數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

□江蘇省宿遷中學(xué) 張歡歡

數(shù)學(xué)是高中階段的重點(diǎn)課程之一，學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)十分關(guān)鍵，學(xué)好數(shù)學(xué)要求學(xué)生擁有良好的邏輯思維和思辨能力。然而在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，數(shù)學(xué)是很多學(xué)生最為頭疼的科目，原因是他們沒(méi)有掌握正確的解題方法，導(dǎo)致思路狹窄，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)成績(jī)不理想。本文圍繞著數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用展開(kāi)論述，以期幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)。在課程改革的背景下，傳統(tǒng)教育模式已經(jīng)無(wú)法適應(yīng)現(xiàn)代教學(xué)需求，在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生需要掌握多元化的數(shù)學(xué)技巧，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題，提高解題正確率，這就引起了廣大數(shù)學(xué)教師的思考，在教學(xué)過(guò)程中要不斷改進(jìn)教學(xué)方法，提高課堂質(zhì)量，數(shù)形結(jié)合教育思想的使用，能提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)綜合能力，鼓勵(lì)學(xué)生思維朝著更加全面的方向發(fā)展。讓學(xué)生用更加清晰的思維理解和掌握數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和數(shù)學(xué)實(shí)際操作能力，所以，如何把數(shù)形結(jié)合更好地帶入高中課程，讓學(xué)生能建立起屬于自己的解題方式，是教師應(yīng)該著重關(guān)注的問(wèn)題。在日常學(xué)習(xí)中，也應(yīng)督促學(xué)生多運(yùn)用不同的解題方法，解題思路，提高學(xué)習(xí)效率，從而提高成績(jī)。

一、數(shù)形結(jié)合思想介紹

“數(shù)形結(jié)合”顧名思義便是將“數(shù)”與“形”相結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題，是一種新型高效的解題方式，將其運(yùn)用到高中數(shù)學(xué)中，可以使枯燥的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得生動(dòng)有趣。從本質(zhì)上來(lái)講，就數(shù)學(xué)問(wèn)題的學(xué)習(xí)和研究，我們可以把它們量化成多對(duì)數(shù)量關(guān)系以及空間形式代數(shù)，體現(xiàn)的是一定的數(shù)量，幾何呈現(xiàn)的是空間表現(xiàn)形式，從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，數(shù)字和圖形能相輔相成，相得益彰，他們二者之間本身就有互相轉(zhuǎn)化的天然橋梁，單純地利用數(shù)字來(lái)表達(dá)問(wèn)題較為抽象，但如果能把它化成直觀的圖形，就能較為簡(jiǎn)便地進(jìn)行條件的等價(jià)替代，在研究數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系時(shí)，可以利用圖形展開(kāi)研究，這樣有助于問(wèn)題的思考和解決，從數(shù)學(xué)劃分上來(lái)講，代數(shù)和幾何屬于兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，但是二者之間可以有機(jī)結(jié)合，相互統(tǒng)一。因此數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)常用的解題方法，也是一種慣用的思維模式。學(xué)生在解決數(shù)量關(guān)系問(wèn)題時(shí)，可以把它們化成圖形，以此形式表現(xiàn)出來(lái)，完成由數(shù)字到具體圖形的轉(zhuǎn)換，在解決幾何類問(wèn)題時(shí)，也可以把圖形信息轉(zhuǎn)化為相關(guān)的數(shù)字問(wèn)題，讓數(shù)字和幾何呈現(xiàn)出互相結(jié)合的辯證關(guān)系，發(fā)揮代數(shù)與幾何各自領(lǐng)域的優(yōu)勢(shì)，方便學(xué)生在解題中明確思路，提高正確率。簡(jiǎn)言之，數(shù)形結(jié)合是一種有效的教育方法，有助于學(xué)生理清數(shù)字和圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于代數(shù)含義和幾何圖形的含義分析，數(shù)形結(jié)合一般被運(yùn)用在具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，能給人帶來(lái)嶄新的問(wèn)題思考角度把問(wèn)題由抽象的數(shù)字變成具體的圖形或者把抽象的圖形變?yōu)榫唧w的數(shù)字，二者之間的轉(zhuǎn)換有一定的規(guī)律，人們可以從不同的角度思考問(wèn)題的簡(jiǎn)化思路，這樣一來(lái)，學(xué)生的解題思維就被打開(kāi)了，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思路更加寬廣。因此，在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生遇到類似于空間概念，圖形思考或者是數(shù)量關(guān)系方面的難題，與其冥思苦想，不如采用“數(shù)形結(jié)合”的方式，一定能將復(fù)雜的幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而幫助學(xué)生更好地解決抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）等價(jià)策略

等價(jià)策略是數(shù)形結(jié)合的常用方法之一，在具體課堂教學(xué)中，教師可以結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方式，把代數(shù)與幾何問(wèn)題展開(kāi)，等價(jià)交換，學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中需要根據(jù)實(shí)際情況加以選擇，不論是使用代數(shù)，還是使用幾何方式，兩者方法并沒(méi)有優(yōu)劣之分，而是要酌情使用數(shù)字與圖形相互轉(zhuǎn)換的過(guò)程，必須要保證總值的等價(jià)，防止錯(cuò)誤運(yùn)用，例如，在函數(shù)這一章節(jié)的學(xué)習(xí)中找出函數(shù)值在坐標(biāo)系中的位置。這種函數(shù)值具有唯一性，只有函數(shù)圖像和函數(shù)數(shù)值保持一致，才能確保數(shù)量關(guān)系的正確，否則數(shù)字和圖形并不能進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，學(xué)生要快速找到數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題切入點(diǎn)，提高解題效率。

（二）雙向策略

高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容全面且廣泛，僅僅依靠理論教學(xué)很難讓學(xué)生全部理解，而且數(shù)學(xué)公式之間的共性單靠學(xué)生很難總結(jié)出來(lái)。所以，選擇高效而明確的策略來(lái)為學(xué)生表述理論知識(shí)，進(jìn)而整合成一整套系統(tǒng)化的知識(shí)。

將數(shù)形結(jié)合法與電子信息技術(shù)相結(jié)合，就能將類似于函數(shù)圖像等以動(dòng)態(tài)形式展現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)動(dòng)態(tài)化的教學(xué)課件、動(dòng)畫(huà)、繪圖等形式在數(shù)學(xué)問(wèn)題的講授中，教師可以向?qū)W生分別展示代數(shù)解題和幾何解題的不同方法，讓學(xué)生受到潛移默化的思想影響，逐漸明確代數(shù)與幾何的優(yōu)劣勢(shì)，也能領(lǐng)略到數(shù)形結(jié)合的巨大優(yōu)勢(shì)，代數(shù)解題法往往比較抽象，而幾何解題法通過(guò)圖形的表述能讓問(wèn)題得到更直觀的轉(zhuǎn)化，二者的結(jié)合可以優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)。有一些比較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題，則不需要利用畫(huà)圖解法，否則會(huì)十分不方便，這一類問(wèn)題運(yùn)用代數(shù)解題法往往會(huì)更加直觀明了，而對(duì)一些條件繁多的題目，則可以選擇把代數(shù)轉(zhuǎn)化為幾何的方式加以解決，縮短解題時(shí)間得出最終的正確答案，因此，數(shù)形結(jié)合方式的選擇，需要根據(jù)題目條件作出判斷，只有具體問(wèn)題具體分析，才能充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)。這就是數(shù)形結(jié)合運(yùn)用的雙向策略，學(xué)生要在教師的帶領(lǐng)下耐心分析問(wèn)題，做出正確的判斷，教師也要悉心引導(dǎo)學(xué)生，找到正確的解題思路。

（三）簡(jiǎn)潔策略

高中數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)涵了諸多數(shù)學(xué)解題思想和方法，教師在課堂教學(xué)時(shí)，要把恰當(dāng)?shù)乃枷牒徒忸}策略融入知識(shí)點(diǎn)的講授過(guò)程，根據(jù)不一樣的題型選擇有差異化的引導(dǎo)策略。高中學(xué)生面臨著高考的壓力，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須要取得優(yōu)異的考試成績(jī)才能達(dá)到高考的要求，考入理想大學(xué)，因此在解題過(guò)程中，一定要以縮短時(shí)間，提高正確率為基本目標(biāo)，這就要求解題過(guò)程盡量簡(jiǎn)潔，用簡(jiǎn)單的步驟得到更加精準(zhǔn)的答案，具體而言，如果學(xué)生在做選擇題之類的客觀題，不需要用過(guò)于精準(zhǔn)的圖像去體現(xiàn)條件，只需要找出數(shù)值的大概區(qū)間，畫(huà)出簡(jiǎn)易圖像就可以用排除法獲得正確的答案，然而在解決主觀題之類的大題是數(shù)值的計(jì)算，需要精準(zhǔn)，在這時(shí)學(xué)生就要利用數(shù)形結(jié)合的方式，把數(shù)字精準(zhǔn)帶入到圖像中表達(dá)出來(lái)，總體來(lái)說(shuō)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用要因題而異，讓做題過(guò)程更加簡(jiǎn)化，教學(xué)工作者也要倡導(dǎo)簡(jiǎn)單構(gòu)圖，在節(jié)約時(shí)間的前提下快速理解問(wèn)題，用圖形把數(shù)字知識(shí)快速表達(dá)出來(lái)，讓學(xué)生高效率地對(duì)題目進(jìn)行了解和判斷，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。

（四）趣味策略

數(shù)學(xué)是非常理性的一門科目，內(nèi)容知識(shí)復(fù)雜，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，需要吃透各種類型的數(shù)學(xué)定律，學(xué)習(xí)過(guò)程比較枯燥乏味，很容易讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生反感，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)積極性不強(qiáng)，課堂效率差，因此，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)候可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來(lái)提高課堂的趣味性，讓學(xué)生在易懂的圖形中去理解各種抽象的公式和法則，提高學(xué)生的積極性。因?yàn)橄鄬?duì)于文字來(lái)說(shuō)，圖像更能使人印象深刻，更容易被學(xué)生記住，讓繁雜的公式法則不再成為困擾學(xué)生的難題，對(duì)學(xué)生后續(xù)進(jìn)行更高難度的數(shù)學(xué)課程也有促進(jìn)作用。課堂輕松有趣，容易理解，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情也會(huì)提高，在解答問(wèn)題的時(shí)候也會(huì)輕松，更容易拓寬思路，舉一反三，進(jìn)而培養(yǎng)出學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，隨著課程的推進(jìn)，學(xué)生會(huì)更傾向于自己解決問(wèn)題，并能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解答數(shù)學(xué)難題，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)也會(huì)進(jìn)一步提高。

三、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體運(yùn)用建議

（一）以圖形解釋代數(shù)

數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，最關(guān)鍵的策略就是用圖形來(lái)解釋數(shù)字幾何和代數(shù)分開(kāi)學(xué)習(xí)都是數(shù)學(xué)難點(diǎn)，可以利用數(shù)形結(jié)合的形式轉(zhuǎn)變學(xué)生傳統(tǒng)思維定式，突破思維局限性，把抽象圖形或抽象數(shù)字放在一起進(jìn)行結(jié)合與轉(zhuǎn)換，方便學(xué)生快速理解，比如，在學(xué)習(xí)關(guān)于異面直線相關(guān)內(nèi)容時(shí)，如果單純講解異面直線概念，學(xué)生很難感同身受，也會(huì)認(rèn)為知識(shí)內(nèi)容過(guò)于抽象化，這時(shí)教師就可以把異面直線用直觀的幾何圖形展示出來(lái)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度，促進(jìn)學(xué)生對(duì)異面直線相關(guān)概念和內(nèi)容的掌握，提高學(xué)生對(duì)抽象知識(shí)的理解能力和運(yùn)用能力。

（二）結(jié)合教材內(nèi)容

在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)知識(shí)，同數(shù)形結(jié)合思想方法之間存在不可分割的緊密關(guān)聯(lián)。例如，在不等式中，能通過(guò)常規(guī)方式的運(yùn)用，對(duì)絕對(duì)值不等式進(jìn)行求解，同時(shí)，還可以通過(guò)“形”方式的運(yùn)用，換言之，就是通過(guò)絕對(duì)值自身幾何意義的運(yùn)用，從而做出求解。而針對(duì)教師來(lái)講，必須要將此優(yōu)勢(shì)充分加以應(yīng)用，可以高效完成數(shù)形結(jié)合思想方法的實(shí)踐教學(xué)。例如，教師在教學(xué)“排列組合”的過(guò)程中，時(shí)常會(huì)得出眾多不同的可能以及結(jié)果，而如果發(fā)生排列組合所得的結(jié)果較多，或者是情況較為復(fù)雜之時(shí)，以往所采取的口述傳授、講解的方式極有可能發(fā)生敘述不清、表述重復(fù)等現(xiàn)象。由此可見(jiàn)，教師可以通過(guò)對(duì)數(shù)形結(jié)合等思想方式的運(yùn)用，以及通過(guò)樹(shù)形圖的方式，把可能出現(xiàn)的結(jié)果及其情況繪制在黑板上，這樣就可以更加直觀、生動(dòng)地展示整個(gè)結(jié)果排列組合的過(guò)程，從而使高中生能更加一目了然，在記憶和掌握有關(guān)知識(shí)點(diǎn)的期間，又不至于出現(xiàn)邏輯紊亂、記憶重復(fù)的現(xiàn)象。

（三）運(yùn)用于數(shù)學(xué)作業(yè)中

在數(shù)學(xué)作業(yè)中使用數(shù)形結(jié)合的思維方式，教師不但可以幫助高中生對(duì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)進(jìn)行有效鞏固，并且還能通過(guò)數(shù)形結(jié)合思維方式的練習(xí)，進(jìn)而幫助高中生進(jìn)行深入分析，從而引導(dǎo)他們能提高數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決能力。例如，在對(duì)不等式數(shù)學(xué)題目求解的過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)高中生在草稿紙上將計(jì)算的相關(guān)步驟、最終的計(jì)算結(jié)果明確、清晰地寫(xiě)出，并且在附近的空白位置建立直角坐標(biāo)系，精準(zhǔn)畫(huà)出不等式所表示的區(qū)域，同時(shí)，通過(guò)圖像構(gòu)建方式的應(yīng)用，對(duì)不等式的最小值或者是最大值做出明確表示。另外，在對(duì)最終計(jì)算結(jié)果的檢驗(yàn)工作完成以后，為其布置需要應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法來(lái)完成的數(shù)學(xué)作業(yè)，確保高中生能在日常生活、課余時(shí)間的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)期間，依然可以熟練并且自覺(jué)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法。

（四）數(shù)形變換，以數(shù)變形，以形化數(shù)

以數(shù)變形，就是將枯燥乏味的數(shù)學(xué)抽象難題借圖形進(jìn)行表達(dá)，讓問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔明了，通過(guò)直觀的圖形，學(xué)生會(huì)更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，從而提高對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，會(huì)主動(dòng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來(lái)鉆研更深的數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用在中學(xué)階段數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行深入運(yùn)用可以有效實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生抽象概念理解能力的教育目標(biāo)。眾所周知，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，抽象化及概念化的教學(xué)特點(diǎn)是影響學(xué)生知識(shí)理解和應(yīng)用能力發(fā)展的關(guān)鍵因素和主要問(wèn)題。很多學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念和知識(shí)理解效果不好，導(dǎo)致綜合學(xué)習(xí)水平提升速度較慢。例如，在數(shù)學(xué)教學(xué)“隨機(jī)事件與概率”一課展開(kāi)過(guò)程中，教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況展開(kāi)小組合作學(xué)習(xí)，通過(guò)多元化的合作形式結(jié)合實(shí)踐教學(xué)方法，強(qiáng)化發(fā)展學(xué)生知識(shí)運(yùn)用能力。對(duì)此，教師首先要根據(jù)學(xué)生性格特點(diǎn)、學(xué)習(xí)能力以及學(xué)生的個(gè)人意愿進(jìn)行合理的分配學(xué)習(xí)小組。其次，要深度挖掘教材內(nèi)容，布置具有學(xué)習(xí)價(jià)值的數(shù)學(xué)任務(wù)，讓學(xué)生以小組的形式進(jìn)行討論學(xué)習(xí)?？梢詤⒖己瘮?shù)方面，大多數(shù)學(xué)生看到密密麻麻的函數(shù)，都會(huì)覺(jué)得較為困難，枯燥，教師將函數(shù)圖像的方法和技巧傳授給學(xué)生，使學(xué)生能自由變換，并了解其中的特點(diǎn)規(guī)律。以形化數(shù)，則是要求學(xué)生將以數(shù)變形活學(xué)活用，舉一反三，能將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，嘗試用圖形來(lái)推導(dǎo)出數(shù)學(xué)公式，有利于提升教師的教學(xué)效率，使學(xué)生主動(dòng)探索數(shù)學(xué)知識(shí)的奧秘。

如在數(shù)學(xué)教學(xué)“二元一次方程”展開(kāi)過(guò)程中，教師首先對(duì)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行講解，讓學(xué)生理解二元一次的方程的改變，并加強(qiáng)學(xué)生二元一次方程與一元一次的方程的聯(lián)系，構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)圖形，落實(shí)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，加強(qiáng)學(xué)生的理解能力，從而有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。其次教師可以導(dǎo)入數(shù)學(xué)經(jīng)典例題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，在數(shù)學(xué)問(wèn)題雞兔同籠中，一共有50 個(gè)頭，140 只腳，問(wèn)雞和兔子一共有多少只？教師可以從一元一次方程入手，并逐漸帶入二元一次方程中，一方面可以給予學(xué)生一定的適應(yīng)時(shí)間，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)二元一次方程的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。因而，這對(duì)教師的要求也更加嚴(yán)格，教師在講的過(guò)程中不僅要讓學(xué)生對(duì)課本上的內(nèi)容有一定的了解，還要加強(qiáng)對(duì)他們獨(dú)立思考能力的培養(yǎng)。教師也可以借助圖形把應(yīng)用題的條件，算理很好地詮釋出來(lái)，把數(shù)形結(jié)合的思想充分運(yùn)用到教學(xué)中去，這在很大程度上也能提高學(xué)生獨(dú)立思考的能力。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)形結(jié)合法是一種高效的學(xué)習(xí)技巧，既包括數(shù)學(xué)知識(shí)，也有數(shù)學(xué)思想和方法。數(shù)形結(jié)合思想也是一種涉及領(lǐng)域廣泛的一種思想，不論是對(duì)教師做好數(shù)學(xué)教學(xué)工作還是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)都有很大作用。運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合教學(xué)，教師能有效提升教學(xué)水平，構(gòu)建高效課堂，學(xué)生也得到了更多的解題思路，并簡(jiǎn)化為更高效的、屬于自己的解題方式。這樣才能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)不再害怕，不再反感，轉(zhuǎn)而主動(dòng)地去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)課堂生動(dòng)有趣有意義。