2021年日本東京大學入學考試理科數(shù)學試題解析

彭 剛 陳映彤 (廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 541004)

東京大學是日本最頂尖的綜合性大學，匯聚了日本一流的人力資本和學術(shù)資源[1].在日本 近代數(shù)學的發(fā)展中，東京大學扮演了舉足輕重的角色——1877年日本東京數(shù)學會和東京大學 理學部成立，日本現(xiàn)代數(shù)學研究正式拉開帷幕.曾獲菲爾茲獎和沃爾夫獎的著名數(shù)學家小平邦彥(Kunihiko Kodaira，1915—1997)就曾在東京大學工作過.時至今日，東京大學仍是日本最重要的數(shù)學研究機構(gòu).

與日本其他著名高校一樣，東京大學每年通過大學入學考試為其選拔大批優(yōu)秀后備人才，不斷增強本校數(shù)學研究的力量.日本著名大學入學考試作為選拔高水平人才的得力方式，其試題的設(shè)置方式與內(nèi)容均值得我們借鑒．本文對東京大學2021年數(shù)學入學考試試題進行解析，希望對當前中國實施的“強基計劃”提供參考.

1 試題概述

日本國公立大學的選拔一般由兩場考試構(gòu)成——學生首先需通過全國統(tǒng)一的大學入學考試，成績合格后才有資格參加國家公立大學自主組織的入學考試.東京大學自主組織的入學考試數(shù)學試題分為理科卷和文科卷，本文介紹的即為2021年東京大學入學考試中的理科數(shù)學試題.

依據(jù)日本最大的教育輔導(dǎo)社河合塾提供的數(shù)據(jù)，2021年東京大學理科數(shù)學試題的總體難度與2020年持平，較2019年有所上升.試題中的題目均為解答題，共6大題(每個大題都包含若干個小題)，總分為120分，考試總時長為150分鐘.從內(nèi)容方面來看，這些題目涉及的知識領(lǐng)域包括初等數(shù)論、初等代數(shù)、解析幾何以及微積分.下面我們對這6道問題進行解析.

2 試題解析

第1題已知a,b為實數(shù)，平面直角坐標系中有拋物線C：y=x2+ax+b，它與拋物線y= -x2有兩個交點，且兩個交點的橫坐標分別滿足x1∈(-1,0)，x2∈(0,1).

(1)在平面直角坐標系中表示出點(a,b)的范圍；

(2)在平面直角坐標系中表示出拋物線C的范圍.

圖1

(2)設(shè)(1)中點(a,b)的范圍為D，拋物線通過的范圍設(shè)為E，(x,y)為E中任意一點，則(x,y)滿足的條件為：在xOy平面上，滿足y=x2+ax+b且(a,b)在D中；這等價于：在aOb平面上，直線b=-xa+y-x2與D有公共點.

令g(a)=-xa+y-x2，可分為以下四種情況討論：

綜上可知，E的邊界為y=x2-2x，y=x2+2x，y=x2-2，進一步可得到直角坐標系中E的圖形，如圖2.

圖2

點評本題主要考查平面內(nèi)兩條拋物線的位置關(guān)系，內(nèi)容屬于“解析幾何”，難度層次為“標準”①(1)①河合塾將試題難度分為“易”“較易”“標準”“較難”和“難”五個等級，日本高校理科類數(shù)學試題大多集中在“較易”“標準”和“較難”這三個等級．.本題分為兩小問，第(1)問較為常規(guī)，本質(zhì)上是關(guān)于一元二次方程根的分布問題，解決策略是將其轉(zhuǎn)換為一元二次函數(shù)的圖象與x軸的交點情況來處理.第(2)問要求動拋物線的移動范圍，此類問題在我國高考和競賽中都較為少見，其解決策略是“反客為主”，把(a,b)視為動點，從而將動拋物線與定拋物線的相交問題轉(zhuǎn)化為動直線與定區(qū)域的相交問題，具有一定的挑戰(zhàn)性.

第2題已知f(z)=az2+bz+c(a,b,c為復(fù)數(shù))，i為虛數(shù)單位.

(1)設(shè)α,β,γ為復(fù)數(shù)，且f(0)=α，f(1)=β，f(i)=γ時，請用含α,β,γ的式子表示a,b,c；

(2)當f(0),f(1),f(i)均為區(qū)間[1,2]中的實數(shù)時，請在復(fù)平面內(nèi)表示f(2)的范圍.

(2)設(shè)f(2)=4a+2b+c=ω，將(1)的結(jié)果代入f(2)中，有

=α(-1-2i)+β(3+i)+γ(-1+i)，

其中，α,β,γ是滿足1≤α≤2，1≤β≤2， 1≤γ≤2的實數(shù).

設(shè)-1-2i=z1,3+i=z2,-1+i=z3，則當1≤α≤2且1≤β≤2時，由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可知，αz1+βz2的范圍為一個平行四邊形(圖3).

圖3 圖4

假設(shè)這個平行四邊形的邊界及內(nèi)部為D，D中的各點再加上γz3(1≤γ≤2)，便可得到ω即f(2)的范圍(圖4).

點評本題主要考查復(fù)數(shù)的運算及其幾何表示，內(nèi)容屬于“初等代數(shù)”，難度層次為“較難”.本題有兩問，第(1)問求a,b,c的表達式，為常規(guī)計算.第(2)問求f(2)的范圍，涉及三個變量，難度較大；此問的解題策略是“逐步推進”——先研究兩個變量的情況，然后在此基礎(chǔ)上研究三個變量.就表達方式而言，求解第(2)問時既可以利用復(fù)數(shù)加法的幾何意義，也可以轉(zhuǎn)換成向量的加法，二者本質(zhì)上是相通的.

(1)若C與l只存在一個與點A不同的交點，求該點的橫坐標；

下面使用換元法來計算I2和I3.

點評本題主要考查切線方程求解及定積分的計算，屬于“微積分”的內(nèi)容，難度層次為“標準”.本題中的求導(dǎo)運算和積分運算均比較常規(guī)，但對計算的準確性提出了較高的要求.

第4題回答以下問題：

(1)若正奇數(shù)K,L和正整數(shù)A，B滿足KA=LB，且K與L除以4的余數(shù)相同，證明：A與B除以4的余數(shù)也相同；

解(1)由于4|(K-L)，令K-L=4n(n為整數(shù))，則K=L+4n．又KA=LB，故(L+4n)A=LB，即L(A-B)=-4nA，而L為奇數(shù)，所以A-B是4的倍數(shù)，從而得到A與B被4除的余數(shù)相同.

(2)依題可知，

令r0=4a(4a-4)·…·(4a-4b+4)，

r1=(4a+1)(4a-3)·…·(4a-4b+1)，

r2=(4a-2)(4a-6)·…·(4a-4b+2)，

r3=(4a-1)(4a-5)·…·(4a-4b+3)，

以及t0=4b(4b-4)·…·8·4，

t1=(4b+1)(4b-3)·…·5·1，

t2=(4b-2)(4b-6)·…·6·2，

t3=(4b-1)(4b-5)·…·7·3，

(3)易知r1≡t1(mod 4)，r3≡t3(mod 4)，又2|(a-b)，故4|(2a-2b)，即2a≡ 2b(mod 4)，從而有(2a-1)(2a-3)·…·(2a-2b+1)≡(2b-1)(2b-3)·…·(2b-2b+1)=(2b-1)(2b-3)·…·3·1(mod 4)．

點評本題主要考查整除和同余理論，內(nèi)容屬于“初等數(shù)論”，難度層次為“較難”.本題共有4個小問，并且它們環(huán)環(huán)相扣，問題的設(shè)計很精妙.本題引入了組合數(shù)，因而增加了題目的難度，解題者需要根據(jù)(1)中的結(jié)論，將組合數(shù)展開中的諸多整數(shù)按照模4的余數(shù)進行分類，并通過換元來簡化運算，具有很強的技巧性.

第5題已知α為正實數(shù)，關(guān)于θ的函數(shù)f(θ)為平面上A，P兩點距離的平方，這兩點的坐標分別為A(-α，-3)，P(θ+sinθ,cosθ)(0≤θ≤π).

(1)證明：當0<θ<π時，存在唯一的θ使得f′(θ)=0；

解(1)依題可知f(θ)=AP2=(θ+sinθ+α)2+(cosθ+3)2，則

f′(θ)=-4sinθ+2(θ+α)cosθ+2(θ+α)，

f″(θ)=-2(θ+α)sinθ-2cosθ+2，

f?(θ)=-2(θ+α)cosθ.

由f?(θ)的正負可得到f″(θ)的單調(diào)性，如下表所示：

θ00,π2 π2π2,π πf?(θ)-0+f″(θ)0↘2-π-2α↗4

由f″(θ)的正負繼續(xù)可以得到f′(θ)的單調(diào)性，如下表所示：

θ0(0,β)β(β,π)πf″(θ)-0+f'(θ)4α↘f'(β)↗0

因為f′(θ)在(β,π)內(nèi)單調(diào)遞增，所以f′(β)0，所以在(0,β)中存在唯一一個γ使得f′(γ)=0.

(2)由f′(θ)的正負可以得到f(θ)的單調(diào)性，如下表所示：

θ0(0,γ)γ(γ,π)πf'(θ)+0-0f(θ)f(0)↗f(γ)↘f(π)

點評本題主要考查零點定理、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，屬于“微積分”的內(nèi)容，難度層次為“標準”.本題有兩小題，其中第(1)題十分有特色，解答過程中涉及多個存在性問題.與第3題主要考查計算不同，本題帶有濃厚的“分析”味道，解題者既需要清晰的邏輯思維，又需要有較強的直覺能力.

第6題已知b,c,p,q,r為常數(shù)，下式為關(guān)于x的一個恒等式：

x4+bx+c=(x2+px+q)(x2-px+r).

(1)當p≠0時，用p,b表示q,r；

故滿足條件的一組整式f(t)與g(t)為f(t)=t2+1，g(t)=(t2+1)(t+2)2.

②當p≠0時，由(2)知p滿足

[p2-(a2+1)][p4+(a2+1)p2+(a2+1)(a+2)2]=0，

點評本題主要考查代數(shù)式的運算，內(nèi)容屬于“初等代數(shù)”，難度層次為“較難”.本題具有較強的綜合性，解題步驟也較多，對解題者的計算準確性要求很高．此外，本題涉及較多的字母(除了主元x外，還有6個表示常量的字母a,b,c,p,q,r)，因而解題者需要具備較強的信息處理能力.

3 結(jié)語

2020年1月，中國教育部頒布文件《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學科招生改革試點工作的意見》[2]．該文件聚焦國家重大戰(zhàn)略需求，決定從2020年起取消高校自主招生考試，在試點的36所高校實施“強基計劃”，以提升基礎(chǔ)學科人才選拔和人才培養(yǎng)質(zhì)量．

通過對中國2020年“強基計劃”中部分大學的試題與東京大學的入學試題的對比，不難發(fā)現(xiàn)兩國的試題各具特點．中國實施“強基計劃”的部分著名高校試題題目數(shù)量較多，比如北京大學和清華大學的試題都是20道，復(fù)旦大學的試題有33道，并且題型均為選擇題[3]-[5]，因而考查的知識面比較廣；而東京大學的自主招生考試題目較少，但均為解答題，因而能更深入地考查學生的數(shù)學思維和數(shù)學表達能力．此外，東京大學入學試題對微積分這一內(nèi)容的要求很高；事實上，微積分這一內(nèi)容是日本各大高校入學考試中的重要考查對象，相對而言我國的高校在這方面則要求不高．東京大學等日本頂級大學的入學數(shù)學試題為當前中國數(shù)學資優(yōu)生的培養(yǎng)與選拔提供了重要參考．