深度教學：初中數(shù)學概念課的教學改進
——以七上“6.2角”第一課時的教學為例*

武麗虹 (江蘇省蘇州市蘇州灣實驗初級中學 215200)

數(shù)學概念是人類對現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的概括反映，是建立數(shù)學法則、公式、定理的基礎，也是運算、推理、判斷和證明的基石，更是數(shù)學思維、交流的工具[1]．數(shù)學概念教學是數(shù)學基礎知識和基本技能教學的核心，是數(shù)學教學之根本．現(xiàn)結合教學實踐案例來探討初中數(shù)學概念課的教學改進．

1 數(shù)學概念教學的迷失

數(shù)學是用概念思維的．數(shù)學概念學習是一個集知識技能、思想方法、思維能力以及活動經(jīng)驗為一體的整體化學習．但概念教學的實際情況尚不盡人意，在實際教學中還存在種種迷失:

(1)簡單隨意，缺乏理解．用記憶替代思考的教學不能觸及概念的內(nèi)核，不能引發(fā)學生觀察、理解和思考，導致學生思維固化.

(2)形式單一，缺乏體驗．學生對概念的具體形象和特征缺乏主動思考,不能在意識中引發(fā)概念形象和聯(lián)想的知識，缺乏認知感悟和思維體驗的過程.

(3)淺層應用，缺乏思考．學生缺乏對數(shù)學概念重要性和必要性的認識,應用注重表層，未能凸顯深度學習，導致思維“碎片化”和“表層化”，常常表現(xiàn)出“一看就會，一做就錯”．

2 基于深度教學理念的初中數(shù)學概念課的教學改進

深度教學是以學生發(fā)展為中心，基于實現(xiàn)學生深度學習而提出的一種新的教學理念．為了避免數(shù)學概念教學中的種種迷失，現(xiàn)對概念教學踐行深度教學，我們將基于深度理解而進行“重新構建”、基于深度體驗而“意義賦予”、基于深度反思而“深度學習”．其教學改進流程如圖1.

圖1

下面以蘇科版教材七年級上冊“6.2角”(第一課時)為例探索基于深度教學理念的初中數(shù)學概念課的教學改進．

2.1 樂思尋疑，感知概念——提升數(shù)學概念課堂教學的溫度

深度教學是通過真實有意義的問題情境去啟迪學生思維、激發(fā)學生情感、引發(fā)認知沖突，讓學生自主尋疑的教學．因此，教師應從學生的已有經(jīng)驗出發(fā)，創(chuàng)設合適的問題情境激發(fā)學生的學習興趣，幫助學生進入積極思考的狀態(tài)從而去發(fā)現(xiàn)問題，使學生能主動體驗、直觀感知概念的產(chǎn)生過程，并思考感悟新的數(shù)學概念和自我之間的意義和關聯(lián)．

問題1 同學們已經(jīng)學習了“直線、射線、線段”，有沒有思考過在同一平面內(nèi)兩條線能組成怎樣的圖形呢？用你手邊的學具來做做看．

問題2 在你們所擺放的圖形里面有認識的最基本的圖形嗎？請你指出來并響亮地說出它的名字．

問題3 請你畫一個這樣的圖形．生活中這樣的圖形隨處可見，能說說嗎？

教學說明認知始于操作和觀察，數(shù)學概念教學的最佳方式是借助概念的直觀背景，讓學生在教師創(chuàng)造的情境中做一個“發(fā)現(xiàn)者”．深度教學需要教師營造一個符合知識本身需要的適切的真實情境，引導學生沉浸于學習情境和以知識為指向的事物的環(huán)境，讓學生在不經(jīng)意的現(xiàn)場情境中獲得自然而豐富的直觀體驗．學生在“動手”操作過程中積極“動腦”并能舉出生活中的一些圖例，直觀感受到“角”的引進主要反映了這樣一個需要，即是如何反映直線(線段)與直線(線段)之間的位置關系[2]，從而能初步感受引入“角”概念的必要性以及接著研究與其相關概念的合理性，這是本節(jié)知識的邏輯起點．

2.2 樂探解疑，明晰概念——拓展數(shù)學概念課堂教學的廣度

數(shù)學思維的特點是用概念來思維，而深度教學就是基于學生的知識內(nèi)在結構和整體性關聯(lián)，讓學生進行深度探究和思維的教學．所以，數(shù)學概念教學要根植深度教學去引導學生主動探究、深度思考，幫學生把凝結在數(shù)學概念中的思維結打開，于存疑處解疑、無疑處生疑，從而深刻理解概念的內(nèi)涵和外延．同時數(shù)學概念教學要能夠以單元為抓手、以個體經(jīng)驗為背景、以問題為主線、以知識為載體，引入基于概念與生活聯(lián)系、概念與概念聯(lián)系、概念間結構聯(lián)系以及概念學習的經(jīng)驗與方法聯(lián)系的關聯(lián)性學習．讓學生在概念的明晰中實現(xiàn)數(shù)學概念體系和數(shù)學思維的同步發(fā)展，學生的思維站在數(shù)學概念體系中央，使得“數(shù)學概念”的學習真正發(fā)生．

問題4 同學們在小學時已經(jīng)初步認識了角，進入初中階段后我們將從知識系統(tǒng)的角度來有序地進一步深入認識角．通過前面學習“直線、射線、線段”的經(jīng)驗，同學們都知道，要認識一種新的圖形，首先要給它——下定義(學生齊答).

問題5 對照不停工作的時鐘，我們可以試著從另外的角度來認識角嗎？

師生活動 學生互相討論，互相補充后提煉得到角的動態(tài)定義(略)，明確角的始邊和終邊，并指出在兩種特殊位置下形成平角和周角．

教學說明給學生設置“真活動”、提出“真問題”,讓學生經(jīng)歷討論歸納—自主命名—描述定義的過程，一系列活動充分展示了數(shù)學知識自然創(chuàng)生及發(fā)展的過程．教師通過引導學生在直觀可視的操作基礎上不斷豐富和完善角的特征和屬性，使學生深度體驗到“角”定義的形成過程，學生思維呈現(xiàn)可見的生長狀態(tài)．由此用數(shù)學特有的方式來激發(fā)學生的體驗、理解和反思，使得深度學習發(fā)生于真實的自主探究之中，為今后研究對象的進一步擴展打下伏筆．

問題6 根據(jù)已有的經(jīng)驗，你覺得我們在得到了“角”的定義后接著需要研究角的哪些方面？

學生活動 學生相互補充說明,分別是角的符號表示、角的大小、角的比較，以及角的和、差、倍、分的作圖與計算．

問題7 我們就依次解決同學們所提出的幾個方面的問題．閱讀課本152頁第4段內(nèi)容，完成以下表格，自己畫出一個角并試著表示．

角表示的方法注意事項方法一方法二方法三方法四

問題8 你會表示圖2中的角嗎？你有幾種表示方法？在∠ABC內(nèi)部作一條或兩條射線(如圖3和圖4)，你能表示其中所有的角嗎？

圖2 圖3 圖4

問題9 對于圖3中的∠1和∠2以及∠ABC，你能用哪些方法比較它們的大小？你能說出它們之間的數(shù)量關系嗎?你能說出圖4中那些角之間的數(shù)量關系嗎？

問題10 如何表示角的大??？角的度量單位是度，你們認為僅一種度量單位能滿足我們的需要嗎？

師生活動 學生已經(jīng)認識到需要采用比“度”更精確的計量單位來更準確地刻畫角的大?。诖嘶A上，教師介紹角的單位度、分、秒及它們之間的數(shù)量關系．

教學說明學生對“直線、射線、線段”的學習已有初步的經(jīng)驗，作為同單元“角”概念的學習，應以單元為站位，從數(shù)學知識內(nèi)部出發(fā)，來建構數(shù)學知識體系上具有系統(tǒng)一致性的結構化教學，并讓學生初步感知單元統(tǒng)攝下的數(shù)學結構和知識間的縱橫聯(lián)系．教師施以連環(huán)追問讓學生深度探究和思考，從而在聯(lián)系和比較中感受知識的結構性，在閱讀和思考中感知符號意義的合理性，在表達中感悟數(shù)學知識的邏輯性，學生自覺體會建立在概念系統(tǒng)性上的一致性、邏輯性和嚴謹性,讓知識學習往高階思維的縱深方向發(fā)展．

2.3 樂辨質(zhì)疑，深刻概念——豐實數(shù)學概念課堂教學的效度

對于數(shù)學概念教學，教師要能夠創(chuàng)造時機，深度設計具有思辨性、開放性的問題，引導學生分析問題，將所學的概念體系充分內(nèi)化與整合，主動思辨應用到新的情境中并能夠解決問題，呈現(xiàn)可見的創(chuàng)造性思維和批判性思維．在此過程中，教師要充分尊重遷移發(fā)生的規(guī)律，通過變更研究概念對象的角度和方法，在問題的變式和延展中不斷改造、不斷完善學生的元認知策略，促進學生學習的正向遷移，促使他們由知識和技能的掌握過渡到能力和素養(yǎng)的養(yǎng)成，形成數(shù)學概念深層的理解力和高效的學習力,獲得創(chuàng)造概念學習的意義感.如此，教師“深教”便成就了學生“智學”．

問題11 在圖4中，若∠1=23°48′，∠2=35.24°，則

①∠1=°；∠2=°′″.

②你還能提出什么問題呢？

問題12 (1)你能仿照問題11來給圖4設計問題并解決嗎？

(2)你還能提出其他不同類型的問題嗎？

教學說明整體開放性問題的設置引導學生依托所學知識從不同的角度思考問題，試著變題、編題、鑒題以及在問題中留白，引發(fā)學生進行全方位、多角度、深層次的思考，不斷提升學生“數(shù)學思考”的水平，使不同層次的學生都得到了不同的發(fā)展[3]，讓他們從模仿到主動去設計和創(chuàng)造并遷移應用，用不同的策略完善了對概念體系的深刻理解、思辨和創(chuàng)新，實現(xiàn)了數(shù)學學習的豐富性和多樣性，提升了批判性思維和思考型學力．

2.4 樂活再構，精致概念——根植數(shù)學概念課堂教學的深度

深度教學是立足于知識建構、促進內(nèi)化與反思的教學．因此，教師要充分挖掘概念所蘊含的價值資源，超越概念表層的符號知識，以數(shù)學的教育形態(tài)將知識教學與價值觀融為一體，引領學生感悟概念體系所承載的思想方法和文化內(nèi)核，形成自己對數(shù)學內(nèi)容獨特的邏輯理解，并實現(xiàn)對知識的重構．在數(shù)學概念的意義關懷與價值情懷中感受數(shù)學文化和思想的熏陶，不斷提升數(shù)學思考的速度和深度，并不斷積累經(jīng)驗、發(fā)展高階思維，使課堂教學呈現(xiàn)持續(xù)積極深度發(fā)展的樣式，實現(xiàn)知識意義增值和情感智慧共生．

問題13 今天我們類比“直線、射線、線段”的學習經(jīng)驗，再探同學們熟悉的“角”圖形，你經(jīng)歷了怎樣的學習過程，有怎樣的體驗和感受？

問題14 你能和同伴分享自己對角概念的學習路徑的理解嗎？

教學說明我們希翼評價從“甄別”和“選拔”走向“促進”“發(fā)展”和“重構”,使學習評價成為助推學生素養(yǎng)發(fā)展的特有方式和手段．本節(jié)課教師引導學生從已有的認知結構走進課堂，經(jīng)歷了豐富而有意義的探索之后又重建結構并回到結構中去(如圖5)，這一“淺出深入”、充滿智慧的思維之旅讓學生深刻地感悟知識的聯(lián)系性、邏輯性和建構性，使得數(shù)學概念的知識網(wǎng)絡越趨完整、系統(tǒng)和精致，提升了數(shù)學學科關鍵能力并促進指向智慧型知識建構能力的發(fā)展．

圖5

3 結語

深度教學是教學發(fā)展性的呼喚,深度教學理念傾注了對學生發(fā)展豐富性的要求，凝聚了對學生生命成長的關注，滲透著對課堂教學發(fā)展性品質(zhì)的追求[4]．數(shù)學概念本身內(nèi)在的發(fā)展價值及其整體化意義需要理解至“充分深度”的深度教學，我們廣大數(shù)學教師要把深度教學落實在概念豐富多彩的學習實踐中，使學生深刻理解數(shù)學概念的多維教育價值．讓我們積極做深度教學的實踐者，不斷踐行有生命、有力量、有意義的數(shù)學教學，助推學生在數(shù)學精神的浸潤中、在數(shù)學關鍵能力的養(yǎng)成過程中實現(xiàn)數(shù)學教育價值的創(chuàng)生．