深度教學(xué)：初中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)改進(jìn)
——以七上“6.2角”第一課時(shí)的教學(xué)為例*

武麗虹 (江蘇省蘇州市蘇州灣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 215200)

數(shù)學(xué)概念是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的概括反映，是建立數(shù)學(xué)法則、公式、定理的基礎(chǔ)，也是運(yùn)算、推理、判斷和證明的基石，更是數(shù)學(xué)思維、交流的工具[1]．?dāng)?shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心，是數(shù)學(xué)教學(xué)之根本．現(xiàn)結(jié)合教學(xué)實(shí)踐案例來(lái)探討初中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)改進(jìn)．

1 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的迷失

數(shù)學(xué)是用概念思維的．?dāng)?shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是一個(gè)集知識(shí)技能、思想方法、思維能力以及活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為一體的整體化學(xué)習(xí)．但概念教學(xué)的實(shí)際情況尚不盡人意，在實(shí)際教學(xué)中還存在種種迷失:

(1)簡(jiǎn)單隨意，缺乏理解．用記憶替代思考的教學(xué)不能觸及概念的內(nèi)核，不能引發(fā)學(xué)生觀察、理解和思考，導(dǎo)致學(xué)生思維固化.

(2)形式單一，缺乏體驗(yàn)．學(xué)生對(duì)概念的具體形象和特征缺乏主動(dòng)思考,不能在意識(shí)中引發(fā)概念形象和聯(lián)想的知識(shí)，缺乏認(rèn)知感悟和思維體驗(yàn)的過(guò)程.

(3)淺層應(yīng)用，缺乏思考．學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)學(xué)概念重要性和必要性的認(rèn)識(shí),應(yīng)用注重表層，未能凸顯深度學(xué)習(xí)，導(dǎo)致思維“碎片化”和“表層化”，常常表現(xiàn)出“一看就會(huì)，一做就錯(cuò)”．

2 基于深度教學(xué)理念的初中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)改進(jìn)

深度教學(xué)是以學(xué)生發(fā)展為中心，基于實(shí)現(xiàn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)而提出的一種新的教學(xué)理念．為了避免數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的種種迷失，現(xiàn)對(duì)概念教學(xué)踐行深度教學(xué)，我們將基于深度理解而進(jìn)行“重新構(gòu)建”、基于深度體驗(yàn)而“意義賦予”、基于深度反思而“深度學(xué)習(xí)”．其教學(xué)改進(jìn)流程如圖1.

圖1

下面以蘇科版教材七年級(jí)上冊(cè)“6.2角”(第一課時(shí))為例探索基于深度教學(xué)理念的初中數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)改進(jìn)．

2.1 樂思尋疑，感知概念——提升數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)的溫度

深度教學(xué)是通過(guò)真實(shí)有意義的問(wèn)題情境去啟迪學(xué)生思維、激發(fā)學(xué)生情感、引發(fā)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生自主尋疑的教學(xué)．因此，教師應(yīng)從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生進(jìn)入積極思考的狀態(tài)從而去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，使學(xué)生能主動(dòng)體驗(yàn)、直觀感知概念的產(chǎn)生過(guò)程，并思考感悟新的數(shù)學(xué)概念和自我之間的意義和關(guān)聯(lián)．

問(wèn)題1 同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“直線、射線、線段”，有沒有思考過(guò)在同一平面內(nèi)兩條線能組成怎樣的圖形呢？用你手邊的學(xué)具來(lái)做做看．

問(wèn)題2 在你們所擺放的圖形里面有認(rèn)識(shí)的最基本的圖形嗎？請(qǐng)你指出來(lái)并響亮地說(shuō)出它的名字．

問(wèn)題3 請(qǐng)你畫一個(gè)這樣的圖形．生活中這樣的圖形隨處可見，能說(shuō)說(shuō)嗎？

教學(xué)說(shuō)明認(rèn)知始于操作和觀察，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的最佳方式是借助概念的直觀背景，讓學(xué)生在教師創(chuàng)造的情境中做一個(gè)“發(fā)現(xiàn)者”．深度教學(xué)需要教師營(yíng)造一個(gè)符合知識(shí)本身需要的適切的真實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生沉浸于學(xué)習(xí)情境和以知識(shí)為指向的事物的環(huán)境，讓學(xué)生在不經(jīng)意的現(xiàn)場(chǎng)情境中獲得自然而豐富的直觀體驗(yàn)．學(xué)生在“動(dòng)手”操作過(guò)程中積極“動(dòng)腦”并能舉出生活中的一些圖例，直觀感受到“角”的引進(jìn)主要反映了這樣一個(gè)需要，即是如何反映直線(線段)與直線(線段)之間的位置關(guān)系[2]，從而能初步感受引入“角”概念的必要性以及接著研究與其相關(guān)概念的合理性，這是本節(jié)知識(shí)的邏輯起點(diǎn)．

2.2 樂探解疑，明晰概念——拓展數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)的廣度

數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)是用概念來(lái)思維，而深度教學(xué)就是基于學(xué)生的知識(shí)內(nèi)在結(jié)構(gòu)和整體性關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生進(jìn)行深度探究和思維的教學(xué)．所以，數(shù)學(xué)概念教學(xué)要根植深度教學(xué)去引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究、深度思考，幫學(xué)生把凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的思維結(jié)打開，于存疑處解疑、無(wú)疑處生疑，從而深刻理解概念的內(nèi)涵和外延．同時(shí)數(shù)學(xué)概念教學(xué)要能夠以單元為抓手、以個(gè)體經(jīng)驗(yàn)為背景、以問(wèn)題為主線、以知識(shí)為載體，引入基于概念與生活聯(lián)系、概念與概念聯(lián)系、概念間結(jié)構(gòu)聯(lián)系以及概念學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)與方法聯(lián)系的關(guān)聯(lián)性學(xué)習(xí)．讓學(xué)生在概念的明晰中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念體系和數(shù)學(xué)思維的同步發(fā)展，學(xué)生的思維站在數(shù)學(xué)概念體系中央，使得“數(shù)學(xué)概念”的學(xué)習(xí)真正發(fā)生．

問(wèn)題4 同學(xué)們?cè)谛W(xué)時(shí)已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了角，進(jìn)入初中階段后我們將從知識(shí)系統(tǒng)的角度來(lái)有序地進(jìn)一步深入認(rèn)識(shí)角．通過(guò)前面學(xué)習(xí)“直線、射線、線段”的經(jīng)驗(yàn)，同學(xué)們都知道，要認(rèn)識(shí)一種新的圖形，首先要給它——下定義(學(xué)生齊答).

問(wèn)題5 對(duì)照不停工作的時(shí)鐘，我們可以試著從另外的角度來(lái)認(rèn)識(shí)角嗎？

師生活動(dòng) 學(xué)生互相討論，互相補(bǔ)充后提煉得到角的動(dòng)態(tài)定義(略)，明確角的始邊和終邊，并指出在兩種特殊位置下形成平角和周角．

教學(xué)說(shuō)明給學(xué)生設(shè)置“真活動(dòng)”、提出“真問(wèn)題”,讓學(xué)生經(jīng)歷討論歸納—自主命名—描述定義的過(guò)程，一系列活動(dòng)充分展示了數(shù)學(xué)知識(shí)自然創(chuàng)生及發(fā)展的過(guò)程．教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生在直觀可視的操作基礎(chǔ)上不斷豐富和完善角的特征和屬性，使學(xué)生深度體驗(yàn)到“角”定義的形成過(guò)程，學(xué)生思維呈現(xiàn)可見的生長(zhǎng)狀態(tài)．由此用數(shù)學(xué)特有的方式來(lái)激發(fā)學(xué)生的體驗(yàn)、理解和反思，使得深度學(xué)習(xí)發(fā)生于真實(shí)的自主探究之中，為今后研究對(duì)象的進(jìn)一步擴(kuò)展打下伏筆．

問(wèn)題6 根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，你覺得我們?cè)诘玫搅恕敖恰钡亩x后接著需要研究角的哪些方面？

學(xué)生活動(dòng) 學(xué)生相互補(bǔ)充說(shuō)明,分別是角的符號(hào)表示、角的大小、角的比較，以及角的和、差、倍、分的作圖與計(jì)算．

問(wèn)題7 我們就依次解決同學(xué)們所提出的幾個(gè)方面的問(wèn)題．閱讀課本152頁(yè)第4段內(nèi)容，完成以下表格，自己畫出一個(gè)角并試著表示．

角表示的方法注意事項(xiàng)方法一方法二方法三方法四

問(wèn)題8 你會(huì)表示圖2中的角嗎？你有幾種表示方法？在∠ABC內(nèi)部作一條或兩條射線(如圖3和圖4)，你能表示其中所有的角嗎？

圖2 圖3 圖4

問(wèn)題9 對(duì)于圖3中的∠1和∠2以及∠ABC，你能用哪些方法比較它們的大?。磕隳苷f(shuō)出它們之間的數(shù)量關(guān)系嗎?你能說(shuō)出圖4中那些角之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

問(wèn)題10 如何表示角的大?。拷堑亩攘繂挝皇嵌?，你們認(rèn)為僅一種度量單位能滿足我們的需要嗎？

師生活動(dòng) 學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到需要采用比“度”更精確的計(jì)量單位來(lái)更準(zhǔn)確地刻畫角的大?。诖嘶A(chǔ)上，教師介紹角的單位度、分、秒及它們之間的數(shù)量關(guān)系．

教學(xué)說(shuō)明學(xué)生對(duì)“直線、射線、線段”的學(xué)習(xí)已有初步的經(jīng)驗(yàn)，作為同單元“角”概念的學(xué)習(xí)，應(yīng)以單元為站位，從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部出發(fā)，來(lái)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系上具有系統(tǒng)一致性的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，并讓學(xué)生初步感知單元統(tǒng)攝下的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和知識(shí)間的縱橫聯(lián)系．教師施以連環(huán)追問(wèn)讓學(xué)生深度探究和思考，從而在聯(lián)系和比較中感受知識(shí)的結(jié)構(gòu)性，在閱讀和思考中感知符號(hào)意義的合理性，在表達(dá)中感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性，學(xué)生自覺體會(huì)建立在概念系統(tǒng)性上的一致性、邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性,讓知識(shí)學(xué)習(xí)往高階思維的縱深方向發(fā)展．

2.3 樂辨質(zhì)疑，深刻概念——豐實(shí)數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)的效度

對(duì)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)，教師要能夠創(chuàng)造時(shí)機(jī)，深度設(shè)計(jì)具有思辨性、開放性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，將所學(xué)的概念體系充分內(nèi)化與整合，主動(dòng)思辨應(yīng)用到新的情境中并能夠解決問(wèn)題，呈現(xiàn)可見的創(chuàng)造性思維和批判性思維．在此過(guò)程中，教師要充分尊重遷移發(fā)生的規(guī)律，通過(guò)變更研究概念對(duì)象的角度和方法，在問(wèn)題的變式和延展中不斷改造、不斷完善學(xué)生的元認(rèn)知策略，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的正向遷移，促使他們由知識(shí)和技能的掌握過(guò)渡到能力和素養(yǎng)的養(yǎng)成，形成數(shù)學(xué)概念深層的理解力和高效的學(xué)習(xí)力,獲得創(chuàng)造概念學(xué)習(xí)的意義感.如此，教師“深教”便成就了學(xué)生“智學(xué)”．

問(wèn)題11 在圖4中，若∠1=23°48′，∠2=35.24°，則

①∠1=°；∠2=°′″.

②你還能提出什么問(wèn)題呢？

問(wèn)題12 (1)你能仿照問(wèn)題11來(lái)給圖4設(shè)計(jì)問(wèn)題并解決嗎？

(2)你還能提出其他不同類型的問(wèn)題嗎？

教學(xué)說(shuō)明整體開放性問(wèn)題的設(shè)置引導(dǎo)學(xué)生依托所學(xué)知識(shí)從不同的角度思考問(wèn)題，試著變題、編題、鑒題以及在問(wèn)題中留白，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行全方位、多角度、深層次的思考，不斷提升學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”的水平，使不同層次的學(xué)生都得到了不同的發(fā)展[3]，讓他們從模仿到主動(dòng)去設(shè)計(jì)和創(chuàng)造并遷移應(yīng)用，用不同的策略完善了對(duì)概念體系的深刻理解、思辨和創(chuàng)新，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的豐富性和多樣性，提升了批判性思維和思考型學(xué)力．

2.4 樂活再構(gòu)，精致概念——根植數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)的深度

深度教學(xué)是立足于知識(shí)建構(gòu)、促進(jìn)內(nèi)化與反思的教學(xué)．因此，教師要充分挖掘概念所蘊(yùn)含的價(jià)值資源，超越概念表層的符號(hào)知識(shí)，以數(shù)學(xué)的教育形態(tài)將知識(shí)教學(xué)與價(jià)值觀融為一體，引領(lǐng)學(xué)生感悟概念體系所承載的思想方法和文化內(nèi)核，形成自己對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容獨(dú)特的邏輯理解，并實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的重構(gòu)．在數(shù)學(xué)概念的意義關(guān)懷與價(jià)值情懷中感受數(shù)學(xué)文化和思想的熏陶，不斷提升數(shù)學(xué)思考的速度和深度，并不斷積累經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展高階思維，使課堂教學(xué)呈現(xiàn)持續(xù)積極深度發(fā)展的樣式，實(shí)現(xiàn)知識(shí)意義增值和情感智慧共生．

問(wèn)題13 今天我們類比“直線、射線、線段”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，再探同學(xué)們熟悉的“角”圖形，你經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，有怎樣的體驗(yàn)和感受？

問(wèn)題14 你能和同伴分享自己對(duì)角概念的學(xué)習(xí)路徑的理解嗎？

教學(xué)說(shuō)明我們希翼評(píng)價(jià)從“甄別”和“選拔”走向“促進(jìn)”“發(fā)展”和“重構(gòu)”,使學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)成為助推學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的特有方式和手段．本節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生從已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)走進(jìn)課堂，經(jīng)歷了豐富而有意義的探索之后又重建結(jié)構(gòu)并回到結(jié)構(gòu)中去(如圖5)，這一“淺出深入”、充滿智慧的思維之旅讓學(xué)生深刻地感悟知識(shí)的聯(lián)系性、邏輯性和建構(gòu)性，使得數(shù)學(xué)概念的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)越趨完整、系統(tǒng)和精致，提升了數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力并促進(jìn)指向智慧型知識(shí)建構(gòu)能力的發(fā)展．

圖5

3 結(jié)語(yǔ)

深度教學(xué)是教學(xué)發(fā)展性的呼喚,深度教學(xué)理念傾注了對(duì)學(xué)生發(fā)展豐富性的要求，凝聚了對(duì)學(xué)生生命成長(zhǎng)的關(guān)注，滲透著對(duì)課堂教學(xué)發(fā)展性品質(zhì)的追求[4]．?dāng)?shù)學(xué)概念本身內(nèi)在的發(fā)展價(jià)值及其整體化意義需要理解至“充分深度”的深度教學(xué)，我們廣大數(shù)學(xué)教師要把深度教學(xué)落實(shí)在概念豐富多彩的學(xué)習(xí)實(shí)踐中，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念的多維教育價(jià)值．讓我們積極做深度教學(xué)的實(shí)踐者，不斷踐行有生命、有力量、有意義的數(shù)學(xué)教學(xué)，助推學(xué)生在數(shù)學(xué)精神的浸潤(rùn)中、在數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的養(yǎng)成過(guò)程中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育價(jià)值的創(chuàng)生．