利用4n階和幻方構(gòu)造8n階和幻方

張 婧，劉興祥，劉娟娟

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

矩陣是許多學(xué)科的基礎(chǔ)工具，而幻方這類特殊的矩陣近年來研究的人層出不窮[1-10]?；梅绞状问窃谑兰o(jì)南宋數(shù)學(xué)家楊輝開始系統(tǒng)研究，歐洲十四世紀(jì)也開始了這方面的研究，著名數(shù)學(xué)家費爾瑪、歐拉都進行過幻方研究。如今，幻方仍然是組合數(shù)學(xué)的研究課題之一，經(jīng)過一代代數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者的共同努力，幻方與它的變體所蘊含的各種神奇的科學(xué)性質(zhì)正逐步得到揭示，它已在組合分析、實驗設(shè)計、圖論、數(shù)論、群、對策論、紡織、工藝美術(shù)、程序設(shè)計、人工智能等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。而本文在研究幻方的過程中，根據(jù)和幻方的定義和性質(zhì)，得到和幻方的一種新的構(gòu)造方法，利用已知一個低階和幻方構(gòu)造一個高階和幻方。

1 預(yù)備知識

定義1[1]設(shè)矩陣A=(aij)m×n∈Zm×n，m,n∈N*，若矩陣A滿足以下條件：

①m=n;

③(11…1)1×m(aij)m×n=Sl(11…1)1×n；

⑥Sc=Sl=Smd=Scd。

則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的n階和幻方，幻和記為S。

定義2[1]設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈{1,2,…,n2}，n∈N*，若矩陣A滿足以下條件：

②(11…1)1×m(aij)m×n=Sl(11…1)1×n；

⑤Sc=Sl=Smd=Scd。

則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的n階始元和幻方，幻和記為S。

2 主要結(jié)果

其中，Bij=

則矩陣D∈F8n×8n為8n階和幻方，且幻和為256n3+4n。

證明因為C是4n階始元和幻方，幻和為

32n3+2n=

4n(0+1+…+(4n-1))+(1+2+…+4n)=

根據(jù)D的構(gòu)造規(guī)律，記

則矩陣的的幻和為：

則矩陣D∈F8n×8n為8n階和幻方，且幻和為256n3+4n。

例當(dāng)n=1時，隨機選取一個四階和幻方C，

D就是一個8階和幻方，幻和為260。