道是無(wú)“圓”卻有“圓”

李紅波 聶震萍

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題是學(xué)習(xí)物理需要具備的關(guān)鍵能力之一，運(yùn)用幾何圖形分析物理現(xiàn)象是一種常用的解題手段。在高中物理的學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常會(huì)遇到這樣一些問(wèn)題，若采用常規(guī)方法求解往往比較煩瑣，但根據(jù)題中情境畫輔助“網(wǎng)”，利用“網(wǎng)”的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決起來(lái)就方便得多。下面舉例說(shuō)明，供同學(xué)們參考。

一、利用等勢(shì)輔助圓解決靜電場(chǎng)中的電勢(shì)、電勢(shì)能問(wèn)題

因?yàn)辄c(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)的等勢(shì)面是以點(diǎn)電荷為中心的一組同心球面，所以畫出其等勢(shì)圓可以直觀方便地判斷出諸如電勢(shì)高低、電勢(shì)能的變化情況等問(wèn)題。

例1 （2020年高考全國(guó)Ⅲ卷）如圖1所示，∠M是銳角三角形PMN中最大的內(nèi)角，電荷量為q（q>0）的點(diǎn)電荷固定在P點(diǎn)。下列說(shuō)法中正確的是（

）。

A.沿MN邊，從M點(diǎn)到N點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小逐漸增大

B．沿MN邊，從M點(diǎn)到N點(diǎn)，電勢(shì)先增大后減小

C．正電荷在M點(diǎn)的電勢(shì)能比其在N點(diǎn)的電勢(shì)能大

D．將正電荷從M點(diǎn)移動(dòng)到N點(diǎn)，靜電力所做的總功為負(fù)

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)等勢(shì)輔助圓可以直觀地看出M、N兩點(diǎn)與點(diǎn)電荷位置的遠(yuǎn)近關(guān)系，根據(jù)離帶正電的場(chǎng)源電荷越近，場(chǎng)強(qiáng)越大，電勢(shì)越高，正電荷的電勢(shì)能越大，可以快速準(zhǔn)確地完成各個(gè)選項(xiàng)的判斷。

二、利用動(dòng)態(tài)輔助圓解決帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

因?yàn)閹щ娏Ｗ釉趧驈?qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以畫出軌跡圓，利用幾何關(guān)系結(jié)合物理規(guī)律可以直觀準(zhǔn)確地求解相關(guān)問(wèn)題。求解帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題常用到畫縮放輔助網(wǎng)和旋轉(zhuǎn)輔助網(wǎng)的方法。

（1）縮放圓：若帶電粒子從某一點(diǎn)以方向不變而大小在改變的速度射人勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，或帶電粒子從某一點(diǎn)以恒定的速度射人磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不斷變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，則帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做半徑不斷變化的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。把其軌跡圓畫在同一個(gè)圖中，就是與入射點(diǎn)相切并放大或縮小的“動(dòng)態(tài)網(wǎng)”。

（2）旋轉(zhuǎn)網(wǎng)：若帶電粒子從某一點(diǎn)以大小不變而方向不限定（在0～180°范圍內(nèi)變化）的速度射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，則帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做半徑不變的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。把其軌跡圓畫在同一個(gè)圖中，就是根據(jù)速度方向的變化以入射點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)軸的“旋轉(zhuǎn)圓”。

例2如圖3所示，在熒光屏MN上方分布著沿水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里。距離熒光屏d處有一粒子源S，能夠在紙面內(nèi)不斷地向各個(gè)方向同時(shí)發(fā)射帶電荷量為+q，質(zhì)量為m，速率為v的粒子，不計(jì)粒子自身重力，已知粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑也恰好為d，則（

）。

點(diǎn)評(píng)：本題中帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑一定，粒子速度大小不變、方向改變，故采用“旋轉(zhuǎn)圓”的方法找到粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的臨界狀態(tài)，即可順利確定相關(guān)物理量的求解方法。

三、利用勻速圓周運(yùn)動(dòng)的參考圓解決振動(dòng)問(wèn)題

因?yàn)閯蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的投影是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，所以在解決簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)建立與之相關(guān)的參考網(wǎng)，利用質(zhì)點(diǎn)做勻速網(wǎng)周運(yùn)動(dòng)的周期相當(dāng)于振子完成一次全振動(dòng)所用的時(shí)間，可以順利求解一些直接利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律難以求解的問(wèn)題。

例3 （2021年高考江蘇卷）如圖6所示，半徑為R的圓盤邊緣有一釘子B，在水平光線的照射下，網(wǎng)盤的轉(zhuǎn)軸A和釘子B在右側(cè)墻壁上形成影子O和P，以O(shè)為原點(diǎn)在豎直方向上建立x坐標(biāo)系。t=0時(shí)刻從圖示位置沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)圓盤，角速度為ω，則影子P做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為（

）。

點(diǎn)評(píng)：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在T軸方向上的投影的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，且圓周運(yùn)動(dòng)的周期與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期相等，因此可以把二者聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行分析。用畫參考圓的方法來(lái)研究簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，可以簡(jiǎn)便地分析那些不在特殊位置的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。

四、利用單位輔助圓解決測(cè)定折射率問(wèn)題

在測(cè)定玻璃折射率的實(shí)驗(yàn)中，以入射點(diǎn)為網(wǎng)心，以適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫出單位輔助圓，只需測(cè)量?jī)啥尉€段的長(zhǎng)度，即可利用幾何關(guān)系求出折射率，使得測(cè)量變得簡(jiǎn)單易行。

例4 一位同學(xué)用“插針?lè)ā睖y(cè)兩面平行的玻璃磚的折射率。

（1）該同學(xué)發(fā)現(xiàn)沒(méi)有量角器來(lái)量入射角和折射角的角度，于是在完成了光路圖以后，以O(shè)點(diǎn)為圓心，以O(shè)A為半徑畫圓，交OO'延長(zhǎng)線于C點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)和C點(diǎn)作垂線分別交法線于B點(diǎn)和D點(diǎn)，如圖7所示。測(cè)量有關(guān)線段長(zhǎng)度，可得玻璃的折射率n=____ 。（用圖中線段表示）

點(diǎn)評(píng)：若只利用量角器量出入射角、折射角的大小來(lái)求解折射率，則需要查閱正、余弦函數(shù)表，讀出入射角和折射角的正弦函數(shù)值；若只利用刻度尺測(cè)量長(zhǎng)度（A、C為入射光線和折射光線上的任意兩點(diǎn)）來(lái)求解折射率，則需要測(cè)出四段線段的長(zhǎng)度；而利用圓規(guī)畫單位圓的方法求折射率，可以把正、余弦函數(shù)值的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系，只需測(cè)出兩段線段的長(zhǎng)度，簡(jiǎn)單方便。

跟蹤訓(xùn)練

1．如圖8所示，直角三角形ABC由三段細(xì)直桿連接而成，AB桿豎直，BC桿水平，AC桿粗糙且絕緣，其傾角為30°，長(zhǎng)度為2l，D為AC桿上的一點(diǎn)，且BD⊥AC，在BC桿中點(diǎn)O處放置一帶正電的點(diǎn)電荷Q，一套在細(xì)桿上的帶負(fù)電小球，以初速度v0。由C點(diǎn)沿AC桿上滑，滑到D點(diǎn)時(shí)的速率恰好為零，之后沿AC桿滑回C點(diǎn)。已知小球的質(zhì)量為m”，電荷量為q，重力加速度為g。下列說(shuō)法中正確的是（

）。

A.小球沿AC桿上滑過(guò)程中，先勻加速后勻減速

B．小球沿AC桿下滑過(guò)程中，靜電力先做負(fù)功后做正功

C．小球再次滑回C點(diǎn)時(shí)的速率vc=

D．小球沿AC桿下滑過(guò)程中，其動(dòng)能、電勢(shì)能、重力勢(shì)能三者之和增大

2．如圖9所示是半徑為R的一網(wǎng)柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，磁場(chǎng)外有一粒子源，能沿一直線發(fā)射速度大小不等的同種帶電粒子，帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0），不計(jì)重力?，F(xiàn)粒子以沿正對(duì)c0中點(diǎn)且垂直于c0的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，發(fā)現(xiàn)粒子恰能從b、d兩點(diǎn)之間飛出磁場(chǎng)，則（

）。

A.從b點(diǎn)飛出的粒子的速度最大

B．從d點(diǎn)飛出的粒子的速度最大

C．從d點(diǎn)飛出的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)

D．從b點(diǎn)飛出的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)

3．如圖10所示，一彈簧振子沿x軸方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其平衡位置在坐標(biāo)原點(diǎn)O。t=0時(shí)刻振子的位移為 0.1 m，t=1 s時(shí)刻振子的位移為0.1 m。下列判斷中正確的是（

）。

A.若振幅為0.1 m，則振子的周期可能為詈s

B．若振幅為0.1 m，則振子的周期可能為2s

C．若振幅為0.2 m，則振子的周期可能為4s

D．若振幅為0.2 m，則振子的周期可能為6s

4．如圖11所示是利用“插針?lè)ā睖y(cè)定玻璃磚折射率的實(shí)驗(yàn)中得到的光路圖，光線從玻璃磚的AB面射入，從玻璃磚的CD面射出，且AB面和CD面并不平行。則：

（1）出射光線與入射光線 _____（選填“仍平行”或“不再平行”）。

（2）以入射點(diǎn)O為網(wǎng)心，以半徑R=5 cm畫網(wǎng)，與入射光線PO交于M點(diǎn)，與折射光線OO'的延長(zhǎng)線交于F點(diǎn)，過(guò)M、F點(diǎn)分別向法線作垂線，量得線段MN的長(zhǎng)度為1. 68 cm，線段EF的長(zhǎng)度為1.12 cm，則該玻璃磚的折射率n=____。

參考答案：1.C 2．AC 3．ABD

4．（1）不再平行 （2）1.5

（責(zé)任編輯 張巧）