“初見函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)和思考*

倉(cāng)萬林 (江蘇省江陰市要塞中學(xué)數(shù)學(xué)寫作工作室 214432)

1 學(xué)情分析

教學(xué)對(duì)象是三星級(jí)普通高中高一學(xué)生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般，剛剛進(jìn)入高中不到一個(gè)月的時(shí)間，處于從初中到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)折階段．

2 教材解讀

本節(jié)課是第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”第一節(jié)內(nèi)容．函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，也是普通高中人教A版數(shù)學(xué)教材第一冊(cè)的主體內(nèi)容，包括函數(shù)概念和性質(zhì)、常見類型的函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)).因?yàn)楹瘮?shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線，所以函數(shù)內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)課程中具有奠基地位，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)有重要意義．

教學(xué)目標(biāo) (1)閱讀函數(shù)歷史相關(guān)材料，感受函數(shù)概念的發(fā)展脈絡(luò)，用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)；(2)了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域；(3)了解函數(shù)的主要內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法，提升邏輯推理等學(xué)科核心素養(yǎng)．

教學(xué)重點(diǎn) 函數(shù)的概念和函數(shù)概念理解．

教學(xué)難點(diǎn) 函數(shù)概念中對(duì)應(yīng)關(guān)系f和函數(shù)記號(hào)y=f(x)的理解．

3 過程實(shí)錄

(課前循環(huán)播放視頻：函數(shù)歷史人物)各位同學(xué)，下午好，今天我們一起“初見函數(shù)”(課題取自清代著名詞人納蘭性德的詞：“人生若只如初見”)．

3.1 教學(xué)環(huán)節(jié)1：漫話函數(shù)

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常用也是最重要的概念，已經(jīng)有三百多年歷史．17世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)從常量數(shù)學(xué)發(fā)展到變量數(shù)學(xué)時(shí)期，函數(shù)的概念應(yīng)運(yùn)而生．1637年前后，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾(圖1)在《幾何學(xué)》中已注意到一個(gè)變量y對(duì)另一個(gè)變量x的依賴關(guān)系，這是函數(shù)思想的萌芽．17世紀(jì)后期，牛頓、萊布尼茲(圖2)出場(chǎng)．1694年，萊布尼茲首次使用function(函數(shù))表示“冪”，如x,x2,x3都叫函數(shù)．牛頓在討論微積分時(shí)，使用“流量”來表示變量間的關(guān)系．

圖1 笛卡爾

1718年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·貝努利(圖3)對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量”．變量x和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)．函數(shù)從此進(jìn)入解析式時(shí)代．1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷(圖4)認(rèn)識(shí)到如何建立x與y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系無關(guān)緊要，因而創(chuàng)立了現(xiàn)代函數(shù)的正式定義：“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)．”這個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性．初中函數(shù)的定義就是這個(gè)版本．

圖3 約翰·貝努利

20世紀(jì)初，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾(圖5)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中確立了重要地位，數(shù)學(xué)家們用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義．現(xiàn)在高中課本采用的就是這種形式．

圖5 康托爾 (1845—1918)

一般地，設(shè)A,B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A．其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

如今是一個(gè)大數(shù)據(jù)的時(shí)代，算法為王，蘇教版教材上的函數(shù)概念解讀方式如圖6，秒懂．

圖6 圖7 李善蘭(1811—1882)

函數(shù)(function)，由中國(guó)的數(shù)學(xué)家李善蘭(圖7)翻譯．李善蘭十分貼切地創(chuàng)譯了大批科學(xué)名詞，如代數(shù)學(xué)中的代數(shù)、函數(shù)、常數(shù)、變數(shù)、系數(shù)、已知數(shù)、未知數(shù)、方程式、單項(xiàng)式等．

設(shè)計(jì)意圖通過函數(shù)歷史的梳理，使學(xué)生體會(huì)到函數(shù)的歷史就是一個(gè)函數(shù)內(nèi)涵不斷被挖掘、豐富和精確刻畫的歷史過程，同時(shí)也可以看出數(shù)學(xué)并非生來就有、一成不變，數(shù)學(xué)也在與時(shí)俱進(jìn)．

3.2 教學(xué)環(huán)節(jié)2：概念理解

為什么高中把“對(duì)應(yīng)”叫做函數(shù)，而初中把y叫做x的函數(shù)呢？高中將函數(shù)的記號(hào)寫成“y=f(x)，x∈A”，y=f(x)的形式頗令人費(fèi)解．

f(x)=4x與f(t)=4t，甚至f(2x)=4(2x)都表示同一對(duì)應(yīng)關(guān)系(表示一個(gè)函數(shù))：□→4×□，意味著將任一實(shí)數(shù)擴(kuò)大到原來的4倍，與選用什么字母表示輸入值沒有關(guān)系．

函數(shù)，作為對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了“將每一個(gè)輸入值x變?yōu)榕c之對(duì)應(yīng)的唯一輸出值y”的功能．好像把豬送進(jìn)一種機(jī)器加工，出來后變成令人垂涎的“香腸”(圖8)．函數(shù)，就如同香腸加工的機(jī)器，實(shí)現(xiàn)了“變豬為香腸”的功能．

圖8

有正向的函數(shù)加工過程，反過來就有反函數(shù)，我們可以把豬變成香腸，但反過來不一定能做得到．一個(gè)函數(shù)是否存在反函數(shù)是要看是否具備了一定條件的，后面我們會(huì)繼續(xù)學(xué)習(xí)．

設(shè)計(jì)意圖通過簡(jiǎn)單的案例，從不同的視角認(rèn)識(shí)函數(shù)對(duì)應(yīng)的本質(zhì)，復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的出現(xiàn)更能體現(xiàn)對(duì)函數(shù)對(duì)應(yīng)本質(zhì)的理解．

3.3 教學(xué)環(huán)節(jié)3：內(nèi)容掃描

(1)函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A．

函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域稱為函數(shù)的三要素，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定之后，值域也就確定了．判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)，只要看函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同．

例1(人教B版第一冊(cè)第87頁)求下列函數(shù)的定義域：

例2下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y=x是同一個(gè)函數(shù)：

例題講解(略).

(2)函數(shù)的性質(zhì)

在初中原有函數(shù)性質(zhì)基礎(chǔ)上作進(jìn)一步抽象和延伸．

·單調(diào)性

如圖9，一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I：如果?x1,x2∈D，當(dāng)x1

圖9 圖10

如圖10，一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I：如果?x1,x2∈D，當(dāng)x1f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減．

·奇偶性

如圖11，一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)．

圖11 圖12

如圖12，一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)= -f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．

·周期性

如圖13，一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x) 就叫做周期函數(shù)．非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．

圖13

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生了解函數(shù)研究的主要內(nèi)容，同時(shí)掌握簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域的求解方法，會(huì)辨析兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)，兼顧眼前的“茍且”與“詩和遠(yuǎn)方”．

3.4 教學(xué)環(huán)節(jié)4：學(xué)習(xí)指南

設(shè)計(jì)意圖立意在引領(lǐng)學(xué)生從方法角度審視高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．

3.5 課堂小結(jié)(略)

3.6 課后作業(yè)

(1)閱讀課本相關(guān)內(nèi)容，完成第72頁習(xí)題3.1練習(xí)1～4．

(3)(選做題)數(shù)學(xué)閱讀與寫作題：閱讀函數(shù)等相關(guān)材料，寫一篇題為《函數(shù)面面觀》或者《邂逅函數(shù)》的文章，文體不限，可以參考微信公眾號(hào)“數(shù)學(xué)寫作”中的學(xué)生作品．歡迎投稿至：sxxzlm@163.com，優(yōu)秀稿件可以在微信公眾號(hào)“數(shù)學(xué)寫作”推送或者推薦到數(shù)學(xué)雜志發(fā)表．

設(shè)計(jì)意圖作業(yè)1，回歸課本閱讀，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力．作業(yè)2，狄利克雷函數(shù)是體現(xiàn)函數(shù)發(fā)展的重要經(jīng)典函數(shù)之一．作業(yè)3，數(shù)學(xué)閱讀與寫作題，意在引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)閱讀和寫作．同時(shí)，“邂逅”在語境上對(duì)應(yīng)前面的初見，再次點(diǎn)題．

4 教學(xué)思考

本次《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》“走進(jìn)課堂”活動(dòng)，同時(shí)也是“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟“進(jìn)入課堂的數(shù)學(xué)寫作”系列活動(dòng)之一，在前期，已經(jīng)有6篇教學(xué)設(shè)計(jì)和思考的系列文章發(fā)表．下面從本節(jié)課的課型確定、設(shè)計(jì)思路、內(nèi)容選擇等方面呈現(xiàn)筆者的思考．

4.1 對(duì)章節(jié)起始課的理解

章首課，是一種新型教學(xué)形式，其基本目標(biāo)是讓學(xué)生對(duì)即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容有一個(gè)宏觀的了解，對(duì)整章知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行初步的思維建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生有意義的學(xué)習(xí)．隨著課程改革的不斷深入，教與學(xué)的行為逐漸聚焦“核心素養(yǎng)”，我們?cè)絹碓街匾暯虒W(xué)過程中的返璞歸真．課本中章頭圖、章首語等隱性課程元素也逐漸體現(xiàn)出應(yīng)有的教育價(jià)值，于是在傳統(tǒng)課型之外，章節(jié)起始課應(yīng)運(yùn)而生．雖然章節(jié)起始課的研究和實(shí)踐時(shí)間不是很長(zhǎng)，但其重要性和價(jià)值正逐漸為廣大一線教師所慢慢接受．事實(shí)上，章節(jié)起始課的教學(xué)可以促進(jìn)新知識(shí)的學(xué)習(xí)，具有先行組織者的作用．章節(jié)起始課教學(xué)能夠幫助學(xué)生構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，掌握基本的思想方法，感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大有裨益，應(yīng)得到足夠重視．

4.2 本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路

本節(jié)課選用了“4W”設(shè)計(jì)法，緊緊圍繞是什么(what)、為什么學(xué)(why)、學(xué)什么(what)和怎么學(xué)(how)四個(gè)環(huán)節(jié)展開，讓學(xué)生整體把握全章的相關(guān)背景知識(shí)、知識(shí)內(nèi)容之間的相互聯(lián)系、邏輯體系以及知識(shí)背后的文化與應(yīng)用，明晰本章的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和學(xué)習(xí)方法．[1]

章節(jié)起始課的設(shè)計(jì)應(yīng)追求大利益、高境界，勾勒出特定內(nèi)容的研究藍(lán)圖．根據(jù)目前的研究成果來看，章節(jié)起始課一般分為兩種類型：章節(jié)內(nèi)容和第一自然小節(jié)整合型章節(jié)起始課和大單元視角下的章節(jié)起始課．筆者嘗試貼近實(shí)際，整合多個(gè)版本教材，如例題1和蘇教版教材上函數(shù)概念的理解等，進(jìn)行跨章節(jié)視角下的章節(jié)起始課教學(xué)，試圖向?qū)W生傳遞數(shù)學(xué)的整體觀和研究數(shù)學(xué)新問題的基本意識(shí)．對(duì)函數(shù)而言，它的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)是函數(shù)的概念、函數(shù)的基本性質(zhì)、基本初等函數(shù)等等，課堂教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生回顧已有的對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)知和熟悉的研究路徑，一方面可以整體認(rèn)識(shí)單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，另外一方面可以讓學(xué)生初步了解問題的研究思路．選擇跨章節(jié)視角下的章節(jié)起始課的原因在課題設(shè)計(jì)中已有所暗示，本節(jié)課安排了多個(gè)數(shù)學(xué)閱讀環(huán)節(jié)，比如函數(shù)的發(fā)展歷史、函數(shù)概念等，體現(xiàn)了教學(xué)中對(duì)文本閱讀的訓(xùn)練，另外從學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備來看，函數(shù)的簡(jiǎn)單概念和性質(zhì)等在初中已經(jīng)有所接觸．至于學(xué)習(xí)方法建議中的猜想-證明的思路，其實(shí)前兩個(gè)步驟在其他內(nèi)容中已廣泛應(yīng)用，因此從跨章節(jié)視角來設(shè)計(jì)函數(shù)單元起始課是基本符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的．

本節(jié)課按一明一暗兩條線索展開教學(xué)活動(dòng)．第一條是明線：知識(shí)的線索．主要回答以下幾個(gè)問題：為什么要學(xué)習(xí)函數(shù)？(數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要．)函數(shù)中學(xué)習(xí)什么？(函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)等．)如何學(xué)習(xí)函數(shù)？(重視定義域，函數(shù)性質(zhì)的證明，用好技術(shù)手段等．)第二條是暗線：數(shù)學(xué)欣賞的線索．從視頻片段欣賞到圖片欣賞，在數(shù)學(xué)閱讀中，結(jié)合科普化的圖片案例，潛移默化中完成了系列的數(shù)學(xué)閱讀和欣賞過程．函數(shù)中有豐富的數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容，這些需要我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中引起足夠重視．在本次章節(jié)起始課中，引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”[2]，或多或少，我們接近和初步達(dá)到了核心素養(yǎng)下的課程目標(biāo)．

4.3 本節(jié)課的內(nèi)容選擇

本節(jié)課的一個(gè)最大嘗試在于教學(xué)內(nèi)容的選擇，主要說明兩點(diǎn)：

(1)章節(jié)視角下的章首課教學(xué)，一般以整章內(nèi)容為范圍，將基本的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容整體納入本節(jié)課．本課設(shè)計(jì)在內(nèi)容上進(jìn)行了舍取，去掉了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，補(bǔ)充了三角函數(shù)中才出現(xiàn)的函數(shù)的周期性，這也是課后爭(zhēng)議比較多的地方．

(2)在函數(shù)概念理解中引入了復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的概念．通常認(rèn)為這兩個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容不應(yīng)該出現(xiàn)在概念課上，尤其是反函數(shù)的概念．本節(jié)課中，筆者從簡(jiǎn)單的案例出發(fā)，用對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)解讀復(fù)合函數(shù)概念，這與傳統(tǒng)的復(fù)合函數(shù)教學(xué)方式有較大差異．對(duì)于反函數(shù)，本節(jié)課留給師生們印象最深的是科普化的卡通豬變香腸的案例(當(dāng)然，這里的類比推理是否合適，有值得討論的地方)，這也是當(dāng)初教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)沒有想到的，或許也啟示我們課堂教學(xué)探索可以沒有禁區(qū)，更不能主觀地畫地為牢．反函數(shù)概念的引入，恰恰幫助我們理解了函數(shù)中對(duì)應(yīng)的概念本質(zhì)，有降維打擊的效果．

4.4 本節(jié)課的不足

在授課后筆者認(rèn)為需要改進(jìn)的地方有如下兩處：(1)函數(shù)性質(zhì)中概念理解的抽象化程度較高，從圖的視角呈現(xiàn)概念，一定程度上脫離了學(xué)生的知識(shí)實(shí)際．在函數(shù)性質(zhì)中，可以選擇講透函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)，而不是一一簡(jiǎn)單羅列．(2)函數(shù)的概念引入中，歷史材料的簡(jiǎn)單羅列并未在學(xué)生思維上形成函數(shù)概念的認(rèn)知沖突．或許可以從函數(shù)歷史發(fā)展過程中的問題出發(fā)引進(jìn)函數(shù)概念，引發(fā)函數(shù)概念的歷史升級(jí)，比如作業(yè)中的第2個(gè)問題．