數(shù)形結(jié)合：提升小學(xué)生解決問題能力的有效途徑

?楊 競(jìng)

數(shù)學(xué)學(xué)科的重點(diǎn)研究對(duì)象是空間形式和數(shù)量關(guān)系。小學(xué)生的年齡大多為6～12歲，具有的認(rèn)知理解能力較弱，不管是空間形式還是數(shù)量關(guān)系對(duì)于小學(xué)生來說都是難以理解的。數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想，可以將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系具體化，復(fù)雜的空間形式簡(jiǎn)單化，能夠有效降低學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)概念理解的難度，而且能夠在一定程度上促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的良性發(fā)展。［1］筆者結(jié)合多年數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為可以從以下方面入手利用數(shù)形結(jié)合來提升小學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

一、深入挖掘數(shù)學(xué)教材，數(shù)形結(jié)合解決問題

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材是經(jīng)過國(guó)內(nèi)眾多數(shù)學(xué)名師反復(fù)修改后編撰形成的，更加貼合學(xué)生的社會(huì)生活實(shí)際，融入了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，特別是數(shù)形結(jié)合思想。教師要深入挖掘數(shù)學(xué)教材，引領(lǐng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合解決問題。

例如，對(duì)體積、面積、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等晦澀難懂?dāng)?shù)學(xué)概念的理解；幾何圖形體積、面積、周長(zhǎng)等公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程；數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用問題的解決；四則運(yùn)算法則意義的理解等，都是借助大量的數(shù)學(xué)幾何圖形，幫助學(xué)生在獲得感性數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)上，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論知識(shí)的理解認(rèn)知。教學(xué)中，教師應(yīng)該充分挖掘教材中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)內(nèi)容，利用數(shù)形結(jié)合思想，將各個(gè)數(shù)學(xué)教材知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行串聯(lián)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想的融合和滲透，在潛移默化中對(duì)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用性鍛煉，幫助學(xué)生樹立正確利用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的意識(shí)。

二、鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手操作，培養(yǎng)學(xué)生畫圖能力

數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)本質(zhì)是各個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的綜合。只有在數(shù)學(xué)實(shí)踐操作活動(dòng)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)教材知識(shí)，在“玩耍”中進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)教材知識(shí)的認(rèn)知才會(huì)更加透徹深刻。因此，對(duì)于晦澀、難懂、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生多多參與數(shù)學(xué)實(shí)踐操作活動(dòng)，將死板的數(shù)學(xué)知識(shí)“演活”。只有學(xué)生沉浸式投身于數(shù)學(xué)實(shí)踐操作中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維才能被激活，才能更好地找到進(jìn)行數(shù)學(xué)問題處理的最優(yōu)途徑。教學(xué)中，教師應(yīng)該更多地激勵(lì)學(xué)生參與動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)，多利用直觀形象的幾何圖形來進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的處理、分析和解決。遇到解題瓶頸時(shí)，不妨先將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，通過分析數(shù)學(xué)圖形尋找突破解題瓶頸的方法。經(jīng)過反復(fù)的幾何圖形繪圖訓(xùn)練，學(xué)生的繪圖能力可以得到“質(zhì)”的提升。

例如，在教學(xué)蘇教版六年級(jí)下冊(cè)第三單元《解決問題的策略》問題一：“小明將總?cè)萘繛?20ml的果汁倒進(jìn)1個(gè)大杯和6個(gè)小杯子中，剛好能夠倒?jié)M。已知，大杯容量是小杯容量的3倍，求大、小杯子的容量？”時(shí)，其中含有的數(shù)量關(guān)系是“一個(gè)大杯的容量+6個(gè)小杯子的容量=720ml”以及“3個(gè)小杯的容量=1個(gè)大杯的容量”。在具體的數(shù)學(xué)問題解決過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：如果將720ml的果汁全部倒進(jìn)大杯子，那么可以倒?jié)M多少個(gè)大杯？幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的理解，并學(xué)會(huì)繪制相應(yīng)的線段圖，將1個(gè)大杯子看作為3個(gè)小杯子，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的再次簡(jiǎn)化，方便學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)方程的列式、轉(zhuǎn)化、計(jì)算和解答。

再如，在教學(xué)蘇教版六年級(jí)下冊(cè)第三單元《解決問題的策略》中“星河小學(xué)美術(shù)組一共有35人，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的2／3，美術(shù)組中男生和女生各有多少人？”習(xí)題時(shí)，教師可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生很難僅僅依靠文字描述，找準(zhǔn)各個(gè)數(shù)學(xué)未知數(shù)之間的潛在關(guān)系。為了有效打破學(xué)生利用文字進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)習(xí)常規(guī)，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生繪畫想用的線段圖。選擇畫圖的策略，可以使各個(gè)數(shù)學(xué)量之間的關(guān)系更加清晰明朗，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也會(huì)因此受到啟發(fā)，從而更從容地將繪制的數(shù)學(xué)圖形轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)列式，幫助學(xué)生更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)際問題的解決。

三、樹立數(shù)形結(jié)合觀念，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展

數(shù)形結(jié)合思想實(shí)質(zhì)上就是把復(fù)雜、抽象的數(shù)量關(guān)系與數(shù)學(xué)幾何圖形進(jìn)行有效整合，從而尋找出解決數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)問題的突破口。因此，教師應(yīng)該要對(duì)學(xué)生重復(fù)強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)越性，提高學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的正確認(rèn)知，幫助學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想來簡(jiǎn)化復(fù)雜的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，在學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的過程中，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的良好發(fā)展。

例如，在教學(xué)蘇教版五年級(jí)下冊(cè)第六單元《圓》中“圓的面積計(jì)算”時(shí)，對(duì)于常見的圓面積計(jì)算題目：面積為20平方米的正方形中存在一個(gè)面積最大的圓，求圓的具體面積？文字轉(zhuǎn)述能力較弱的學(xué)生在面對(duì)這樣抽象的數(shù)學(xué)問題時(shí)很容易束手無策，究其原因是學(xué)生不能夠通過文字描述正確判斷出圓的直徑和半徑。此時(shí)，教師就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，稍加變通，根據(jù)文字描述進(jìn)行數(shù)學(xué)幾何圖形的繪制嘗試，通過反復(fù)的嘗試，學(xué)生很容易就可以發(fā)現(xiàn)圓的直徑是正方形邊長(zhǎng)，也就是說圓的半徑是正方形邊長(zhǎng)的1／2。

除此之外，教師還可以通過提問學(xué)生如下問題：圓的半徑與半徑相乘可以得到什么？激發(fā)學(xué)生進(jìn)行圓的面積計(jì)算公式的深入思考。隨后引導(dǎo)學(xué)生通過繪制圖形來比較圓的半徑與半徑相乘再乘以2與圓面積的大小，幫助學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想來進(jìn)行數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)和理解，加深學(xué)生對(duì)圓的面積計(jì)算公式的理解和認(rèn)知。

四、整合應(yīng)用解題策略，養(yǎng)成良好解題習(xí)慣

值得注意的是，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中融入了非常多利用數(shù)形結(jié)合思想來進(jìn)行數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)問題解決的策略。為了更好地幫助學(xué)生構(gòu)建健全的數(shù)形結(jié)合思想學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)體系，教師要將教材中蘊(yùn)藏的數(shù)形結(jié)合解決策略進(jìn)行邏輯性整合，激發(fā)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想來進(jìn)行數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)問題解決的意識(shí)，進(jìn)而幫助學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)結(jié)合思想進(jìn)行解題的良好習(xí)慣。［2］

（一）借助“形”，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)概念的理解

例如，對(duì)于小數(shù)、百分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)等抽象化數(shù)學(xué)概念，都是借助大量的數(shù)學(xué)幾何圖形來加深學(xué)生對(duì)它們的認(rèn)知理解。蘇教版教材中引用了大量的數(shù)學(xué)插圖，引導(dǎo)學(xué)生利用圖形來進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的表示；或者是給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，引導(dǎo)學(xué)生利用多樣化的數(shù)學(xué)幾何圖形來表述。從逆向、正向這兩個(gè)層面來簡(jiǎn)化抽象數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知理解，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維優(yōu)化。

（二）利用圖示法，進(jìn)行間隔問題的快速解決

針對(duì)間隔問題，小學(xué)生往往很容易出現(xiàn)理解錯(cuò)誤、計(jì)算錯(cuò)誤、分析錯(cuò)誤等問題。例如，對(duì)于樓梯、植樹等現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)問題，學(xué)生往往很難明確什么時(shí)候點(diǎn)數(shù)和間隔數(shù)相等、什么時(shí)候點(diǎn)數(shù)比間隔數(shù)少1以及什么時(shí)候點(diǎn)數(shù)比間隔數(shù)多1。為了有效改善這種狀況，教師可以引導(dǎo)學(xué)生繪制相應(yīng)的示意圖，利用數(shù)形結(jié)合思想來明確點(diǎn)數(shù)和間隔數(shù)兩者之間的關(guān)系。

（三）巧用線段圖，解決分?jǐn)?shù)、行程等應(yīng)用題

對(duì)于分?jǐn)?shù)、行程以及與“比”相關(guān)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，學(xué)生解決過程中仍然存在一定的阻礙和困難，教師在教學(xué)相關(guān)應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)該適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生傳授繪制線段圖的技巧方法，引導(dǎo)學(xué)生巧用線段圖來進(jìn)行數(shù)學(xué)題干的理解，幫助學(xué)生明晰其中隱藏的數(shù)量關(guān)系。

（四）學(xué)會(huì)列表，解決租船、租車等現(xiàn)實(shí)問題

針對(duì)租船、租車、雞兔同籠等隱藏豐富邏輯關(guān)系的題目，往往題目題干要求和條件比較多，數(shù)學(xué)問題的解決方案也非常豐富，學(xué)生很容易迷失于尋找最優(yōu)解決方案的道理中。為了幫助學(xué)生快速尋找最優(yōu)問題解決方案，教師可以引導(dǎo)學(xué)生列出相應(yīng)的圖表，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的邏輯性，幫助學(xué)生系統(tǒng)化地進(jìn)行方案理解，降低學(xué)生解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的錯(cuò)誤率。

（五）借助幾何圖，解決易錯(cuò)、較復(fù)雜的問題

針對(duì)正方體、長(zhǎng)方體表面積計(jì)算等題目，經(jīng)常會(huì)遇到如下經(jīng)典數(shù)學(xué)問題：“已知，長(zhǎng)方體的高增加3厘米就會(huì)成為邊長(zhǎng)相等的正方體，表面積也會(huì)增加93平方厘米，求原有長(zhǎng)方體的表面積是多少？”為了方便學(xué)生認(rèn)識(shí)到“高”到底增加在長(zhǎng)方體的哪一個(gè)部位，教師可以借助長(zhǎng)方體實(shí)物，引導(dǎo)學(xué)生近距離觀察長(zhǎng)方體的形狀、性質(zhì)和特征，這樣，學(xué)生就能夠更加容易地判斷出增加的3厘米所在的具體位置，為數(shù)學(xué)解題提供便利。

另外，教師還可以制作相應(yīng)的動(dòng)畫，為學(xué)生動(dòng)態(tài)演示長(zhǎng)方體高的增加過程，讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)圖形來進(jìn)行數(shù)學(xué)題干的理解，以此提升學(xué)生分析、處理、解決數(shù)學(xué)問題的實(shí)踐應(yīng)用能力。

總而言之，巧用數(shù)形結(jié)合，可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展，幫助學(xué)生在“數(shù)”和“形”中感受數(shù)學(xué)教材知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，幫助學(xué)生掃除未來學(xué)習(xí)道路上的障礙。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該積極地探索數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的創(chuàng)新應(yīng)用方法和策略，不斷地促進(jìn)數(shù)形結(jié)合思想課堂應(yīng)用效果的提升。