基于實(shí)驗(yàn) 自主探究 發(fā)展素養(yǎng)
——“圓周角(1)”教學(xué)實(shí)錄與反思

丁銀杰 (江蘇省蘇州市草橋中學(xué)校 215031)

1 基本情況

1.1 教材內(nèi)容分析

圓周角(1)是蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第2章“對(duì)稱(chēng)圖形——圓”第4節(jié)“圓周角”第1課時(shí)的內(nèi)容，在本章的前3節(jié)學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)概念，圓的對(duì)稱(chēng)性和確定圓的條件等知識(shí)，本節(jié)課學(xué)習(xí)圓周角的概念與性質(zhì)．圓周角是本章的核心概念，是學(xué)習(xí)圓內(nèi)接四邊形，探究圓冪定理的重要基礎(chǔ)，同時(shí)也是聯(lián)系圓與三角形、四邊形及相似形知識(shí)的紐帶．

教材首先介紹了弧所對(duì)的圓周角概念，其次通過(guò)分別畫(huà)90°,60°的圓心角對(duì)應(yīng)的圓周角，并得出其分別為45°,30°，獲得同弧所對(duì)的圓周角是圓心角一半的猜想，最后用分類(lèi)與整合的方法證明圓周角性質(zhì)，并通過(guò)例題教學(xué)加以鞏固．

1.2 學(xué)生學(xué)情分析

施教對(duì)象為蘇州市教育局直屬初中校九年級(jí)學(xué)生，學(xué)業(yè)基礎(chǔ)較好，經(jīng)過(guò)七、八年級(jí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，學(xué)生具有一定的實(shí)驗(yàn)探究、合作交流、分析整合的能力．根據(jù)兒童思維發(fā)展理論，九年級(jí)學(xué)生的思維以抽象邏輯思維為主要形式，但抽象思維水平仍然較低，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解還需要如實(shí)物學(xué)具、技術(shù)平臺(tái)等直觀形象的支撐．

1.3 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

教學(xué)目標(biāo) (1)(知識(shí)與技能)認(rèn)識(shí)并理解圓周角概念，了解并證明圓周角定理，能運(yùn)用圓周角定理解決相關(guān)問(wèn)題；(2)(思想與方法)在探索和證明圓周角定理的過(guò)程中，體會(huì)特殊與一般、分類(lèi)與整合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考；(3)(策略與途徑)經(jīng)歷“觀察—猜想—驗(yàn)證—證明—應(yīng)用—拓展”的探索過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)．

1.4 重點(diǎn)難點(diǎn)確定

教學(xué)重點(diǎn) 基于實(shí)物操作和技術(shù)探究構(gòu)建圓周角概念，探索圓周角性質(zhì)．

教學(xué)難點(diǎn) 從實(shí)物模型中抽象出圓周角概念，運(yùn)用分類(lèi)與整合，轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法探索并證明圓周角性質(zhì)．

1.5 教學(xué)策略選擇

由于圓周角概念的抽象性，圓周角定理探索需要用到分類(lèi)與整合的思想方法，本節(jié)課的教學(xué)采用實(shí)驗(yàn)探究的方式進(jìn)行，教學(xué)中引入實(shí)物工具“圓周角探究?jī)x”和技術(shù)工具GeoGebra，支持學(xué)生的自主探究，營(yíng)造“做”數(shù)學(xué)的環(huán)境，幫助學(xué)生在實(shí)物操作的基礎(chǔ)上構(gòu)建概念，在技術(shù)探究中探索性質(zhì)，發(fā)展素養(yǎng)．

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

師：如圖1，在一個(gè)圓形場(chǎng)地上，圖中陰影部分是舞臺(tái)，甲、乙、丙三位攝影師分別在C,D,E三點(diǎn)處對(duì)著舞臺(tái)攝影．哪位攝影師拍攝的角度最大？哪位攝影師拍攝的角度最?。?/p>

圖1

生：憑直覺(jué)，甲攝影師拍攝的角度最大，丙攝影師拍攝的角度最小(但不能明白其中的數(shù)學(xué)原理)．

師：你的直覺(jué)是對(duì)的，學(xué)完本節(jié)課的內(nèi)容，你就會(huì)知道其中的數(shù)學(xué)原理．

2.2 實(shí)驗(yàn)操作，構(gòu)建概念

師：這節(jié)課我們采用實(shí)驗(yàn)探究的方式來(lái)學(xué)習(xí)，圖2是一個(gè)學(xué)具，由一個(gè)直線(xiàn)軌道和一個(gè)圓形軌道組成，A,B為圓形軌道上的兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P可以在直線(xiàn)或圓形軌道上自由滑動(dòng)．

圖2

(1)操作：分別沿學(xué)具的直線(xiàn)軌道和圓形軌道移動(dòng)“動(dòng)點(diǎn)P”；

(2)觀察：在“動(dòng)點(diǎn)P”移動(dòng)的過(guò)程中，∠APB的頂點(diǎn)、兩邊與“圓”有怎樣的位置關(guān)系？

生：當(dāng)點(diǎn)P沿直線(xiàn)軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB的頂點(diǎn)可能在圓內(nèi)、圓上或圓外，兩邊都與圓相交；當(dāng)點(diǎn)P沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB的頂點(diǎn)始終在圓上，兩邊都與圓相交．

師：當(dāng)點(diǎn)P沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，同學(xué)們發(fā)現(xiàn) 圖3中的∠AP1B,∠AP2B,∠AP3B，它們有兩個(gè)共同特征：它們的頂點(diǎn)都在圓上，它們的兩邊都與圓相交，這一類(lèi)特殊的角就是本節(jié)課的研究對(duì)象——圓周角(板書(shū)課題)，你能給圓周角下個(gè)定義嗎？

圖3

生：類(lèi)比∠AOB，頂點(diǎn)為圓心，稱(chēng)為圓心角，可以這樣定義圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

師：概括得很好(板書(shū)定義)．

請(qǐng)你根據(jù)圓周角定義，辨析圖4中的角是否為⊙O的圓周角？為什么？

圖4

生：∠1不是⊙O的圓周角，因?yàn)樗捻旤c(diǎn)在圓外；∠2是⊙O的圓周角；∠3不是⊙O的圓周角，因?yàn)樗捻旤c(diǎn)在圓內(nèi)；∠4不是⊙O的圓周角，因?yàn)樗囊贿吪c⊙O不相交．

2.3 實(shí)驗(yàn)探究，探索性質(zhì)

2.3.1操作與猜想

師：剛才通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，我們構(gòu)建了圓周角概念，那么圓周角有怎樣的性質(zhì)呢？我們繼續(xù)用實(shí)驗(yàn)的方式探究．

(1)操作：分別沿學(xué)具的直線(xiàn)軌道和圓形軌道移動(dòng)“動(dòng)點(diǎn)P”；

(2)思考：在“動(dòng)點(diǎn)P”移動(dòng)的過(guò)程中，∠APB的大小如何變化？

生：當(dāng)點(diǎn)P沿直線(xiàn)軌道由圓內(nèi)向圓外運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB由大變??；當(dāng)點(diǎn)P沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB的大小不變，并且等于∠AOB的一半．

師：你是如何得到“當(dāng)點(diǎn)P沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB的大小不變，并且等于∠AOB的一半”的？

生：我是根據(jù)量角器測(cè)量的數(shù)據(jù)得到的，先量得圓心角∠AOB為100°，再在三個(gè)不同的位置量得圓周角∠APB均為50°．

師：同學(xué)們通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法得到了一個(gè)猜想：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧所對(duì)的圓周角相等．

2.3.2驗(yàn)證與說(shuō)理

師：這個(gè)猜想是否總是成立？我們?cè)儆眉夹g(shù)驗(yàn)證一下．

圖5

(2)拖動(dòng)點(diǎn)C，改變點(diǎn)C的位置，觀察∠AOB和∠ACB的度數(shù)的變化情況；

(3)拖動(dòng)點(diǎn)B，改變點(diǎn)B的位置，觀察∠AOB和∠ACB的度數(shù)的變化情況；

(4)拖動(dòng)點(diǎn)A，改變⊙O的大小，觀察∠AOB和∠ACB的度數(shù)的變化情況．

生：經(jīng)過(guò)度量，動(dòng)態(tài)觀察，∠ACB的度數(shù)始終是∠AOB的一半．

師：我們借助技術(shù)更一般地驗(yàn)證了猜想，猜想要成為定理還需要證明，先來(lái)嘗試證明下面的特殊情形．

(1)如圖6，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)(不與A,B重合)，試說(shuō)明∠ACB=90°；

圖6 圖7

生：(利用三角形內(nèi)角和定理解決上述問(wèn)題，獲得經(jīng)驗(yàn)，具體過(guò)程略．)

師：以上我們證明了兩種特殊情形：當(dāng)圓心角為180°時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓周角為90°；當(dāng)圓心在圓周角的一邊上時(shí)，同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半．圓心和圓周角還有哪些不同的位置關(guān)系？

生：(借助平板操作)還可能圓心在圓周角的內(nèi)部或圓心在圓周角的外部．

師：如圖8、圖9，這兩種情形更具有一般性，如何證明呢？

圖8 圖9

師：也就是說(shuō)，在圖8中，我們借助于添加直徑，把一般情形轉(zhuǎn)化成如圖7的兩個(gè)特殊情形的“和”，用同樣的方法，圖9這種情形可以轉(zhuǎn)化成如圖7的兩個(gè)特殊情形的“差”，請(qǐng)同學(xué)們課后完成證明過(guò)程．這樣我們就得到了圓周角的性質(zhì)(板書(shū))：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧所對(duì)的圓周角相等．

圖10

2.4 變式訓(xùn)練，應(yīng)用拓展

師：下面我們來(lái)看一組問(wèn)題．

變式1 在圖11中，連接AC，交BD于點(diǎn)F，則∠AFD=°．

圖11 圖12

變式2 如圖12，⊙O中，點(diǎn)C在⊙O內(nèi)，點(diǎn)D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外(C,D,E在AB同側(cè))．試比較∠ACB,∠ADB和∠AEB的大小，并說(shuō)明理由．

教師巡視，學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組合作，班級(jí)交流，順利解決例題和變式1，體會(huì)圓周角性質(zhì)的應(yīng)用價(jià)值，初步感受求“圓外角(∠AEB)”“圓內(nèi)角(∠AFB)”中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．對(duì)于變式2，教師稍加提示后，學(xué)生也能繼續(xù)通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化．

生：在圖12中，設(shè)BE與⊙O交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BC交⊙O于點(diǎn)G，連接AG，則根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得∠AFB=∠ADB=∠AGB．又因?yàn)椤螦EB<∠AFB，∠AGB<∠ACB，所以∠AEB<∠ADB<∠ACB，

師：也就是說(shuō)，在本課開(kāi)頭的問(wèn)題情境中，甲攝影師拍攝的角度(∠ACB)最大，丙攝影師拍攝的角度(∠AEB)最?。?/p>

2.5 課堂小結(jié)，布置作業(yè)(略)

3 回顧與反思

3.1 教學(xué)設(shè)計(jì)的立意

本節(jié)課設(shè)計(jì)了兩條主線(xiàn)，一條是基于知識(shí)的明線(xiàn)(情境—概念—定理—應(yīng)用—拓展)，學(xué)生以“做”為支架，用實(shí)驗(yàn)的方法自主探究，經(jīng)歷知識(shí)

發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的全過(guò)程，拓展思維廣度和深度．

另一條是基于核心素養(yǎng)發(fā)展的暗線(xiàn)，素養(yǎng)立意主要體現(xiàn)在：(1)圓周角探究?jī)x中的直線(xiàn)軌道、圓形軌道、橡皮筋等物化工具有利于學(xué)生抽象出圓周角概念，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；(2)從操作到猜想，從特殊到一般，定理探索的全過(guò)程充分運(yùn)用了合情推理與演繹推理，有利于發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)；(3)學(xué)具的直觀、數(shù)據(jù)的直觀和圖形的直觀，有利于學(xué)生獲得猜想，突破思路，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)；(4)圓周角定理建立了一個(gè)“良構(gòu)”的數(shù)學(xué)模型，圓內(nèi)角、圓外角的探究是模型的自覺(jué)應(yīng)用，發(fā)展了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．

3.2 教學(xué)反思

(1)數(shù)學(xué)課堂要突出學(xué)生的主體地位

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》強(qiáng)調(diào)“動(dòng)手實(shí)踐”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，要求“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程”[1]，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，課堂教學(xué)要以學(xué)生的“學(xué)習(xí)”為中心．基于實(shí)物學(xué)具圓周角探究?jī)x的操作和基于技術(shù)工具GeoGebra的探究很好地體現(xiàn)了學(xué)生主體觀，學(xué)生在操作中思考，在探究中辨析，具身參與認(rèn)知過(guò)程，通過(guò)手腦協(xié)同，達(dá)到啟思明理，從而構(gòu)建新知，發(fā)展素養(yǎng)．教師的作用在于給學(xué)生設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)幕顒?dòng)，提供適切的工具，進(jìn)行適度的指導(dǎo)，幫助學(xué)生完成自主研究，發(fā)揮應(yīng)有的主導(dǎo)作用．

(2)數(shù)學(xué)課堂要關(guān)注知識(shí)的來(lái)龍去脈

數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)、系統(tǒng)的學(xué)科，每一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)都是數(shù)學(xué)體系的一個(gè)有機(jī)組成要素，我們不僅要關(guān)注它是什么，也要關(guān)注它來(lái)自何方，將走向何處．舞臺(tái)的拍攝角度、足球射門(mén)的角度等是圓周角、圓內(nèi)角和圓外角的生活起源，圓心角是圓周角、圓內(nèi)角和圓外角的數(shù)學(xué)之根．借助圓周角探究?jī)x的操作，圓心角生長(zhǎng)為圓內(nèi)角、圓周角和圓外角．基于技術(shù)的探究為用分類(lèi)與整合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法證明圓周角性質(zhì)獲得了突破口，例題的變式訓(xùn)練不僅鞏固了新知，更能讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，變式拓展呼應(yīng)情境，解決實(shí)際問(wèn)題，蘊(yùn)含模型思想．情境的創(chuàng)設(shè)引發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，問(wèn)題的解決則是學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的最好寫(xiě)照．

(3)數(shù)學(xué)課堂要落實(shí)素養(yǎng)的發(fā)展指向

“立德樹(shù)人”是數(shù)學(xué)課程的根本任務(wù)，主陣地是課堂，落腳點(diǎn)是發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了要在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)[2].因此，教學(xué)設(shè)計(jì)中不僅要重視知識(shí)目標(biāo)的設(shè)置與達(dá)成，也要關(guān)注素養(yǎng)目標(biāo)的指向與落實(shí)．盡管知識(shí)不等于素養(yǎng)，活動(dòng)不等于素養(yǎng)，但素養(yǎng)的發(fā)展必須基于獲取知識(shí)的活動(dòng)過(guò)程．教師要通過(guò)指向素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)，給予學(xué)生足夠的活動(dòng)時(shí)間與空間，發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng).本節(jié)課基于實(shí)驗(yàn)探究，自主學(xué)習(xí)，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等素養(yǎng)．