具有負(fù)載柔性的液壓伺服系統(tǒng)整形滑?？刂?/h1>

2022-11-16 13:36:02王偉平杜文芳

液壓與氣動訂閱 2022年11期 收藏

關(guān)鍵詞：信號系統(tǒng)

王偉平， 杜文芳

(1.江蘇師范大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 江蘇 徐州 221116； 2.中國礦業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 江蘇 徐州 221116)

引言

液壓伺服系統(tǒng)與氣動和電動伺服系統(tǒng)相比具有功率密度大、響應(yīng)快、精度高等優(yōu)勢，在諸多領(lǐng)域得到越來越廣泛的應(yīng)用，如足式仿生機(jī)器人、液壓懸架、軋機(jī)等[1-3]。

在液壓伺服控制系統(tǒng)研究中，往往假設(shè)執(zhí)行器與負(fù)載之間的機(jī)械連接或傳動機(jī)構(gòu)是完全剛性的，而實際上液壓執(zhí)行器在向負(fù)載傳遞扭矩或驅(qū)動力時總是存在一定的彈性變形?，F(xiàn)有的研究通常忽略結(jié)構(gòu)剛度的影響或僅考慮負(fù)載與環(huán)境的接觸剛度，然而在類似連鑄結(jié)晶器[4]等大慣量伺服系統(tǒng)以及柔性臂[5]等控制場合，需要考慮結(jié)構(gòu)剛度對控制性能的影響，并且此時負(fù)載驅(qū)動環(huán)節(jié)為兩自由度系統(tǒng)。當(dāng)對伺服系統(tǒng)的快速性要求較高時，液壓 - 機(jī)械的綜合諧振頻率將限制系統(tǒng)帶寬并影響綜合系統(tǒng)的控制精度及穩(wěn)定性。在大型振動臺、重型機(jī)床等大慣量、大功率伺服系統(tǒng)中均會遇到類似的問題。因此，當(dāng)考慮負(fù)載連接剛度的影響時，半閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性要比全閉環(huán)系統(tǒng)優(yōu)越[4]。此外，由于半閉環(huán)系統(tǒng)的階數(shù)比全閉環(huán)系統(tǒng)低，在控制器設(shè)計方面更具有優(yōu)勢。針對以上問題，設(shè)計了一種半閉環(huán)控制策略，即對液壓缸活塞桿位移采用閉環(huán)控制，而對負(fù)載的最終位移采用開環(huán)控制。

對于閉環(huán)控制部分，首先需要盡量克服超調(diào)、振蕩等問題對負(fù)載振動的進(jìn)一步激發(fā)。液壓伺服系統(tǒng)存在時變參數(shù)、外部干擾、未建模動態(tài)等問題，是一種典型的強(qiáng)非線性系統(tǒng)[6-7]。針對這些問題，國內(nèi)外學(xué)者提出了很多非線性控制策略，如H∞控制[8]、自適應(yīng)魯棒控制[9]、輸出反饋控制[10]以及基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或模糊控制的智能控制算法[11-12]。在實際的工業(yè)生產(chǎn)中，PID控制作為一種經(jīng)典的控制方法以其結(jié)構(gòu)簡單和可靠性高的特點(diǎn)仍然占據(jù)主導(dǎo)地位[13]。然而這種控制方法在跟蹤階躍等誤差變化較大的信號時容易出現(xiàn)超調(diào)、振蕩等問題，且在穩(wěn)定性分析以及參數(shù)整定方面仍然存在一些缺陷?；？刂?Sliding Mode Control,SMC)作為魯棒控制的一種，可以使被控狀態(tài)以柔順、過阻尼的方式跟蹤期望信號。然而當(dāng)狀態(tài)軌跡到達(dá)滑模面后，由于其難以嚴(yán)格地沿著滑模面向平衡點(diǎn)運(yùn)動，而是在滑模面兩側(cè)來回穿越，從而產(chǎn)生抖振問題。抖振不僅影響控制的精確性、增加能量消耗, 而且系統(tǒng)中的高頻未建模動態(tài)很容易被激發(fā)起來, 破壞系統(tǒng)的性能, 甚至使系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩或失穩(wěn), 損壞控制器部件[14]?；诖耍琄IKUUWE等[15]提出了一種結(jié)合了PID控制和SMC優(yōu)點(diǎn)的代理滑模控制(Proxy Sliding Mode Control,PSMC)。當(dāng)跟蹤誤差較大時，PSMC表現(xiàn)出理想滑?？刂频膭討B(tài)特性，避免了采用PID控制時的超調(diào)等問題；而當(dāng)跟蹤誤差較小時，PSMC表現(xiàn)出PID控制特點(diǎn)，即直接根據(jù)跟蹤誤差調(diào)整控制信號從而保證控制精度[16-17]。此外，這種控制方法從理論上取消了不連續(xù)的符號函數(shù)，因此可以看成是一種連續(xù)型控制器，并且與利用雙曲正切等函數(shù)進(jìn)行的近似方法具有本質(zhì)不同[18]。鑒于PSMC的優(yōu)點(diǎn)，這種方法被應(yīng)用于諸如氣動執(zhí)行器[19]、壓電驅(qū)動[20]等領(lǐng)域。然而以上研究的被控對象均為二階系統(tǒng)，未見應(yīng)用于三階液壓伺服系統(tǒng)的PSMC控制。此外，傳統(tǒng)的PSMC研究缺乏較為完備的穩(wěn)定性證明且較少考慮大負(fù)載擾動情況下的魯棒性問題，當(dāng)系統(tǒng)未建模動態(tài)及外擾較大時將對控制性能產(chǎn)生較大影響?；谝陨峡剂?，本研究將擾動觀測器與代理滑?？刂平Y(jié)合以提高控制器魯棒性。同時，為了避免在控制器設(shè)計時對測量信號求導(dǎo)而導(dǎo)致噪聲放大，在觀測器設(shè)計以及控制器設(shè)計階段分別采用輔助狀態(tài)變量和動態(tài)面控制方法，從而形成了一種基于擾動觀測器的代理滑?？刂?Disturbance Observer-based Proxy Sliding Mode Control，DPSMC)，并基于無源性理論及Lyapunov方法給出了穩(wěn)定性證明。

對于開環(huán)控制部分，主要目的是克服負(fù)載在連接剛度影響下的振動問題，從而保證最終的控制精度。根據(jù)負(fù)載驅(qū)動部分的特性參數(shù)，首先利用零振蕩(Zero Vibration，ZV)輸入整形器對負(fù)載期望軌跡進(jìn)行修正。然后利用閉環(huán)控制部分使液壓缸活塞桿的運(yùn)動位移跟蹤修正后的軌跡，從而使活塞桿最終傳遞到負(fù)載的軌跡無振動跟蹤期望軌跡。本研究將開環(huán)和閉環(huán)控制結(jié)合，最終形成了一種適用于考慮連接剛度的整形滑?？刂?Zero Vibration-Disturbance Observer-based Proxy Sliding Mode Control，ZV-DPSMC)。理論分析及仿真結(jié)果表明所提出的控制方法能夠在保證穩(wěn)定性的前提下提高系統(tǒng)抗干擾能力、減小滑模抖振及控制超調(diào)并可以使負(fù)載無振蕩到達(dá)期望位置。

1 模型建立

液壓缸活塞的力平衡方程可表示為：

(1)

其中，xc=xL-xm。

式中，xL—— 液壓缸活塞位移

xm—— 負(fù)載位移

mL—— 活塞質(zhì)量

p1，p2—— 液壓缸兩腔壓力

A1，A2—— 液壓缸兩腔面積

Bc—— 活塞與負(fù)載間的阻尼系數(shù)

ks—— 活塞與負(fù)載的連接剛度

Fd—— 外擾及未建模動態(tài)

液壓缸無桿腔流量及有桿腔流量可表示為：

(2)

(3)

式中,Q1，Q2—— 液壓缸無桿腔及有桿腔流量

ps—— 系統(tǒng)供油壓力

kq，kx—— 閥的控制參數(shù)

ρ—— 油液密度

u—— 控制輸入信號

忽略泄漏的影響，液壓缸兩腔的壓力動態(tài)可表示為：

(4)

式中，Vh1—— 液壓缸無桿腔以及連接管路的容積

Vh2—— 液壓缸有桿腔以及連接管路的容積

βe—— 有效體積彈性模量

定義液壓缸驅(qū)動部分的狀態(tài)變量為：

(5)

聯(lián)立上述表達(dá)式可得系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：

(6)

式中，d1，d2—— 力平衡方程和壓力動態(tài)中的不確定性及擾動

其中,

式(6)為控制輸入u與液壓缸活塞位移xL之間的狀態(tài)空間方程，而液壓缸活塞位移xL與負(fù)載位移xm之間的傳遞函數(shù)可表示為：

(7)

式中，m—— 負(fù)載質(zhì)量

為便于控制器設(shè)計及分析，作如下合理假設(shè)：

(1) 擾動d1和d2可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)有界；

(2) 所有狀態(tài)變量可測；

(3) 活塞與負(fù)載連接剛度及阻尼的名義值已知。

一般的液壓伺服系統(tǒng)可通過參數(shù)辨識方法得到連接剛度，而柔性臂可通過假設(shè)模態(tài)法和拉格朗日方程得到剛度矩陣。由于柔性臂在一定條件下可以等效為一個彈簧 - 阻尼系統(tǒng)[21]，因此本研究僅討論一般情況。

2 控制器設(shè)計

一方面，由式(6)和式(7)可以看出綜合系統(tǒng)的階數(shù)較高，如果直接進(jìn)行控制器設(shè)計將較為困難。另一方面，根據(jù)液壓彈簧剛度理論可知，液壓彈簧剛度和負(fù)載連接剛度為串聯(lián)關(guān)系，因此如圖1所示的機(jī)械液壓綜合系統(tǒng)的剛度小于兩者中任何一個[22]。

圖1 液壓伺服系統(tǒng)原理Fig.1 Schematic diagram of hydraulic servo system

以往的液壓伺服系統(tǒng)中往往認(rèn)為負(fù)載連接剛度大于液壓彈簧剛度，因此液壓系統(tǒng)的固有頻率就決定了綜合系統(tǒng)的特性。而當(dāng)負(fù)載連接剛度接近甚至小于液壓彈簧剛度時，負(fù)載連接剛度將嚴(yán)重制約系統(tǒng)響應(yīng)及穩(wěn)定性?；谝陨戏治觯?本研究僅對液壓缸活塞桿位移進(jìn)行閉環(huán)控制，而活塞桿對負(fù)載的驅(qū)動部分采用開環(huán)控制。由式(7)可知負(fù)載驅(qū)動部分的傳遞函數(shù)中包含二階振蕩環(huán)節(jié)。因此當(dāng)阻尼較小時，由活塞桿通過彈簧阻尼系統(tǒng)驅(qū)動負(fù)載將導(dǎo)致負(fù)載的振動。因此，本研究首先由式(7)得到固有頻率及阻尼比，并根據(jù)ZV輸入整形原理設(shè)計理想的活塞桿位移以期實現(xiàn)無振動驅(qū)動，然后利用閉環(huán)控制實現(xiàn)活塞桿位移的精確跟蹤。根據(jù)上述原理可以得到控制器設(shè)計框圖，如圖2所示。

圖2 控制器整體框圖Fig.2 Overall block diagram of controller

2.1 擾動觀測器

設(shè)計高增益擾動觀測器為:

(8)

(9)

擾動估計誤差的動態(tài)為：

(10)

2.2 代理滑?？刂?/h3>

將式(6)中前兩階狀態(tài)方程改寫為：

(11)

針對式(11)，定義滑模面如下[18]：

(12)

式中，xd—— 活塞桿的期望的位置

xp—— 代理的位置

k1—— 控制增益，大于0

設(shè)計基于滑模的代理控制器為：

(13)

其中，mp為代理質(zhì)量，kp和kd表示PD控制中的比例和微分增益，k2>0為控制增益。

虛擬耦合定義為：

(14)

代理的力平衡方程可表示為：

(15)

由于代理連桿實際上并不存在，因此可以認(rèn)為代理質(zhì)量為0，因此有：

uc=up=x3d

(16)

其中，x3d為前兩階系統(tǒng)的虛擬輸入。

基于式(15)可得：

(17)

根據(jù)符號函數(shù)定義且由于Z和Y均大于0，式(17)中的符號函數(shù)可改寫為：

(18)

將式(18)代入式(17)可得：

(19)

基于文獻(xiàn)[15]中式(4)關(guān)于符號函數(shù)sgn和單位飽和函數(shù)sat關(guān)系的推理，式(19)可改寫成：

(20)

其中，sat(x)x/max(1，|x|)為單位飽和函數(shù)，

由上式可進(jìn)一步根據(jù)式(14)及式(16)得到x3d。從式(20)可以看出,代理滑模控制本質(zhì)上不含有非連續(xù)的符號函數(shù),在一定程度上可以看成是一個連續(xù)型控制器，從而可以避免滑模抖振問題。此外，基于擾動觀測器的代理滑?？刂圃诤艽蟪潭壬弦种屏舜筘?fù)載擾動對控制效果的影響。

由χ的表達(dá)式可知通過合理地配置控制增益可以避免χ進(jìn)入飽和區(qū)，從而式(20)可以改寫成：

(21)

一種特殊配置為kp=k1kd，此時χ=sL/Y。由于sL有界，當(dāng)|sL|≤Y時，χ一直在飽和函數(shù)的線性區(qū)內(nèi)變化。

定義Lyapunov函數(shù)為：

Vp=V1+V2+V3

(22)

對Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)可得：

(23)

圖3 代理滑模控制器基本原理Fig.3 Basic principle of proxy sliding mode controller

2.3 動態(tài)面控制

從以上分析可知下一步應(yīng)通過設(shè)計實際控制信號使x3跟蹤x3d。雖然由式(14)、式(16)及式(21)可知x3d可以通過合理設(shè)置控制器參數(shù)從而取消飽和函數(shù)并轉(zhuǎn)換為連續(xù)可導(dǎo)形式，但為了從理論上避免對x3d求導(dǎo)并減小微分對測量噪聲的放大作用，采用動態(tài)面方法定義虛擬輸入α為x3d的低通濾波器輸出[24]，即：

(24)

其中，τ為濾波器時間常數(shù)。

定義e=x3-α為輸入誤差并基于式(6)可得誤差動態(tài)為：

(25)

根據(jù)式(25)可設(shè)計控制信號為：

(26)

將式(26)代入式(25)可得：

(27)

定義Lyapunov函數(shù)為：

V=Ve+Vp

(28)

基于式(23)～式(28)對Ve求導(dǎo)可得：

(29)

結(jié)合式(23)和式(29)可得V的動態(tài)為：

k1kp(xp-xL)2+η

(30)

(31)

2.4 ZV輸入整形控制

輸入整形控制時將初始指令與特定的脈沖序列進(jìn)行卷積，生成的整形指令作為控制系統(tǒng)運(yùn)動的輸入信號[25]。一種包含兩脈沖的ZV輸入整形器可以表示為：

y=λ1e-t1s+λ2e-t2s

(32)

式中，λ1，λ2—— 脈沖幅值

t1，t2—— 脈沖對應(yīng)的時滯

參數(shù)可具體表示為：

(33)

對于本研究中的負(fù)載驅(qū)動部分而言，固有頻率和阻尼比可表示為：

(34)

將具體參數(shù)帶入上述表達(dá)式即可得到ZV輸入整形器。

3 仿真研究

為驗證本研究所提出方法在液壓伺服系統(tǒng)中的有效性及可行性，下面進(jìn)行對比仿真研究。 選取的液壓伺服系統(tǒng)參數(shù)如表 1 所示?？刂破鲄?shù)設(shè)計為ε=0.001，kp=2500，kd=50，k1=50，k2=1000，k3=1000，τ=0.001。

表1 液壓系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of hydraulic system

首先驗證閉環(huán)控制部分的有效性，考察液壓缸活塞桿位移的跟蹤效果?？紤]參考信號為xd=sin(2πt)，為對比分析算法的效果，本研究將PSMC，SMC和PID控制應(yīng)用于原液壓系統(tǒng)，PSMC和DPSMC的控制參數(shù)相同。SMC結(jié)合反步控制和滑?？刂品椒?，其控制參數(shù)為k1=k2=k3=300。PID控制器參數(shù)采用試錯法確定為kp=20，ki=10，kd=0。從圖4可以看出DPSMC，PSMC，SMC在控制效果上優(yōu)于PID控制，最大跟蹤誤差分別為1.2，2.5，4.0，12.0 mm。此外，由于與PSMC相比，DPSMC由于具有擾動觀測及補(bǔ)償功能(如圖6所示)，因此從圖5的跟蹤誤差曲線中可以看出DPSMC的跟蹤誤差低于PSMC。

圖4 正弦信號下活塞桿位移跟蹤效果Fig.4 Tracking performance of cylinder rod under sinusoidal signal

圖5 正弦信號下活塞桿位移跟蹤誤差對比Fig.5 Comparison of tracking errors under sinusoidal signal

圖6 擾動觀測結(jié)果Fig.6 Observation result of disturbance

圖7為DPSMC和SMC控制輸入信號的對比。從圖中可以看出，所提出的DPSMC整體性能優(yōu)于其他幾種控制方法，可以利用較為連續(xù)的控制信號實現(xiàn)高精度跟蹤。SMC由于具有不連續(xù)的符號函數(shù)，因此如要保證較好的跟蹤精度將會產(chǎn)生較強(qiáng)的抖振。由于PID控制、PSMC的輸出信號均具有連續(xù)性，因此本研究僅對比SMC和DPSMC的控制信號。圖8為幾種方法在不同統(tǒng)計指標(biāo)下的性能分析，其中最大值、最小值、平均值分別為6.4×10-4，1.4×10-3，2×10-3，4.6×10-3；標(biāo)準(zhǔn)差分別為3.3×10-4，6.8×10-4，1.2×10-3，2.6×10-3其公式如式(35)：

(35)

圖7 輸入信號對比Fig.7 Comparison of input signals

圖8 正弦信號控制效果對比Fig.8 Comparison of control performance under sinusoidal signal

為進(jìn)一步驗證所提出算法的有效性，以方波信號為活塞桿位移期望信號進(jìn)行仿真分析。從圖9中可以看出，為了實現(xiàn)較高的跟蹤精度，PID控制采用的相對較高的控制增益將會產(chǎn)生超調(diào)及振蕩等問題。結(jié)合圖10和圖11可以看出， 幾種控制方法在最大誤差及最小誤差方面接近。在平均誤差方面，所提出的DPSMC方法優(yōu)于其他幾種方法，均值分別為0.029，0.033，0.047，0.1。

圖9 方波信號下活塞桿位移跟蹤效果Fig.9 Tracking performance of cylinder rod under square signal

圖10 方波信號下活塞桿位移跟蹤誤差對比Fig.10 Comparison of tracking errors under square signal

圖11 方波信號控制效果對比Fig.11 Comparison of control performance under square signal

從上述仿真結(jié)果可以看出所提出的閉環(huán)控制方法具有較好的跟蹤效果。如果不考慮負(fù)載驅(qū)動環(huán)節(jié)的連接剛度問題進(jìn)行仿真分析(以階躍響應(yīng)為例，即以階躍信號作為xd)，可以得到圖12所示的負(fù)載位移曲線(分別采用不同的連接剛度值)。從圖中可以看出，即使能夠?qū)钊麠U位移進(jìn)行精確控制，但負(fù)載的最終位移曲線仍然具有較為嚴(yán)重的振蕩。與液壓缸行程相比，最大振蕩幅值在不同參數(shù)條件下分別為125%，100%，75%。

圖12 DPSMC條件下負(fù)載位移曲線Fig.12 Load displacement curve under DPSMC

圖13為利用ZV輸入整形方法對階躍信號進(jìn)行修正之后的負(fù)載位移仿真曲線。從圖中可以看出，所提出的ZV-DPSMC可以在抑制負(fù)載振蕩的前提下實現(xiàn)位移的精確控制。另一方面，從圖13可以看出，當(dāng)負(fù)載連接剛度較大時， 由ZV輸入整形而產(chǎn)生的時滯較小且超調(diào)量也較小。

圖13 ZV-DPSMC條件下負(fù)載位移曲線Fig. 13 Load displacement curve under ZV-DPSMC

4 結(jié)論

針對一類負(fù)載連接剛度較低的液壓伺服系統(tǒng)，本研究提出了一種結(jié)合ZV輸入整形器和代理滑?？刂频陌腴]環(huán)控制策略ZV-DPSMC。在閉環(huán)控制部分，針對PID控制存在的超調(diào)問題以及傳統(tǒng)基于符號函數(shù)的滑?？刂扑嬖诘亩墩駟栴}，本研究在考慮外擾對控制性能影響的基礎(chǔ)上提出了一種基于擾動觀測器的代理滑?？刂啤＿@種方法一方面可以保留代理滑?？刂频膬?yōu)點(diǎn)，另一方面提升了其抗干擾能力。鑒于傳統(tǒng)的代理滑模控制通常面向二階系統(tǒng)，本研究進(jìn)一步結(jié)合動態(tài)面控制并將該方法應(yīng)用于三階液壓伺服系統(tǒng)。在以上研究的基礎(chǔ)上獲得了一種連續(xù)、抗干擾、無抖振控制器。通過無源性理論及李雅普諾夫理論給出了完整的穩(wěn)定性證明；在開環(huán)控制部分，本研究利用ZV輸入整形器對期望負(fù)載位移進(jìn)行修正從而實現(xiàn)了負(fù)載無振蕩定位。通過理論及仿真分析驗證了所提出方法的有效性。此外，本研究所提出的方法可以進(jìn)一步研究以應(yīng)用于液壓驅(qū)動柔性臂等需要考慮結(jié)構(gòu)柔性的控制場合。

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