真理的執(zhí)著精神值得我們學(xué)習(xí)。