把握元思維 拓展新思維
——從“K型圖”談起

趙瑩瑩 (江蘇省蘇州市南環(huán)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 215007)

數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維[1]．這是數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容，也是培養(yǎng)學(xué)生形成理性思維的重要組成部分之一．要教好數(shù)學(xué)就必須要注意數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．?dāng)?shù)學(xué)是一門抽象性很強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)思維的形成不同于其他思維能力(如形象思維)，不能一蹴而就，必須與直覺(jué)思維、邏輯思維、數(shù)學(xué)建模、聯(lián)想遷移、類比反饋、創(chuàng)新意識(shí)，甚至是信念情感態(tài)度等非智力因素結(jié)合在一起，才能得到良好的效果．

數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系[2]．筆者認(rèn)為，不僅僅數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也需如此，只有在把握好學(xué)生的元思維的前提下，才能通過(guò)目標(biāo)意識(shí)，逐步接近真正的解題思路，拓展新思維，從而解決更難的問(wèn)題．

“K型圖”是初中階段的常見(jiàn)模型之一，它在研究三角形的全等、三角形的相似、直角三角形中的三角函數(shù)和平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)圖象等場(chǎng)合起著重要的作用.可以說(shuō)，“K型圖”是一首洋溢在整個(gè)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的圓舞曲，從初一到初三都有它的舞臺(tái)．而學(xué)生對(duì)“K型圖”的理解往往停留在表面，沒(méi)有從根本上認(rèn)識(shí)“K型圖”，導(dǎo)致后期面對(duì)需要從深層次理解應(yīng)用的難題時(shí)沒(méi)有思路，無(wú)法解決．

1 關(guān)注“K型圖”的元認(rèn)知，把握元思維

1976年,弗拉維爾將元認(rèn)知表述為“個(gè)人關(guān)于自己的認(rèn)知過(guò)程及結(jié)果或其他相關(guān)事情的知識(shí)”,以及“為完成某一具體目標(biāo)或任務(wù),依據(jù)認(rèn)知對(duì)象對(duì)認(rèn)知過(guò)程進(jìn)行主動(dòng)的監(jiān)測(cè)以及連續(xù)的調(diào)節(jié)和協(xié)調(diào)”[3]．整個(gè)初中階段，第一次遇到“K型圖”模型是在全等三角形中：

如圖1，點(diǎn)D，A，B在一條直線上，∠D=∠B=90°，EA⊥AC，EA=AC．求證：AD=BC．

圖1

這個(gè)問(wèn)題經(jīng)過(guò)分析，學(xué)生很快就看出圖中△EDA和△ABC是兩個(gè)全等的三角形，只要證明出它們是全等的，那么“AD=BC”就能順利地證明出來(lái)了．

第一次遇到“K型圖”的數(shù)學(xué)模型，解決起來(lái)并不困難，但是從元認(rèn)知的角度要將這個(gè)問(wèn)題分析清楚才是關(guān)鍵．根據(jù)元認(rèn)知理論，學(xué)生需要把握自己的認(rèn)知的整個(gè)過(guò)程，而不完全是解決問(wèn)題的結(jié)果．學(xué)生需要有意識(shí)地主動(dòng)監(jiān)測(cè)自己的思維過(guò)程，把握自己的思維的本質(zhì)從何而來(lái)——“不全是利用全等，而是利用圖中有的一線三垂直找兩個(gè)角相等”的思維，用以明確解決這個(gè)問(wèn)題的元認(rèn)知，從而明白這個(gè)問(wèn)題解決的本質(zhì)．把握好學(xué)生的元思維才有助于解決好由這個(gè)問(wèn)題延續(xù)的系列問(wèn)題．

在引導(dǎo)學(xué)生分析后發(fā)現(xiàn)，從元認(rèn)知出發(fā)，這其實(shí)是由于具有“一線三垂直”這個(gè)特征而形成的特殊圖形，從而也引出了“K型圖”模型的名稱．同樣，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，認(rèn)清在解決“K型圖”模型時(shí)的元思維過(guò)程，把握好元思維，理清了元認(rèn)知，就能解決以下較難的問(wèn)題：

探究：如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè)，過(guò)點(diǎn)A,B分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D,E．求證：DE=AD+BE．

圖2 圖3

應(yīng)用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且點(diǎn)A,B在直線l的異側(cè)，過(guò)點(diǎn)A,B分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D,E．直接寫出線段AD,BE,DE之間的相等關(guān)系．

本題的探究部分，映入眼簾的就是“一線三垂直”.于是很容易想到利用AAS定理證明△ADC≌△CEB，也就是把握住自己的元思維——“一線三垂直可以找到兩個(gè)角相等，再找一條邊就能用AAS定理證明全等”，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊等量代換后得到“DE=AD+BE”．本題的應(yīng)用部分是將直線l進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后形成的圖形，但是“一線三垂直”這一元認(rèn)知依舊存在，所以可以大膽地猜測(cè)△ADC和△CEB依舊全等.經(jīng)過(guò)元思維模式的思考，依舊可以利用AAS定理證明△ADC與△CEB全等，但是由于旋轉(zhuǎn)后的位置不同，最后的結(jié)論為“AD=BE-DE”．

在初中許多知識(shí)點(diǎn)(圖形模型)的學(xué)習(xí)過(guò)程也是類似“K型圖”這一模型的學(xué)習(xí)過(guò)程的.所以，在學(xué)習(xí)新的知識(shí)點(diǎn)或者解決新的問(wèn)題的時(shí)候，需引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自己對(duì)于新知識(shí)新問(wèn)題的元認(rèn)知，對(duì)元認(rèn)知進(jìn)行監(jiān)控，促使學(xué)生把握好“K型圖”的初始元思維．

2 關(guān)注“K型圖”思維生長(zhǎng)點(diǎn)，形成思維定勢(shì)

由于初二數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容和初一相比更深更難，學(xué)生會(huì)不由自主地被數(shù)學(xué)焦慮所圍繞，無(wú)法順利解決數(shù)學(xué)難題．特別在學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱的相關(guān)知識(shí)后，“K型圖”這一類型的問(wèn)題的難度會(huì)有所提升．在了解了初一學(xué)段K型圖問(wèn)題解決的元認(rèn)知后，在初二學(xué)段遇到K型圖問(wèn)題的時(shí)候，有意識(shí)地利用元認(rèn)知來(lái)關(guān)注“K型圖”的生長(zhǎng)點(diǎn)，就可以給學(xué)生提供學(xué)習(xí)的方向，幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)焦慮，從而順利解題[4]．如下題：

如圖4，等腰Rt△ABC中，∠C是直角，直線a，b，c分別通過(guò)A，B，C三點(diǎn)，且a∥b∥c．若a與b之間的距離是3，b與c之間的距離是2，則AB的長(zhǎng)是多少？

圖4 圖5

在關(guān)注了學(xué)生元認(rèn)知監(jiān)控和思維的生長(zhǎng)點(diǎn)后，解決問(wèn)題時(shí)，“通過(guò)回顧完整的答案，重新斟酌、審查結(jié)果及導(dǎo)致結(jié)果的途徑，他們能夠鞏固知識(shí),并培養(yǎng)他們的解題能力”[5]，才能克服“K型圖”帶來(lái)的數(shù)學(xué)焦慮．在這里，回歸到“K型圖”的“一線三垂直”，就能解決這一問(wèn)題．

又如：如圖6，一次函數(shù)y=2x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,3)，且與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)．

圖6 圖7

(1)填空：b=；

(2)將該直線繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至直線l，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB交直線l于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達(dá)式．(2021年蘇州市八年級(jí)陽(yáng)光測(cè)評(píng)卷)

在這個(gè)問(wèn)題中，凸顯了“K型圖”的“一線三垂直”的重要特征——“直角∠ABC”，并且由旋轉(zhuǎn)45°后得到的等腰直角△ABC可知，這也是一個(gè)可以通過(guò)構(gòu)造“K型圖”解決問(wèn)題的題目．如 圖7，先由直線解析式求出點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)，再由構(gòu)造的“K型圖”全等求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而求出旋轉(zhuǎn)后的l的解析式．

數(shù)學(xué)的思維是不斷發(fā)展的，形成自己的數(shù)學(xué)思維是一個(gè)長(zhǎng)期的變化過(guò)程．所以，在形成“K型圖”模型的元思維后，關(guān)注思維的生長(zhǎng)點(diǎn)，就能形成自己的思維定勢(shì)，也就是遇到相關(guān)特征的問(wèn)題就能夠想到構(gòu)造“K型圖”解決相關(guān)問(wèn)題．

3 提煉“K型圖”的核心屬性，拓展新思維

進(jìn)入初三學(xué)段學(xué)習(xí)了相似三角形后，“K型圖”又產(chǎn)生了新的演變．如下題：

(1)問(wèn)題：如圖8，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，∠DPC=∠A=∠B=90°，求證：AD·BC=AP·BP．

圖8 圖9

(2)探究：如圖9，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由．

第(1)題只要用“一線三垂直”的模型，兩角對(duì)應(yīng)相等就能證明△ADP∽△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．到了第(2)題，類比一線三垂直的模型并分析其原理，由于∠A=∠B，只要證明∠ADP=∠BPC就也能證明△ADP∽△BPC，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．

從全等到相似，是感性思維到理性思維的飛躍，學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)不能局限于“圖形”，而是要關(guān)注其本質(zhì)，用理性來(lái)思考才能解決相關(guān)問(wèn)題．只有關(guān)注“K型圖”的本質(zhì)，從“一線三垂直”拓展到“一線三等角”后，才能順利地解決問(wèn)題．

又如：如圖10，已知a∥b∥c，a與b之間的距離為3，b與c之間的距離為6，且a,b,c分別經(jīng)過(guò)等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，則此三角形的邊長(zhǎng)為多少？

圖10 圖11

這是一道根本看不出可以用“K型圖”模型解決問(wèn)題的題目，需要在提煉核心屬性后，進(jìn)行數(shù)學(xué)聯(lián)想才能解決問(wèn)題．本題沒(méi)有明顯的提示，但是根據(jù)“K型圖”的思維定勢(shì)，需要一個(gè)角為直角，如圖11，只要作等邊三角形ABC的邊上的高就能找到直角，然后就能化歸到“K型圖”的相關(guān)問(wèn)題．

再如：如圖12，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,3)，B(1,0)，其對(duì)稱軸為直線l:x=2，過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m．

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖12，動(dòng)點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，連結(jié)PO，PC，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形OPCE面積最大？并求出其最大值.

圖12 圖13

這是一道考查二次函數(shù)綜合運(yùn)用的中考模擬卷壓軸題(選自2020年蘇州中考模擬卷)，最后一小題中涉及由三角函數(shù)求點(diǎn)的坐標(biāo).三角函數(shù)在初中學(xué)段的考查點(diǎn)往往結(jié)合直角三角形應(yīng)用，而直角是“K型圖”的核心屬性之一，于是就可以構(gòu)造“K型圖”來(lái)解決問(wèn)題．

培根說(shuō)：“數(shù)學(xué)是思維的體操．”“K型圖”只是初中數(shù)學(xué)學(xué)段中一個(gè)典型的模型，本文以“K型圖”為例，論述了在整體教學(xué)體系中學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的思維過(guò)程．學(xué)生從初一在學(xué)習(xí)“全等三角形”中初遇“K型圖”開始，關(guān)注“K型圖”的元認(rèn)知，并關(guān)注“K型圖”思維的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，形成自己的“K型圖”元思維．一旦形成了自己的元思維，在初二再遇“K型圖”的時(shí)候，就能克服由于種種原因形成的數(shù)學(xué)焦慮，感受到“K型圖”從全等到相似這一感性思維到理性思維的飛躍，形成“K型圖”的思維定勢(shì)．最終，將“K型圖”的思維定勢(shì)運(yùn)用到綜合題目中，從無(wú)到有，通過(guò)添加輔助線構(gòu)造“K型圖”解題，把握“K型圖”的核心屬性，拓展新思維．以“K型圖”為例拋磚引玉，整體構(gòu)建知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維意識(shí)，打開學(xué)生數(shù)學(xué)思維的大門，克服數(shù)學(xué)焦慮，活化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．