不同級配顆粒材料的循環(huán)硬化行為與能量耗散*

夏平心 鄧 文 邵龍?zhí)?/p>

(①常州大學(xué)城市建設(shè)學(xué)院，常州 213164，中國)(②東南大學(xué)土木工程學(xué)院，南京 211189，中國)(③大連理工大學(xué)工程力學(xué)系，大連，116024，中國)

0 引 言

循環(huán)荷載是巖土工程基礎(chǔ)遭受的最常見的載荷，可能導(dǎo)致巖土基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)強度下降(Wichtmann et al.，2005;Karg et al.，2009)、不規(guī)則沉降(Puppala et al.，2009;Dong et al.，2018)、路面開裂(Roesler et al.，2005)和路堤肩側(cè)向剪脹(Yapage et al.，2014)，從而降低路基的運行生命周期(Wichtmann et al.，2005;Karg et al.，2009;Frost et al.，2014;Bian et al.，2018;Costaa et al.，2018;Zhai et al.，2020;Xia et al.，2022)。顆粒材料(土體)在循環(huán)載荷下表現(xiàn)出逐漸硬化的行為，主要體現(xiàn)為應(yīng)力-應(yīng)變滯回曲線逐漸變陡(Zeng et al.，2016;Xia et al.，2021b)，變形模量隨著循環(huán)的進行逐漸變大(Xia et al.，2021c)，顆粒接觸體系逐漸變得穩(wěn)定(Xia et al.，2021a)。因此，充分認識顆粒材料的循環(huán)硬化行為，揭示其變形機理對保障遭受循環(huán)荷載的巖土結(jié)構(gòu)安全運行具有重要意義。學(xué)者們針對顆粒材料在循環(huán)荷載下的變形行為做了大量的研究，然而關(guān)于循環(huán)硬化行為的宏-微觀相對應(yīng)的機理解釋的研究卻不多見，這對探索顆粒材料安定性機理具有啟發(fā)意義。

顆粒材料的變形行為與顆粒級配密切相關(guān)。顆粒級配對顆粒材料的變形模量、強度、壓縮性等力學(xué)特性具有顯著影響。對于級配良好的顆粒體系具有充足的細粒填隙、壓實位移較大、配位數(shù)高、內(nèi)摩擦角大等特點。針對這些特點很多研究學(xué)者從宏觀尺度或顆粒尺度(微觀尺度)開展了相關(guān)的研究(Xu et al.，2013;Chen et al.，2016;Le et al.，2018)，試圖從宏觀或微觀角度對其內(nèi)在機理進行解釋。然而，關(guān)于不同級配顆粒體系在宏-微觀尺度上相對應(yīng)的機理研究卻不多見，特別是顆粒滑動、循環(huán)硬化、能量耗散之間的關(guān)聯(lián)機制的研究鮮見報道。

離散單元方法(DEM)(Cundall et al.，1979)是一種新興的數(shù)值方法，以其對顆粒材料變形機理的洞察而聞名(Zamani et al.，2011;趙洲等，2019)。近年來，它被認為是研究顆粒材料模量/剛度極具有前景的工具(Agnolin et al.，2007；Magnanimo et al.，2008；Gu et al.，2013a，2013b)，并取得了豐碩的研究成果(Magnanimo et al.，2008；Gu et al.，2013a，2013b)，促進了對顆粒材料變形規(guī)律的理解(Cundall et al.，1989；Gu et al.，2013a，2013b;楊忠平，2020)，彌補了室內(nèi)試驗難以在微細觀尺度上研究的不足。DEM不僅能獲取顆粒接觸體系的內(nèi)變量演化規(guī)律，而且能統(tǒng)計顆粒體系內(nèi)的各能量的轉(zhuǎn)化，特別是由于顆粒滑動造成的能量耗散。

本文通過3D-DEM實施了循環(huán)三軸數(shù)值模擬試驗，研究了不同級配下顆粒體系在循環(huán)荷載下的循環(huán)硬化行為，并討論了(軸向)平均模量和由滑動接觸造成的能量耗散的演化趨勢。

1 循環(huán)三軸試驗?zāi)M

1.1 數(shù)值試樣

本文使用DEM 商業(yè)軟件 PFC3D(Itasca，2008)進行數(shù)值模擬。在PFC3D中，顆粒體系是用剛性球通過軟接觸彼此相互作用來建模的，并假設(shè)球體只有有限的剛度。通過允許顆粒體重疊來模擬接觸處的接觸。應(yīng)用牛頓第二運動定律于每個顆粒，不斷更新顆粒的位置，并根據(jù)力-位移定律，更新每個接觸的信息。

試樣由一個圓柱體空間表示，高度h0=2.4mm，直徑d0=1.2mm，如圖1a所示。數(shù)值試樣采用半徑膨脹法制備。一對剛性墻用于模擬上下移動的加載板來壓縮試樣，而圓柱形剛性墻通過伺服控制收縮和擴張以保持恒定的圍壓。土顆粒用球體表示，顆粒級配曲線如圖1b所示。模擬采用了6種顆粒級配，分別考慮相同不均勻系數(shù)Cu而顆粒平均粒徑d50不同和相同顆粒平均粒徑d50而不同不均勻系數(shù)Cu兩類工況。

圖1 (a)數(shù)值試樣和(b)試樣顆粒級配曲線Fig.1 (a) Specimen in DEM simulator and (b) grain size distribution curve of numerical specimen

1.2 顆粒接觸模型與輸入?yún)?shù)

圖2 數(shù)值模擬中顆粒接觸模型示意圖(g是顆粒表面間距，Dn和Ds分別表示法向和切向黏壺)Fig.2 Schematic diagrams of rolling resistance linear contact model(g is the surface gap(non-tension joint)，Dn and Ds are the normal and shear dashpots)

表 1 DEM模型中輸入?yún)?shù)Table1 Microscopic parameters in DEM

1.3 數(shù)值模擬過程

數(shù)值試樣在各向同性壓力下壓實，達到給定的目標圍壓σ3=100kPa，并通過伺服控制始終維持不變。隨后，頂部和底部壓板以每1000步 3.5×10-5的恒定應(yīng)變速率相向移動直到達到目標應(yīng)力值，時間步長為10-8s。最小和最大偏應(yīng)力分別設(shè)置為10kPa和100kPa，循環(huán)數(shù)統(tǒng)一設(shè)置為200次。

2 數(shù)值模擬結(jié)果與討論

2.1 滯回應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖3 循環(huán)荷載下典型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.3 Typically stress-strain curve in cyclic loading

圖4 循環(huán)荷載下能量耗散演化Fig.4 Evolution of energy dissipation during cyclic loading

以GS1試樣為例，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的模擬結(jié)果如圖3所示。隨著循環(huán)次數(shù)的增加，滯回圈逐漸變小并趨于閉合。前幾個應(yīng)力循環(huán)產(chǎn)生較大的應(yīng)變增量，隨著后續(xù)應(yīng)力循環(huán)的進行，應(yīng)變增量逐漸減小，這與其他文獻中室內(nèi)試驗和模擬結(jié)果一致(Indraratna et al.，2010；Nguyen et al.，2014；Chen et al.，2015)。此外，應(yīng)力-應(yīng)變滯回行為表明能量耗散不斷累積。圖4顯示了能量耗散的累積過程，放大細節(jié)展示在插圖中見圖4。結(jié)果表明無論加載或卸載，能量耗散都會持續(xù)累積。然而，單個循環(huán)周期內(nèi)的能量耗散增量逐漸降低并且趨于常數(shù)。數(shù)值模擬過程通過應(yīng)變累積和能量耗散一致再現(xiàn)了循環(huán)荷載下顆粒材料的循環(huán)硬化行為，為研究巖土基礎(chǔ)在循環(huán)荷載下，特別是慢速往復(fù)荷載下，比如，大壩蓄水泄洪、建筑物堆載與遷移、慢速交通荷載等，有益于從能量耗散角度來認識結(jié)構(gòu)循環(huán)硬化和變形沉降問題。

2.2 變形模量演化

循環(huán)硬化行為由加載期間的平均變形模量(峰-峰連線的斜率)進一步展示，如圖5所示，結(jié)果表明隨著循環(huán)荷載的進行，平均模量逐漸增加并趨于漸進值。根據(jù)文獻(Xia et al.，2021a)中的建議，平均變形模量用如下函數(shù)擬合：

(1)

式中：αE是模量變化系數(shù)；Ee表示為模量的漸進值。擬合結(jié)果如圖5所示。需要注意的是，圖5中的數(shù)據(jù)點離散型比較大，盡管擬合函數(shù)的R2不是很高，但在數(shù)據(jù)演化趨勢上，與擬合函數(shù)呈現(xiàn)一致；而且不同顆粒級配下的擬合指數(shù)相差不大，約為0.6左右。然而，模量的漸進值Ee和模量變化系數(shù)αE卻明顯依賴于顆粒級配，如圖6所示。圖中結(jié)果表明模量的漸進值Ee和模量變化系數(shù)αE隨著不均勻系數(shù)Cu的增加而降低，而隨著d50的增加卻出現(xiàn)了增加的趨勢，即顆粒材料不均勻系數(shù)越低，顆粒的平均粒徑越大平均模量越大。

2.3 滑動接觸演化

循環(huán)荷載造成顆粒間的重新排列，并產(chǎn)生更為致密的顆粒結(jié)構(gòu)。當顆粒重新排列時，顆粒間形成新的接觸網(wǎng)絡(luò)以及新的接觸力分布。循環(huán)硬化過程中，接觸具有的潛在相對運動狀態(tài)可以用流動性m來描述(Xia et al.，2021a)：

(2)

式中：Fs和Fn是接觸的切向力和法向力。當m接近1時，該接觸接近滑動狀態(tài)，特別是當m=1時則發(fā)生滑動。相反，m的值越小(或接近0)，接觸越難達到滑動狀態(tài)。因此，數(shù)值試樣中m的分布反映了顆粒的接觸力網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)。將m的取值范圍細分為5個等區(qū)間，統(tǒng)計每個區(qū)間的接觸數(shù)，則落于每個區(qū)間的概率為：

(3)

圖5 循環(huán)荷載下平均模量的演化(a)～(f)：GS1～GS6Fig.5 Evolution of average modulus with cycles(a)～(f)：GS1～GS6

圖6 不均勻系數(shù)和平均粒徑與參數(shù)Ee和αE的關(guān)系Fig.6 Relation of Ee and αE with uniformity coefficient and mean particle diameter

圖7 Pi隨時間步的演化(a)～(f)：GS1～GS6Fig.7 Evolution of Pi with time steps (a)～(f)：GS1～GS6

2.4 能量耗散演化

應(yīng)變累積率的降低表明每個循環(huán)中的能量耗散占比減少。在循環(huán)加載期間，外部加載提供的總邊界能轉(zhuǎn)化為顆粒動能、存儲在接觸處的應(yīng)變能、顆粒間的摩擦耗能，以及其他耗散機制耗散的能量(Nguyen et al.，2014)?？倯?yīng)變能Ek是在所有接觸Nc上對應(yīng)變能求和，每個時間步的耗散能ΔEu是在滑動接觸Ncs上對耗散能求和(Itasca，2008，Jiang et al.，2015，Tong et al.，2021)，即：

(4)

(5)

式中：Eu0、Fs′和Δδu分別是時間步開始時的能量耗散、時間步開始時的接觸切向力和一個時間步內(nèi)接觸的相對滑動位移增量。t0和t分別是循環(huán)加載期間的開始和持續(xù)時間步長。

圖8 歸一化能量耗散隨循環(huán)數(shù)的演化(a)～(f)：GS1～GS6Fig.8 Evolution of normalized energy dissipation with cycles(a)～(f)：GS1～GS6

能量耗散是顆粒滑動的宏觀表現(xiàn)。每個應(yīng)力循環(huán)中的能量耗散份數(shù)由歸一化能量耗散φ描述，定義為φ=ΔEu/ΔEk，其中ΔEu是加卸載循環(huán)后的能量耗散增量，ΔEk是加卸載循環(huán)期間的應(yīng)變能幅值，即峰值-峰值的應(yīng)變能增量。需要注意的是，能量耗散是單調(diào)增加的，而應(yīng)變能在加載過程中累積，在卸載過程中釋放。歸一化能量耗散隨加載循環(huán)數(shù)的演變?nèi)鐖D8所示，結(jié)果表明隨著循環(huán)數(shù)的增加，能量耗散逐漸降低，其演化行為與平均模量的演化行為近似一致。參考式(1)則φ隨N的演化趨勢用如下函數(shù)擬合：

(6)

式中：βφ是能量耗散衰減系數(shù)。擬合結(jié)果如圖8所示。φ隨加載周期的增加不斷較小，表明隨著應(yīng)變硬化的加強，能量耗散占比逐漸減小。由擬合函數(shù)可以看出，能量耗散不會一直衰減，存在一個閾值，約為0.15。該閾值可以定量描述最終狀態(tài)下能量耗散的占比，即顆粒體系經(jīng)過大量的循環(huán)荷載后進入變形穩(wěn)定狀態(tài)或安定狀態(tài)，體現(xiàn)出通常認為的“彈性”行為時，仍然伴隨著能量的損耗。理論上純彈性行為是沒有能量耗散的，然而對于顆粒材料來說通常認為的純“彈性”行為是不存在的，因此，對于顆粒材料展示出的變形可恢復(fù)同時伴隨著能量損耗的力學(xué)行為近似為“準彈性”行為(Xia et al.，2021a)。顆粒材料使用“準彈性”概念在描述一些特殊現(xiàn)象時比較方便，比如解釋砂土卸載體脹(Xia et al.，2021c)，值得進一步探討。

圖9 βφ隨不均勻系數(shù)和顆粒平均粒徑的變化Fig.9 Variation of βφ with uniformity coefficient and mean particle diameter

能量耗散衰減系數(shù)βφ隨不均勻系數(shù)和顆粒平均粒徑的變化如圖9所示，其隨不均勻系數(shù)的變化趨勢并不明顯，但隨顆粒平均粒徑的增加而增大，表明顆粒平均粒徑越大的顆粒體系越早完成能量耗散過程，即循環(huán)硬化過程越快完成。值得注意的是能量耗散衰減指數(shù)的大小與圖5中平均模量呈現(xiàn)的相近，表明在描述循環(huán)荷載硬化行為時，無論是使用變形模量還是歸一化能量耗散在結(jié)果上是一致的。這一結(jié)論在研究顆粒材料安定性微觀機理時具有啟發(fā)意義。這是因為顆粒材料安定性的定義和判定準則常由應(yīng)變累積趨勢來定，而應(yīng)變累積趨勢對應(yīng)著模量的演化過程。因此，從能量耗散以及顆?；瑒拥确较蛱剿黝w粒材料安定性機理不失為一種新的選擇。

3 結(jié) 論

本文通過實施3D-DEM數(shù)值模擬研究了不同級配下顆粒材料在循環(huán)荷載下的循環(huán)硬化行為，并分析了(軸向)平均模量和能量耗散的演化趨勢。結(jié)果表明隨著循環(huán)荷載的進行，平均模量逐漸增加并趨于漸進值。模量的漸進值Ee和模量變化系數(shù)αE隨著不均勻系數(shù)的增加而降低，而隨著d50的增加卻出現(xiàn)了增加的趨勢，即顆粒材料不均勻系數(shù)越低，顆粒的平均粒徑越大，平均模量越大。單個循環(huán)的能量耗散隨著循環(huán)數(shù)的增加不會一直衰減，而是存在一個閾值，約為0.15，即顆粒材料在循環(huán)荷載下始終伴隨能量耗散，該閾值可以定量描述最終狀態(tài)下的能量耗散占比。能量耗散衰減系數(shù)βφ隨不均勻系數(shù)的變化趨勢并不明顯，但隨顆粒平均粒徑的增加而增大，表明平均粒徑越大的顆粒體系越早完成能量耗散過程，即循環(huán)硬化過程越快完成。平均模量增加指數(shù)和能量耗散衰減指數(shù)的大小相近，表明在描述循環(huán)荷載硬化行為時，無論是使用變形模量還是歸一化能量耗散在結(jié)果上是一致的。