探究構(gòu)圖 優(yōu)化路徑 提升素養(yǎng)
——記一道解析幾何題的求解歷程

石 鵬 (江蘇省石莊高級中學(xué) 226531)

解析幾何的基本思想是用代數(shù)方法研究平面圖形問題，平面圖形是由點(diǎn)、線所構(gòu)成，簡稱為“構(gòu)圖”．教師教學(xué)過程中應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生充分探究“構(gòu)圖”中各元素之間的關(guān)系，挖掘構(gòu)圖的幾何特征和性質(zhì)，尋找最優(yōu)運(yùn)算路徑，簡化運(yùn)算過程，提升運(yùn)算素養(yǎng)．本文以一道?？碱}的講評為例，帶領(lǐng)學(xué)生通過對構(gòu)圖的探究，產(chǎn)生不同的運(yùn)算路徑，比較各個運(yùn)算路徑的優(yōu)劣，在探究和比較中培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)．

1 問題呈現(xiàn)

圖1

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過T(t,0)(t>a)作斜率為k(k<0)的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))，且F1M∥F2N，設(shè)直線AM,BN的斜率分別為k1，k2，求k1·k2的值．

2 根據(jù)題意，釋學(xué)生之惑

2.1 設(shè)而不求 整體代換

由于點(diǎn)M，N是直線l與橢圓C相交而得到，將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理，進(jìn)行整體代換求解．

2.2 巧用性質(zhì) 簡化運(yùn)算

學(xué)生卡殼的問題得以解決，臉上露出了欣喜的笑容，但同時(shí)也需要進(jìn)行反思：在練習(xí)和考試的過程中，遇到類似問題，要心平氣和地、理智地進(jìn)行分析，充分挖掘題目的隱含條件，要敢于去探索，善于解決問題，克服各種“隱形”的困難．此時(shí)有學(xué)生提出了另一種想法．

2.3 借助中點(diǎn) 尋求斜率

解法1，2是將直線的方程和橢圓的方程進(jìn)行聯(lián)立，運(yùn)算過程比較繁瑣，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：不聯(lián)立方程，又能否解出來呢？請學(xué)生思考后再小組討論，試探究直線F1M的斜率與直線l斜率間的關(guān)系．學(xué)生思考片刻后開始討論，然后有一個學(xué)生主動板演出如下解題過程．

評注以上三種解法的運(yùn)算過程都比較繁瑣，解法1和解法2都需要把直線l和橢圓聯(lián)立，解法1需借助“韋達(dá)定理”或者分別求出x1，x2，這對學(xué)生的運(yùn)算和思維要求都比較高．解法2借助橢圓的結(jié)論簡化了運(yùn)算，這需要學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)過程中注意對圓錐曲線中的“亞結(jié)論”進(jìn)行歸納和總結(jié)，以便在解題過程中達(dá)到游刃有余的境界．解法3利用了點(diǎn)差法，或者通過解法1的①式求出M,N中點(diǎn)Q的坐標(biāo)，寫出直線OQ的斜率，探究出直線MF1，NF2的斜率與直線l的斜率．表面上沒有把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)算量會小一點(diǎn)，實(shí)際上把點(diǎn)M或者點(diǎn)N的坐標(biāo)代入橢圓尋找k與t的關(guān)系，涉及到4次，這對學(xué)生運(yùn)算能力的要求也比較高．

3 簡化構(gòu)圖 優(yōu)化路徑

圖2

3.1 知點(diǎn)解點(diǎn) 建立等式

該生提供了自己的方法：聯(lián)立直線AM與橢圓C的方程，用k1表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理用k2表示點(diǎn)N的坐標(biāo),借助于F1M∥F2N建立k1和k2的等式關(guān)系進(jìn)行求解．這就是常見的知點(diǎn)解點(diǎn)模型．

3.2 利用平行 直接求解

也有其他學(xué)生發(fā)現(xiàn)，由直線F1M與直線F2N平行知斜率相等，設(shè)一個變量將運(yùn)算進(jìn)行到底．關(guān)鍵是如何設(shè)直線方程，將直線F1M設(shè)為x=my-1，還是設(shè)為y=k(x+1)呢？學(xué)生小組討論發(fā)現(xiàn)，如果把直線F1M和橢圓聯(lián)立，不管是解出橫坐標(biāo)還是縱坐標(biāo)，都是兩個解.旋轉(zhuǎn)F1M可知，橫坐標(biāo)有可能兩個都是負(fù)的或者一正一負(fù)，而縱坐標(biāo)只可能一正一負(fù)，所以解縱坐標(biāo)比較方便，從而需消去參數(shù)x，并且直線經(jīng)過的定點(diǎn)在x軸上，所以直線方程設(shè)為x=my-1比較合理．

3.3 聯(lián)立直線 代入橢圓

此時(shí)有學(xué)生指出，以上兩個方法的運(yùn)算量都有點(diǎn)大，可類比解法3，把兩條直線的方程聯(lián)立解出點(diǎn)M，N后代入橢圓，消去斜率k，即尋找到k1，k2之間的關(guān)系．

4 重新構(gòu)圖 凸顯本質(zhì)

橢圓作為幾何圖形，具有對稱性、有界性等性質(zhì)．在解析幾何題目的運(yùn)算過程中，借助于相關(guān)性質(zhì)，可以大大地簡化運(yùn)算，如本題可以引導(dǎo)學(xué)生借助橢圓對稱性來簡化運(yùn)算．

解如圖3，延長MF1交橢圓于點(diǎn)H,由直線F1M∥F2N,點(diǎn)F1,F2和橢圓C關(guān)于原點(diǎn)對稱,得點(diǎn)N，H關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以直線AH的斜率等于k2．設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),H(x2,y2)，直線MH的方程為x=my-1．

圖3

評注借助對稱性讓題目回歸到常見的模型，避免了復(fù)雜冗長的運(yùn)算．平時(shí)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生儲備好相關(guān)平面幾何的知識和圓錐曲線中必要的“亞結(jié)論”，比如：三角形中的三線及三角形面積的求法，與圓相關(guān)的垂徑定理、切線長定理、相交弦定理等，圓錐曲線中的極點(diǎn)和極線的關(guān)系、焦點(diǎn)三角形等，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生能夠充分挖掘圖形各元素間的關(guān)系，把這些關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，將復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為幾何問題．

5 結(jié)束語

解析幾何問題歸根結(jié)底還是幾何問題，在解決相關(guān)問題的時(shí)候，不能一味強(qiáng)調(diào)代數(shù)運(yùn)算，而應(yīng)該綜合考慮構(gòu)圖中不同元素間的關(guān)系，通過探究構(gòu)圖、簡化構(gòu)圖、重新構(gòu)圖，讓問題回歸到常規(guī)，讓運(yùn)算回歸常見，學(xué)生就能夠有的放矢，就能將運(yùn)算進(jìn)行到底．最重要的是通過探究構(gòu)圖，學(xué)生更容易挖掘出幾何背景，以便充分利用圖形的特征，以形助數(shù)，優(yōu)化運(yùn)算的路徑，調(diào)整運(yùn)算的步驟，減少復(fù)雜的運(yùn)算，提高運(yùn)算的效率和準(zhǔn)確率，最終提升運(yùn)算素養(yǎng)．