小學(xué)高年級數(shù)學(xué)活動課程滲透模型思想的探究

黃媛媛 劉梅梅 （哈爾濱師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院）

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，要想學(xué)好數(shù)學(xué)需要掌握一定的數(shù)學(xué)思想和方法，模型思想、數(shù)學(xué)建模是近年來數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域里比較熱門的話題，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）將模型思想列為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)十大核心概念之一，并明確指出“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”，模型思想的滲透也有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。隨著數(shù)學(xué)與社會生活的聯(lián)系越來越緊密，數(shù)字化、信息化的發(fā)展都對數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生了極大的影響，而作為基本數(shù)學(xué)思想之一的模型思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中也將占據(jù)更為重要的位置。尤其是對于小學(xué)高年級的學(xué)生，隨著數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜化，更需要培養(yǎng)模型思想來助力數(shù)學(xué)問題的解決。

一、模型思想的內(nèi)涵及其在數(shù)學(xué)活動課程中滲透的意義

（一）模型思想的有關(guān)概念

1.數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和工具，對現(xiàn)實世界的一些信息進(jìn)行適當(dāng)簡化，經(jīng)過推理和運(yùn)算，對相應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、預(yù)測、決策和控制，并且要經(jīng)過實踐檢驗的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。廣義地說，數(shù)學(xué)模型包含各種基本概念和算法，包括方程、不等式、函數(shù)、結(jié)構(gòu)性算法、圖形、圖表等；狹義地講，只有反應(yīng)特定問題或特定具體事務(wù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫作數(shù)學(xué)模型，比如人口模型、預(yù)測模型等。數(shù)學(xué)模型并不是一個很高大、深奧的概念，恰恰相反，它是幫助人們將復(fù)雜問題簡單化的工具，人們所熟知的運(yùn)算定律、周長及面積公式等都是數(shù)學(xué)模型。

2.模型思想

模型思想是連接數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，它是一種較高層次的數(shù)學(xué)思想，是指建立和求解數(shù)學(xué)模型的方法和意識的總和。理解模型思想首先要將數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法區(qū)分開來，雖然很多時候數(shù)學(xué)思想方法都是作為一個整體的概念被提到，但是二者有著本質(zhì)區(qū)別。數(shù)學(xué)方法強(qiáng)調(diào)的是探究問題的技能、技巧，是可以直接教給學(xué)生的。但是思想是一種本質(zhì)的、理性的認(rèn)識，是不能直接教給學(xué)生的，它是對知識和方法的抽象和概括，需要學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積累中去形成理性的認(rèn)識。作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種基本的思想，模型思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有十分重要的影響，同時作為一種解決問題的思路，對于學(xué)生未來生活也有重要的作用。

（二）小學(xué)高年級數(shù)學(xué)活動課程滲透模型思想的意義

1.對新課程改革的呼應(yīng)

新課程改革相比于以往更關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，隨著時代的進(jìn)步和學(xué)生心理的發(fā)展，新課標(biāo)在原來“雙基”的基礎(chǔ)上又提出了要發(fā)展學(xué)生的基本思想和基本活動經(jīng)驗，而《標(biāo)準(zhǔn)》把模型思想列為數(shù)學(xué)十大核心概念之一，足見模型思想的重要性。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是機(jī)械死板的，需要讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，那么教師就應(yīng)該在教學(xué)中有意識地引導(dǎo)學(xué)生通過問題的探究、實際操作等活動不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，積累活動經(jīng)驗。因此，在新課程改革的背景下，模型思想作為三大基本數(shù)學(xué)思想之一，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中理應(yīng)重視模型思想，并在此基礎(chǔ)上不斷推動基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展和進(jìn)步。

2.提高解決問題的能力

模型思想的作用在于幫助學(xué)生從解決一個問題到解決一類的問題，從而提高學(xué)生解決問題的能力。模型思想是較高層次的數(shù)學(xué)思想，也是最上位的數(shù)學(xué)思想，其中還包含優(yōu)化思想、量化思想、方程思想、隨機(jī)思想、統(tǒng)計思想等。每一種思想都代表著一類數(shù)學(xué)問題的解決思路，只要掌握了解決這類數(shù)學(xué)問題的核心思路，也就是建立了解決這類問題的模型，遇到類似的問題就可以運(yùn)用模型來求解，問題的解決就容易了很多。尤其是在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型的作用是不可估量的，它是幫助學(xué)生理解和抽象數(shù)學(xué)問題的非常重要的工具，持續(xù)影響著中學(xué)甚至大學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。如果不能夠很好地掌握基本的數(shù)學(xué)概念、公式、定律等，那么勢必也會影響學(xué)生的數(shù)感、符號意識甚至應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的養(yǎng)成。并且數(shù)學(xué)問題需要深入思考，解決問題不是照搬模型，而是在模型的幫助下去思考問題，在這個過程中學(xué)生逐漸學(xué)會解決問題，逐漸提高解決問題的能力。

3.提高應(yīng)用意識和思維水平

數(shù)學(xué)思想對一個人的影響是全面的、持續(xù)的，模型思想的養(yǎng)成不僅有利于數(shù)學(xué)問題的解決，其更深遠(yuǎn)的影響是提高學(xué)生的應(yīng)用意識和思維水平。數(shù)學(xué)作為一門工具性的學(xué)科，是能夠被運(yùn)用到社會生活的各個領(lǐng)域的，生活中處處都隱藏著數(shù)學(xué)可以解決的問題，建立和求解模型的過程同樣可以用于解決生活中的數(shù)學(xué)問題。如優(yōu)化思想，學(xué)生在購物中常常會遇到選擇哪種物品更合適的問題，此時解決最優(yōu)問題的模型就能夠發(fā)揮作用。適當(dāng)滲透模型思想有助于提升學(xué)生思維的抽象水平，鍛煉思維的深刻性、廣闊性和靈活性。學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模解決問題需要準(zhǔn)確地把握問題的本質(zhì)，分清問題中的各種因素，從而確定數(shù)據(jù)、求解問題。這不是機(jī)械套用的過程，而是深思熟慮的過程，這個過程經(jīng)過了思維的不斷轉(zhuǎn)換，因此建立模型思想的過程本身也是思維水平提升的過程。

二、小學(xué)高年級數(shù)學(xué)活動課程滲透模型思想存在的問題

與普通的數(shù)學(xué)課程相比，數(shù)學(xué)活動課程的活動性、趣味性、思考性、實踐性和協(xié)作性都更強(qiáng)，更強(qiáng)調(diào)學(xué)生在活動中建構(gòu)知識、提升思維、積累活動經(jīng)驗，一般設(shè)置在綜合與實踐板塊。這樣的課程更適合于注重建構(gòu)過程的模型思想的滲透，但是在小學(xué)高年級課堂中，教師還存在著問題：在活動課程中缺乏了滲透模型思想的過程，沒有利用好活動課程這個良好的培養(yǎng)途徑。

（一）教師缺乏滲透模型思想的意識

模型思想從2001年在課標(biāo)中首次出現(xiàn)，到2011年正式確立為數(shù)學(xué)的核心概念，發(fā)展到現(xiàn)在已經(jīng)20余年，但是大多數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)教師并沒有對模型思想給予足夠重視，認(rèn)為模型思想過于復(fù)雜，在小學(xué)階段并不適用，甚至片面地認(rèn)為是奧數(shù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，所以在教學(xué)中普遍缺乏滲透模型思想的意識。實際上，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容大部分都蘊(yùn)含著模型思想，方程、公式、運(yùn)算定律這些都是數(shù)學(xué)模型。但是在實踐中可以發(fā)現(xiàn)，許多教師沒有將公式、定律等與數(shù)學(xué)模型聯(lián)系起來，在教學(xué)中也不會刻意地強(qiáng)調(diào)滲透和培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。同時，也有部分教師由于自己沒有掌握數(shù)學(xué)建模的方法，因而在教學(xué)中也不懂得如何滲透模型思想，教師的個人素質(zhì)和能力制約著學(xué)生模型思想培養(yǎng)的環(huán)境創(chuàng)設(shè)?；顒诱n程的內(nèi)容通常都蘊(yùn)含了重要的模型思想，如果教師沒有組織學(xué)生探究模型、感悟模型思想，那么活動課程的開展就失去了很大的價值。

（二）教師重技巧而輕模型建構(gòu)過程

在應(yīng)試教育的背景下，部分教師為了學(xué)生能夠得到更高的分?jǐn)?shù)，往往更加注重傳授學(xué)生解題技巧和方法，但卻不關(guān)注學(xué)生是否理解方法的本質(zhì)，忽視了學(xué)生知識建構(gòu)的過程，這也是教師未能很好滲透模型思想的一個重要的原因。以乘法口訣的教學(xué)活動為例，很多教師在教學(xué)中側(cè)重于教學(xué)生怎么背乘法口訣，會組織學(xué)生通過“對口令”“找朋友”等活動反復(fù)記憶和訓(xùn)練，實際上，編制乘法口訣的過程才是體現(xiàn)乘法的意義的過程，因為隨著加數(shù)的增加，加法的計算就變得越來越復(fù)雜，因此借助乘法來計算就會更簡單。每一句口訣代表什么意思是通過學(xué)生自己的探究過程得來的，而不是靠背下來的，所以很多學(xué)生存在乘法口訣記不牢或者反應(yīng)很慢的問題，很大程度上是因為沒有掌握乘法口訣編制的要領(lǐng)、沒有理解乘法的意義，乘法的模型并沒有建立起來。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)該更關(guān)注的是學(xué)生建構(gòu)模型的過程，只有學(xué)生掌握了模型的本質(zhì)，才能夠更好地應(yīng)用模型，形成模型思想。

三、小學(xué)高年級數(shù)學(xué)活動課程滲透模型思想的策略

小學(xué)高年級學(xué)生的認(rèn)知水平處于具體運(yùn)算向形式運(yùn)算過渡的階段，基本具備了思維的完整性和邏輯性的體系，獨(dú)立探究能力顯著增強(qiáng)，語言表達(dá)能力和觀察感知能力也有了明顯提高，對于理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型有了更強(qiáng)的能力。隨著高年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的難度越來越大，結(jié)合活動課程來滲透模型思想，可以在一定程度上減緩學(xué)生對復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的焦慮，讓學(xué)生在相對趣味和輕松的活動中發(fā)揮其主動性和探究能力。同時，由于學(xué)生抽象能力已經(jīng)發(fā)展到了更高的階段，因此更容易掌握建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的方法，并深刻感悟數(shù)學(xué)模型的作用和重要性。小學(xué)高年級數(shù)學(xué)活動課程一般分為以下幾個步驟：確定活動主題，創(chuàng)設(shè)情境——發(fā)現(xiàn)問題，提出問題——探索活動，解決問題——匯報交流，深入思考——評價激勵，遷移應(yīng)用——反思總結(jié)。結(jié)合以上的步驟和數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)，在小學(xué)高年級數(shù)學(xué)活動課程中滲透模型思想可以從以下四方面入手：

（一）創(chuàng)設(shè)情境，初探數(shù)學(xué)模型

一般而言，在綜合與實踐板塊，教材會給出特定的問題情境，情境一定是與生活相關(guān)并且問題明確的。在北師版五年級上冊數(shù)學(xué) 《設(shè)計秋游方案》這一課中，教材呈現(xiàn)的情境是61名學(xué)生和教師去北京故宮和北海公園參觀，問題是買門票要多少錢？怎么安排時間更合理？這個情境涉及“秋游”，很容易引起學(xué)生的探究興趣，很多學(xué)生都有旅游、買票的經(jīng)驗，因此這個問題也足夠吸引學(xué)生。教師自主設(shè)計活動情境也需要注意聯(lián)系學(xué)生的生活實際，且問題是具有挑戰(zhàn)性但又不會太難的。將生活實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題是問題解決非常重要的一步，也是體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵之處，抽象的過程一定是學(xué)生自己經(jīng)歷的，而不是教師直接告訴學(xué)生的?！百I門票需要多少錢？”“怎么安排時間合理？”將這樣的生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題需要學(xué)生確定變量及數(shù)學(xué)關(guān)系，學(xué)生要思考需要哪些變量、他們之間的關(guān)系如何？確定了數(shù)據(jù)和關(guān)系之后，學(xué)生就可以根據(jù)這些信息抽象出數(shù)學(xué)問題了，在頭腦中初步形成解決此類問題的模型。這個步驟是建立模型的第一步，也是讓學(xué)生思維打開的過程。

（二）合作探究，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

合作學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)活動的重要表現(xiàn)形式，協(xié)同探究的過程不僅有助于學(xué)生發(fā)散思維，也有助于提高學(xué)生的積極性和合作能力。合作探究的過程需要留給學(xué)生足夠的發(fā)揮空間，教師不宜發(fā)出太多的指令和要求，否則學(xué)生所掌握的知識是不牢固的。數(shù)學(xué)建模的過程更強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主建構(gòu)，其建構(gòu)性具體表現(xiàn)在兩方面：一是學(xué)生需要自己尋找變量和關(guān)系式，用數(shù)學(xué)符號表示出來；二是解決一個問題可能不止有一個模型，學(xué)生需要自己去發(fā)現(xiàn)問題的多解性，并盡可能找出所有可以解決這個問題的模型。這個過程教師應(yīng)該讓學(xué)生自己探索，合作探究就給了學(xué)生思考和探究的空間。以人教版五年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”中“植樹問題”為例，學(xué)生通過初步探究可以發(fā)現(xiàn)“植樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1”這個模型，但是這個模型真的能解決所有植樹問題嗎？通過這樣的問題引導(dǎo)學(xué)生深入思考問題的多樣性，探究各種不同條件的植樹問題。學(xué)生通過小組集思廣益會發(fā)現(xiàn)問題不只這么簡單，從而探究得到“一端栽一端不栽”“兩端都栽”“兩端都不栽”三種問題下的數(shù)學(xué)模型。

（三）操作交流，深化模型意識

活動課程強(qiáng)調(diào)“做中學(xué)”，將書本間接經(jīng)驗與操作所獲得的直接經(jīng)驗結(jié)合，能夠深化學(xué)生的知識學(xué)習(xí)，并且能讓學(xué)生真正感到力所能及，因此操作交流是活動課程必不可少的環(huán)節(jié)。一是在課堂中結(jié)合工具或者畫圖、設(shè)計等活動將模型外化出來，二是一定要用數(shù)學(xué)語言表達(dá)、解釋模型，經(jīng)歷交流的過程。在學(xué)生已經(jīng)建立了數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合操作活動進(jìn)一步加深對模型的認(rèn)識，同時操作的過程也是一個驗證的過程。在交流活動中，學(xué)生可以輸出自己的觀點(diǎn)，獲得成就感，也能在別人的輸出中解決困惑，教師也可以在其中引導(dǎo)學(xué)生克服困難，在活動中深化模型意識。例如“植樹問題”通過實際操作是很容易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律的，學(xué)生只需要畫一畫或者用小棒擺一擺便可知其建立的數(shù)學(xué)模型是否正確、是否完整，驗證其之前的想法。最后在教師的引導(dǎo)下說出自己的看法，將多種數(shù)學(xué)模型清晰地表達(dá)出來，師生互評，讓學(xué)生客觀地了解自己在活動中的表現(xiàn)，并向他人學(xué)習(xí)，通過“做與分享”的過程深化模型意識。

（四）反思總結(jié)，遷移應(yīng)用模型

活動進(jìn)行到最后還需要一個將探究得出的結(jié)論一般化的過程，目的是解決更多數(shù)學(xué)問題以及生活實際問題，這也是培養(yǎng)模型思想的目的所在。總結(jié)是對活動目標(biāo)的強(qiáng)化，也是學(xué)生積累活動經(jīng)驗的重要一環(huán)。學(xué)習(xí)新知最終是為了應(yīng)用，一個新的數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)主要有兩個作用：一是用來解決同類的數(shù)學(xué)問題；二是用于解決生活實際問題。因此在總結(jié)經(jīng)驗之后需要及時練習(xí)、應(yīng)用。如何將得到的數(shù)學(xué)模型一般化，需要學(xué)生聯(lián)系所學(xué)知識以及生活實際發(fā)散思維，如在“植樹問題”中得到的數(shù)學(xué)模型只能解決“植樹”問題嗎？答案顯然不是，把樹換成路燈、換成垃圾桶都是一個性質(zhì)，最后再結(jié)合練習(xí)繼續(xù)讓學(xué)生的思維得到一次次地強(qiáng)化和提升，并且讓學(xué)生自己思考可以解決生活中哪些問題，不斷地鞏固學(xué)生所形成的模型意識。