回歸教材起始點 搶占備考制高點

楊海濤 (江蘇省鹽城市建湖高級中學 224700)

將2021年高考數學全國卷Ⅰ試題與中學教科書做針對性的詳細對照可以發(fā)現，試卷中有相當數量的試題可以在高中教科書中找到它們的影子，這些“影子”對于解決這些高考試題有著至關重要的作用：夯實基礎，以不變應萬變．新高考卷用不爭的考題證明：盲目做題、過度刷題，不但增加學生的學習負擔，而且也無益于學生高考成績的提高．這對于引導師生放棄題海戰(zhàn)術，將更多的精力放在研讀教科書和探究典型題型上，具有十分重要的意義．新一屆乃至以后的高三復習備考都必須遵循回歸教材、緊抓典型例題、深入研究的原則．從教材原點走向備考的制高點才是高考復習備考的王道．

評注上面的分式實際上是可以進一步化簡的，但我們認為，該分式能化簡只是一種偶然現象，且不關乎問題處置的本質(因為此時已可直接代入計算而無任何實質性困難了).事實上，教科書中類似問題有不少，比如：

(2)2sin2α+ 3sinαcosα-cos2α.

例2(2021年全國卷Ⅰ第13題) 已知函數f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數，則a=；

例3(2021年全國卷Ⅰ第19題)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.(1)證明:BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．

圖1

命題要害剖析與簡解我們不妨將這種由一個頂點(比如點B)和其對邊上一點(如點D)連結起來的三角形稱為“λ型三角形”.很顯然，我們熟知的三角形中線長問題、內角平分線定理都是這類以λ型三角形為背景的問題．這類題目的破解關鍵就在用好聯系三角形△ABD及△BCD的橋梁——邊BD及互補角∠BDA與∠BDC(這兩個角的正弦相等，從而可以聯系正弦定理，同時這兩個角的余弦互為相反數，又可聯系余弦定理)，于是本題可簡證如下：

評注數學核心素養(yǎng)的“數學抽象”水平要求學生能將已知命題推廣到更一般的情形中[4]．此類問題的一般情形稱為斯臺沃特定理.與此題密切相關的教材問題有：

評注對這道題的第(2)問，這里還是采用了大多數考生常用的直角坐標系求解的思路，未采用直線的參數方程辦法，化簡工作量不小，上面已經充分注意到幾何結構關系的對稱(注意：這種對稱不是我們傳統(tǒng)意義上的鏡面對稱)特征，簡化了書寫過程，依然較繁.類似問題如下：

問題1(人教2019A版選擇性必修第一冊[1]第120頁例2)已知A，B兩地相距800 m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，且聲速為340 m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程.

綜上所述，我們能夠體會到命題人的初心就是希望師生回歸課本．事實上，像這樣關涉到教材典型例題的高考真題，除了上面提到的，還有很多．如第10題引入教材中的兩角和與差的三角函數的典型情境、第16題的第二空其實就是錯位相減法的應用，這些知識在教材中都有明顯的展示.限于篇幅，感興趣的讀者可自行對照研究．