巧用線段圖 提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)效率

楊家祿

解決問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要組成部分，而低學(xué)段的學(xué)生常常因?yàn)樯罱?jīng)驗(yàn)不足和審題不清等原因?qū)鉀Q問題束手無策，長(zhǎng)時(shí)間下去則對(duì)解決問題產(chǎn)生厭煩心理。究其原因是學(xué)生對(duì)于題干中的文字理解不到位，無法從大段的文字?jǐn)⑹鲋袑ふ页鲎约核璧臄?shù)量關(guān)系。而線段圖的使用可以很好地幫助學(xué)生解決這個(gè)問題。線段圖能將題干中的文字語言轉(zhuǎn)變成圖形語言，使題中包含的數(shù)量關(guān)系呈現(xiàn)在線段上，讓學(xué)生更直觀地分析條件與問題。

一、線段圖在解決問題教學(xué)中的作用

（一）借助線段圖，化抽象為具體

在小學(xué)一年級(jí)認(rèn)識(shí)10 以內(nèi)的數(shù)時(shí)，數(shù)學(xué)就和線段緊密聯(lián)系在了一起。當(dāng)時(shí)是借助直尺上的數(shù)字來認(rèn)識(shí)10 以內(nèi)的數(shù)，其本質(zhì)就是將數(shù)字與線段聯(lián)合在一起，讓學(xué)生初步感受數(shù)字也可以用一條線段進(jìn)行表示。同時(shí)，通過直尺上相同長(zhǎng)度表示相同大小的數(shù)字的方式，也讓學(xué)生在腦海中體會(huì)到用一定量的長(zhǎng)度去表示一定大小的數(shù)字，這也是線段圖一個(gè)重要的特征。課本設(shè)計(jì)這一板塊的意義，也是為了讓學(xué)生能更具體地感受10 以內(nèi)的數(shù)字，將抽象的數(shù)字具體化到一把直尺上，讓學(xué)生更容易觀察數(shù)字排列的規(guī)律。

小學(xué)生之所以對(duì)解決問題十分抵觸，一個(gè)原因在于題目中的文字信息量巨大。部分學(xué)生連完整地讀一遍的耐心都沒有，更不會(huì)靜下心來從一堆文字里思考其中的數(shù)量關(guān)系。而線段圖則可以讓學(xué)生將題目中的條件，用畫線段的方式呈現(xiàn)出來，再從線段圖中觀察出題目中所包含的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生通過分析線段的數(shù)量關(guān)系更為直觀，同時(shí)也可以通過畫圖的方式將一些隱藏在文字中的數(shù)量關(guān)系呈現(xiàn)出來。

（二）巧用線段圖，提高學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)是一門講究邏輯思考的學(xué)科，對(duì)于小學(xué)生而言較為枯燥，容易分散注意力。而解決問題又是一段段文字堆砌而成，讓學(xué)生在課堂上更是神游天外。線段圖則可以讓學(xué)生在教師講解時(shí)也能參與進(jìn)去，能跟隨教師的講授，將文字中的信息，一步步轉(zhuǎn)變成線段圖，再觀察得到算式。而不是像以往，說一說題中的條件和問題，就開始整理關(guān)系式，一些基礎(chǔ)不牢固的學(xué)生還是不清楚數(shù)量關(guān)系。

線段圖也可以調(diào)動(dòng)一些學(xué)困生的興趣，他們以往跟不上是由于生活經(jīng)驗(yàn)缺乏或者不理解題中關(guān)系而興致缺乏。現(xiàn)在他們也可以用線段表示出題中條件，參與到解題中來，可能在觀察數(shù)量關(guān)系中還存在問題，但教師可以適時(shí)鼓勵(lì)他們，鼓勵(lì)他們的這種積極性，讓他們一步步學(xué)會(huì)分析題意，提高解決實(shí)際問題的能力。

（三）活用線段圖，學(xué)會(huì)審題讀題能力

畫線段圖并不僅僅是一種分析問題的能力，同時(shí)也會(huì)讓學(xué)生認(rèn)真去讀題審題［1］。在以往解決問題的練習(xí)中，總會(huì)有一些學(xué)生將題干中的數(shù)字隨心所欲地運(yùn)算，還有甚者連數(shù)字都抄寫錯(cuò)誤，這些都是學(xué)生在讀題時(shí)不專心的表現(xiàn)。而現(xiàn)在學(xué)生在畫線段圖、標(biāo)數(shù)據(jù)的過程中，就是讓學(xué)生認(rèn)真讀題、審題的過程。

而線段圖對(duì)于路程問題的解決更是十分重要。許多學(xué)生對(duì)于路程問題中描述的路徑混淆不清，這時(shí)，一幅線段圖不僅能理清題干的路線問題，也能幫助我們找到數(shù)量關(guān)系。例如，小紅和小明同時(shí)參加200 米賽跑，小紅跑出起點(diǎn)65 米時(shí)，小明離終點(diǎn)還有55 米，請(qǐng)問誰跑得快？快多少米？這是一道二年級(jí)會(huì)遇到的路程問題，許多學(xué)生不擅長(zhǎng)讀題，會(huì)直接比較65 和55 米，或者是將題干中的數(shù)字隨意使用，這都是沒有理解題中含義的原因。教師可以讓學(xué)生畫一段線段，在兩個(gè)端點(diǎn)分別表示出起點(diǎn)和終點(diǎn)，標(biāo)上200 米的數(shù)據(jù)，隨后讓學(xué)生自己根據(jù)題意畫出小紅和小明的位置，并標(biāo)上數(shù)據(jù)。讓學(xué)生說一說怎么想的，兩個(gè)人跑的路徑分別是哪些。

通過觀察線段圖上的關(guān)系，學(xué)生基本可以理解小紅跑出的就是65 米，而小明跑出的是總路程200 米減去離終點(diǎn)的55 米得到145 米，隨后再進(jìn)行比較。這種問題對(duì)于低學(xué)段的學(xué)生而言特別容易混淆，因?yàn)樗麄兩罱?jīng)驗(yàn)的缺乏與審題的不仔細(xì)。而這樣的一幅線段圖，不僅幫助學(xué)生理清了數(shù)量關(guān)系，更讓學(xué)生初步體會(huì)了數(shù)形結(jié)合的思想好處。

（四）畫圖分析，一題多解

數(shù)學(xué)問題的答案雖然大多時(shí)候是確定的，但是達(dá)到終點(diǎn)的方法確實(shí)多種多樣的，這也是數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力之一。而現(xiàn)在數(shù)學(xué)中學(xué)生常常滿足于一種解題方法，而放棄了多種思路解題的習(xí)慣，這對(duì)于學(xué)生的多元化思維的培養(yǎng)是不利的。

線段圖的應(yīng)用可以化抽象為具體。將題中復(fù)雜邏輯關(guān)系以線段的方式呈現(xiàn)出來的能力，可以讓學(xué)生更方便地理解題中的含義，而不是依靠某種解題模板去套用，這就提供了多元化解題的可能性，讓學(xué)生根據(jù)自己畫出的圖和理解的含義去列式解答。

例如，李明問張老師有多少歲了，張老師說：“我像你這么大時(shí)，你才4 歲；等你長(zhǎng)到我這么大時(shí)，我就52 歲了”請(qǐng)問張老師和李明今年各是多少歲？這是一道典型的差倍問題。學(xué)生在初讀這類題時(shí)，比較難把握題中隱含的數(shù)量關(guān)系，從而不知所措。此時(shí)一幅清晰的線段圖就顯得格外重要。

我們可以先畫出一條線段表示李明現(xiàn)在的年紀(jì)，隨后畫一條長(zhǎng)線段表示張老師現(xiàn)在的年紀(jì)，此時(shí)要注意兩者相差的線段就是兩人的年齡差。

題中一共有兩個(gè)條件，通過條件1“我像你這么大時(shí)，你才4 歲”可以知道當(dāng)張老師和李明現(xiàn)在的年齡線段去掉一個(gè)年齡差后，李明只有4 歲。

通過條件2“等你長(zhǎng)到我這么大時(shí)，我就52 歲了”，我們?cè)趶埨蠋熀屠蠲鳜F(xiàn)在的年齡線段后面，分別加上一個(gè)年齡差，此時(shí)張老師達(dá)到52 歲。

通過觀察圖中張老師和李明的年齡圖，會(huì)發(fā)現(xiàn)李明4 歲時(shí)，加上3 個(gè)年齡差后將達(dá)到52 歲，所以只需要將52 歲減去4 歲得到48 歲，算出兩人的年齡差是16 歲，再根據(jù)李明現(xiàn)在的年紀(jì)是4 歲加上一個(gè)年齡差是20 歲，而張老師現(xiàn)在的年紀(jì)是4 歲加上2個(gè)年齡差是36 歲。

這道題中非常重要的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于年齡差，而在文字描述中這一信息是隱含的，并不容易得出關(guān)系式，但當(dāng)畫出線段圖后，就會(huì)很容易注意到年齡差這一不變量。而學(xué)生在分析出數(shù)量關(guān)系后，也可以采用方程式的方式解決這個(gè)問題，令李明和張老師的年齡差是x，4+3x=52 也是可以得出最后的結(jié)果。解決數(shù)學(xué)問題的方法有很多種，但是分析題目含義找尋所需的數(shù)量關(guān)系式才是通往成功的大門，而畫線段圖顯然是一把很好用的“鑰匙”。

二、線段圖在解決問題中的教學(xué)策略

（一）初步感受，從已有經(jīng)驗(yàn)入手

蘇教版在低年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中是很少涉及用線段圖解決問題的，當(dāng)時(shí)的解決問題數(shù)量關(guān)系比較直觀。而三年級(jí)從倍的認(rèn)識(shí)開始，出現(xiàn)用線段圖去分析解決問題要求。這可能會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生線段圖是現(xiàn)在才學(xué)的，只能用來解決倍數(shù)問題，或者只能用來解決復(fù)雜問題的誤區(qū)。

但歸根結(jié)底，線段圖是一種用線段表示數(shù)字的方法，在低年級(jí)學(xué)生已經(jīng)從一開始的通過直尺認(rèn)識(shí)10 以內(nèi)的數(shù)字，到后面的用三角形、圓表示數(shù)字中認(rèn)識(shí)到了數(shù)字可以用一些具體事物指代，且在同一個(gè)情景問題中，一個(gè)事物只能指代一個(gè)數(shù)字，這都為我們學(xué)習(xí)線段圖建立了良好的基礎(chǔ)。

教師在講解線段圖解決問題時(shí)可以出示一道簡(jiǎn)單的問題。如雞有15 只，鴨有23 只，一共有多少只？這種問題是學(xué)生以前經(jīng)常接觸過的，可以讓學(xué)生先嘗試用線段圖表示出這兩個(gè)條件，再根據(jù)自己的線段圖說一說數(shù)量關(guān)系。

這樣做可以讓學(xué)生從已有知識(shí)中認(rèn)識(shí)到線段圖并不是很復(fù)雜的東西，是一個(gè)幫助我們分析問題的方法，同時(shí)意識(shí)到并不是只有倍數(shù)問題才能用線段圖分析。

教師要讓學(xué)生養(yǎng)成畫線段圖分析問題的習(xí)慣，可以先從簡(jiǎn)單的問題出發(fā)，學(xué)會(huì)用線段圖提煉題干中的條件，去觀察線段圖分析數(shù)量關(guān)系。這樣，在遇到情景復(fù)雜的問題時(shí)才能得心應(yīng)手地使用線段圖。

（二）圖文轉(zhuǎn)化，鍛煉語言表達(dá)

學(xué)生在初期學(xué)習(xí)線段圖時(shí)，可能無法將題干中的文字準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)換成線段圖，很可能畫出的線段圖改變了題目的本意，反而會(huì)對(duì)題目的解決造成困難。

因此教師可以在初期讓學(xué)生先根據(jù)文字說一說怎么去畫。例如蘋果有35 顆，梨的數(shù)量是蘋果的3 倍，梨有多少顆？這是一道很簡(jiǎn)單的倍數(shù)問題，可以讓學(xué)生思考應(yīng)該畫圖時(shí)，應(yīng)該先畫什么？再畫什么？我們現(xiàn)在知道了蘋果的數(shù)量是35 顆，那就可以用一條線段表示蘋果。而梨的數(shù)量是蘋果的3 倍，則說明蘋果是一份，梨是3 份，要用3 條同樣長(zhǎng)的線段表示。通過上述事例讓學(xué)生明白畫圖時(shí)要先畫出已經(jīng)知道的條件，再去畫需要求得的條件。

其次，將題目隱去，只看線段圖，讓學(xué)生觀察從線段圖中可以得到哪些信息？要讓求什么問題？你是怎么看出梨是蘋果數(shù)量的3 倍的？這樣引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察線段長(zhǎng)度的關(guān)系，從而得到梨的數(shù)量是蘋果的3 倍，并強(qiáng)調(diào)畫線段圖時(shí)要注意每條線段的長(zhǎng)度關(guān)系，在畫圖時(shí)要做到精準(zhǔn)，才能表達(dá)出題目所包含的意思。

經(jīng)過這樣的多次練習(xí)后，教師可以嘗試只出示線段圖，而讓學(xué)生根據(jù)線段圖的信息表達(dá)題中的條件和問題。經(jīng)過這樣從文字到圖形，再從圖形到文字的多次練習(xí)，可以讓學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)抓住題干中的主要條件和問題，最終讓學(xué)生的讀題審題能力更上一層樓。

（三）精確作圖，分析數(shù)量關(guān)系

學(xué)生要想做出一幅準(zhǔn)確的線段圖，首先要理解題意。其次，讓學(xué)生理解在繪制線段圖中，要根據(jù)數(shù)值的大小畫出不同長(zhǎng)度的線段，在一道題中一條線段所表示的數(shù)值是不變的。

小學(xué)生正處于具體運(yùn)算階段中，以往教師空洞的語言描述很難讓學(xué)生理解題目中的數(shù)量關(guān)系。而且解決問題的種類繁多，并不是教師的幾個(gè)解決問題專題練習(xí)就可以覆蓋的。古人云：“授人以魚不如授人以漁”［2］?，F(xiàn)在線段圖的分析方法可以說是解決問題中的“漁”，讓學(xué)生先從簡(jiǎn)單入手，掌握線段圖的畫法，再逐步去分析復(fù)雜的問題。

例如，在這樣一道題中：張叔叔在果園里種了蘋果樹和梨樹，已知蘋果樹是梨樹的3 倍多35 棵，比梨樹的4 倍少75 棵。果園里有多少棵蘋果樹？

題干中的兩個(gè)條件十分清楚，但是要讓他們兩個(gè)條件聯(lián)系起來讓許多學(xué)生產(chǎn)生了疑惑，因?yàn)樵谶@道題中蘋果樹和梨樹都是未知的，這和學(xué)生之前碰到的題不一樣。

因此教師先讓學(xué)生理清題中條件，再分別根據(jù)題意用梨樹表示出蘋果樹的數(shù)量，通過對(duì)比上下兩條線段圖，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)3 倍多出的35 棵梨樹和4 倍少的75棵梨樹，合在一起正好是梨樹的數(shù)量，也就是110 棵梨樹，再根據(jù)梨樹數(shù)量算出蘋果樹的數(shù)量是365 棵。而35 棵和75 棵合起來是一份梨樹，也是解決此題的重要關(guān)鍵，但是在原來的文字中，許多學(xué)生無法從題干中得到這個(gè)數(shù)量關(guān)系而陷入困難。題目條件本不復(fù)雜，但是里面的數(shù)量關(guān)系學(xué)生一時(shí)無法想到，而通過將上下兩條線段圖進(jìn)行分析，則能更加清楚地理解題意，將原本隱藏在文字中的數(shù)量關(guān)系通過線段圖顯現(xiàn)出來。同時(shí)，利用線段圖講解這道題也更加直觀地讓學(xué)生明白數(shù)量關(guān)系，能讓學(xué)生按要求準(zhǔn)確地畫出線段圖。此時(shí)，部分學(xué)生已經(jīng)能通過觀察得到關(guān)系式。這種講解方式比純粹的語言講述更加直觀，也更容易理解。

總之，線段圖是解決問題的有效方法之一。它不僅僅是一種解題方法，更是一種思維過程，能夠讓抽象的語言描述轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的線段關(guān)系，讓學(xué)生更容易提取題目中的數(shù)量關(guān)系。同時(shí)，這一轉(zhuǎn)化的過程，也是學(xué)生審題思考的過程。讓學(xué)生將語言文字轉(zhuǎn)化成圖形，可以有效地提高學(xué)生的分析和思考能力。同時(shí)，也可以讓老師從空洞的語言講解中脫離出來，學(xué)生不再只是被動(dòng)吸收教師分析出的數(shù)量關(guān)系，而是能自己動(dòng)手畫圖，自己去進(jìn)行題意的解剖和分析，更容易產(chǎn)生興趣和成就感，更容易激發(fā)解決問題的積極性。