注重方法滲透 落實(shí)素養(yǎng)提升
——以《二次函數(shù)》章起始課為例*

魏玉華 (江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué) 215011)

章起始課是章節(jié)的第一課,作為一章之首，需要執(zhí)教者在系統(tǒng)思維和整體觀念的引領(lǐng)下，對整章內(nèi)容做一個提綱挈領(lǐng)的設(shè)計(jì)，使學(xué)生對后續(xù)一章的學(xué)習(xí)有一個全局認(rèn)識．2021年5月，筆者有幸參加了蘇州市數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評比活動，比賽課題為蘇科版數(shù)學(xué)九年級下冊《5．1二次函數(shù)》章起始課．筆者經(jīng)歷了認(rèn)真研讀教材、精心設(shè)計(jì)教學(xué)、專家聽課修改、正式參加比賽、賽后及時反思等過程，對章起始課，尤其是《二次函數(shù)》章起始課，有了更清晰、深入的認(rèn)識和理解．

1 章起始課的研究現(xiàn)狀

在實(shí)際教學(xué)中，章起始課的實(shí)際開展情況和研究現(xiàn)狀并不樂觀．2017年江蘇省數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評比中有過《分式》的章起始課，在平時的示范課、隨堂課中則很少涉及章起始課．筆者在各類視頻網(wǎng)站搜索《二次函數(shù)》視頻課，很少涉及包含章頭圖內(nèi)容的章起始課視頻．在中國知網(wǎng)、萬方數(shù)據(jù)庫等網(wǎng)站上搜索“章起始課”“章頭圖”“章引言”等關(guān)鍵詞，僅找到30余篇與章起始課相關(guān)的文章，其中有9篇為高中數(shù)學(xué)章起始課的研究，11篇與初中數(shù)學(xué)章起始課相關(guān)，涉及到的課題較少，主要為一元二次方程、分式、反比例函數(shù)、平面直角坐標(biāo)系等．其余研究重在章起始課的教學(xué)功能、教育屬性、心理學(xué)意義等．

2 章起始課的研究價值

章起始課與傳統(tǒng)第一課的區(qū)別在于對章頭圖和章引言的運(yùn)用以及對一章的引領(lǐng)和示范．章頭圖和引言有以下教學(xué)功能[1]：了解學(xué)習(xí)背景，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣；優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，布局知識網(wǎng)絡(luò)；理解學(xué)習(xí)方法，養(yǎng)成學(xué)習(xí)思路與學(xué)習(xí)能力；應(yīng)用知識解答實(shí)際問題，學(xué)有所用；對學(xué)生進(jìn)行德育教育，提升個人修養(yǎng)和民族榮譽(yù)感；認(rèn)識世界和發(fā)展之窗，與世界接軌．可見章起始課對學(xué)生的知識理解、情感態(tài)度、能力培養(yǎng)、思維提升等方面都有重要作用．而教師在研讀教材章頭圖和章引言的過程中，對教材編者的意圖產(chǎn)生全面的理解和認(rèn)識，這種蘊(yùn)含在章頭圖和章引言中的編者意圖無形中指引著教學(xué)設(shè)計(jì)的方向和思路．

3 章起始課的課例分析

《5．1二次函數(shù)》是在學(xué)生已經(jīng)有了函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)相關(guān)知識和研究經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上展開的．通過類比展開對二次函數(shù)相關(guān)知識的研究能加深學(xué)生對函數(shù)研究方法的認(rèn)識，為后續(xù)研究二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)和應(yīng)用奠定基礎(chǔ)，也為后續(xù)研究其他函數(shù)提供范式．

3.1 情境創(chuàng)設(shè)，導(dǎo)入新知

展示從蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)到常熟外國語初級中學(xué)的百度地圖搜索結(jié)果，提出問題：

問題1從蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)前往常熟市外國語初級中學(xué)，在西環(huán)路某一段上，汽車以80 km/h 的速度勻速行駛．隨著時間t(h)的變化，汽車行駛的路程s(km)怎樣變化？

問題2在蘇虞張公路的某一段上，汽車以速度v(km/h)行駛了3 km．隨著速度v(km/h)的變化，汽車在該段所用時間t(h)怎樣變化？

問題3途中有一段下坡路，汽車在下坡時速度為v(km/h)，在坡面上行駛的路程為s(km)，隨著時間t(h)的變化，汽車的速度v(km/h)怎樣變化？

追問1 汽車在下坡時行駛的路程s(km)隨著時間t(h)的變化會怎樣變化？

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 播放小車沿斜面下滑的視頻．

追問2 觀察表格，汽車在下坡時行駛的路程s(km)與時間t(h)的關(guān)系是之前學(xué)習(xí)的一次函數(shù)或者反比例函數(shù)嗎？畫出圖象，觀察有什么特征．

時間t/s0.10.20.30.40.5…路程s/cm0.20.81.83.25.0…

追問3 回憶以往研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，如何研究一個函數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖通過問題1和2回憶函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的概念，為后續(xù)類比學(xué)習(xí)二次函數(shù)的概念做鋪墊．在第3個下坡情境中，通過問題串的設(shè)計(jì)以及觀看數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的視頻，讓學(xué)生直觀感受下坡時速度越來越快，通過數(shù)據(jù)的展示、學(xué)生動手畫圖的過程，體會這是一個函數(shù)，但不是熟悉的函數(shù)．

3.2 類比學(xué)習(xí)，建構(gòu)新知

展示校園一角的圖片(圖2)：

圖2

1．水滴激起的波紋不斷向外擴(kuò)展，圓的面積S與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系為．

2．學(xué)校想再建一個周長為20 m的矩形水池，水池的面積S(m2)與一邊長x(m)之間的函數(shù)關(guān)系為．

3．如圖3，外側(cè)大矩形ABCD長10 m，寬 3 m，水池的邊緣是等寬的，寬度均為xm，則內(nèi)部小矩形EFGH的面積y(m2)與x之間的函數(shù)關(guān)系為．

圖3

問題S=πr2，S=-x2+10x，y=4x2-26x+30三個表達(dá)式有什么共同特征？

小組討論：類比一次函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，思考二次函數(shù)的一般式及自變量取值范圍．

追問1 上述所得的三個函數(shù)關(guān)系式中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是什么？

追問2 上述所得的三個函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍分別是什么？

設(shè)計(jì)意圖將剛開始的行程情境進(jìn)一步延伸至學(xué)生熟悉的校園：矩形水池．通過三個問題串的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生感受兩個變量之間的關(guān)系，并觀察歸納共同特征，引出二次函數(shù)．

3.3 數(shù)學(xué)運(yùn)用，鞏固新知

小組活動每人寫出一個二次函數(shù)，并請你的同伴說出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．

例題如圖4，在長300 m、寬90 m的矩形廣場ABCD內(nèi)修建等寬的十字形道路，設(shè)道路寬為x(m)，綠地面積為y(m2)．寫出兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式及自變量的取值范圍．

圖4

設(shè)計(jì)意圖該環(huán)節(jié)具有一定的開放性和趣味性，通過設(shè)置有針對性的活動，在應(yīng)用中進(jìn)一步強(qiáng)化概念的認(rèn)識，教師適時舉出正例與反例，讓學(xué)生辨析，進(jìn)一步明確概念的內(nèi)涵和外延．

3.4 拓展提升，深化新知

如圖5，用長50 m的護(hù)欄圍成一塊一側(cè)靠墻的矩形花園，墻的長度是20 m．請利用本節(jié)課所學(xué)，提出一個問題并解決．

圖5

設(shè)計(jì)意圖此環(huán)節(jié)延續(xù)矩形背景，條件和問題都具有一定的開放性．培養(yǎng)學(xué)生分析問題、提出問題、解決問題的能力．

4 章起始課教學(xué)策略的思考

4.1 創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，順暢教學(xué)流程

對于章頭圖的作用，不難定位．如何呈現(xiàn)使其發(fā)揮作用，則是備課時遇到的難點(diǎn)．在章頭圖中有一個小球沿斜面下滑的實(shí)驗(yàn)，具體設(shè)計(jì)時遇到了兩個問題：首先，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對精確度要求很高，普通的工具在測量時間和距離時有誤差；其次，在引入時直接呈現(xiàn)實(shí)驗(yàn)有些突兀，且與后續(xù)內(nèi)容的銜接不夠順暢自然．

對于第一個問題，筆者想到了物理實(shí)驗(yàn)中的打點(diǎn)計(jì)時器，它每隔0．02秒打一次點(diǎn)，小車拖動紙帶沿斜面下滑，經(jīng)過打點(diǎn)計(jì)時器，會在紙帶上打下一系列點(diǎn)，這些點(diǎn)既記錄了行駛的時間，又記錄

了對應(yīng)的距離．對于第二個問題，以筆者駕車從自己學(xué)校到參賽學(xué)校這一真實(shí)情境開場，設(shè)置三個小場景，并將第三個小場景依次抽象成實(shí)驗(yàn)場景、數(shù)學(xué)場景．在這一系列思考與轉(zhuǎn)化的過程中，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是科學(xué)研究的重要方法．

4.2 精心設(shè)計(jì)問題，引發(fā)深度思考

本節(jié)課情境貫穿始終，通過層層遞進(jìn)的問題串的設(shè)計(jì)，利用同一背景問題的不斷變式與追問將本節(jié)內(nèi)容順暢、自然地銜接起來．問題從簡單到復(fù)雜，思維由低階向高階．情境引入環(huán)節(jié)是學(xué)生熟悉的行程問題，在三個問題的解決中完成知識回顧與新課引出．接著將行程問題延伸至校園一角，選取邊緣等寬的矩形水池，通過對水滴落入池中圓的面積與半徑之間的函數(shù)關(guān)系，周長固定的矩形的面積與一邊長的函數(shù)關(guān)系，雙矩形問題里中間小矩形面積與邊緣寬之間的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行探究，得到三個具體的二次函數(shù)表達(dá)式，通過觀察、歸納等活動得出二次函數(shù)的概念及相關(guān)概念．在例題鞏固環(huán)節(jié)，繼續(xù)以矩形為背景，進(jìn)行變式．在拓展延伸環(huán)節(jié)，依然是依托矩形背景，選取一邊靠墻的矩形花園，讓學(xué)生設(shè)置條件，提出問題，并嘗試解決．

尤其在拓展延伸環(huán)節(jié)，學(xué)生的思維是開放的、發(fā)散的，同一問題的解決方式也是多樣的．如很多學(xué)生提出矩形面積如何表示的問題．此處有兩種設(shè)未知數(shù)的方法，可以設(shè)AB,也可以設(shè)BC．兩種方式對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式不同，自變量的取值范圍也不一樣，但本質(zhì)卻是相同的，都表示了這個矩形的面積．還有的學(xué)生會進(jìn)一步提出面積何時最大的問題，或者面積何時為某個定值，或者面積何時是某個具體范圍，那么此時二次函數(shù)問題又轉(zhuǎn)化為方程和不等式的問題．自然地將接下來要研究的問題提了出來，完善本章的知識結(jié)構(gòu)圖．

4.3 注重方法滲透，落實(shí)素養(yǎng)提升

章起始課具有統(tǒng)領(lǐng)全章的重要作用，對于二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生是有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的．因此，本節(jié)課筆者采用探究式學(xué)習(xí)，啟發(fā)式教學(xué)，突出學(xué)生的“探”和教師的“導(dǎo)”．通過熟悉的情境、層層遞進(jìn)的問題設(shè)計(jì)激發(fā)學(xué)生求知欲，借助多媒體、實(shí)驗(yàn)演示、小組活動，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下參與探究活動，并讓學(xué)生充分經(jīng)歷類比過程，切身體驗(yàn)和感悟，又從理性的角度進(jìn)行分析．在回顧反思環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)了什么？為什么學(xué)？怎么學(xué)？三個層面進(jìn)行概括和歸納，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)(圖6)，提高學(xué)生推理、歸納、表達(dá)的能力，真正落實(shí)核心素養(yǎng)的提升．

圖6

以情境之土，育問題之花，結(jié)素養(yǎng)之果.在實(shí)際教學(xué)中，教師要善于挖掘身邊的真實(shí)情境，精心設(shè)計(jì)觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)的優(yōu)質(zhì)問題，眼中既有樹木，更有森林，在課堂教學(xué)中落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升和關(guān)鍵能力的發(fā)展.