虛與實(shí)：學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的兩翼
——以“完全平方公式”為例

王新奇 (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第一中學(xué) 215021)

虛實(shí)結(jié)合是語文寫作的一種技法.所謂“虛”，是指存在于人們的思想和意識(shí)中的部分；所謂“實(shí)”，是指通過聽覺、觸覺、視覺等能感覺到的部分.虛與實(shí)是相對(duì)的，客觀為實(shí)，主觀為虛；具體為實(shí)，隱者為虛；當(dāng)下為實(shí)，未來為虛[1].虛與實(shí)也是一體的，實(shí)為虛之體，虛為實(shí)之魂，在具體問題解決的過程中，潛在體內(nèi)的虛魂是實(shí)性的思維方式和解決問題的策略.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，實(shí)即客觀的、具體的知識(shí)技能，虛即隱藏在知識(shí)技能中的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)觀念.實(shí)承載著虛，虛浸潤(rùn)著實(shí)，虛與實(shí)就像學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的兩翼.虛實(shí)結(jié)合，可以凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心與本質(zhì)，有力促進(jìn)學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展.筆者以為，初中數(shù)學(xué)教學(xué)需要虛實(shí)結(jié)合.本文結(jié)合“完全平方公式”的教學(xué)實(shí)例探討如何做好初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的虛實(shí)結(jié)合，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 教學(xué)過程

1.1 完全平方公式的引入

計(jì)算：(1)(a+b)(c+d)；(2)(x+1)(x-1)；

(3)(x+5)(x+5)；(4)(3x-2)(3x-2).

問題1 觀察這4道多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算結(jié)果，有什么不同？

追問 觀察這4道題計(jì)算結(jié)果的項(xiàng)數(shù)，有什么不同？

問題2 請(qǐng)你寫出兩組具有上述后兩題特征的多項(xiàng)式乘法，并計(jì)算結(jié)果.

問題3 能否用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？

設(shè)計(jì)意圖完全平方公式作為多項(xiàng)式乘法的下位知識(shí)，是學(xué)生學(xué)習(xí)了整式乘法的一般性方法之后，對(duì)特殊對(duì)象的研究，是公式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中a=c，b=d時(shí)產(chǎn)生的特殊形式.因此，多項(xiàng)式乘法是完全平方公式的生長(zhǎng)點(diǎn)，充分利用多項(xiàng)式乘法是教學(xué)的關(guān)鍵，有助于實(shí)現(xiàn)后續(xù)知識(shí)的自然生成和學(xué)生的自主學(xué)習(xí).從實(shí)的角度出發(fā)，設(shè)計(jì)的4道計(jì)算題擬從整體的角度引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從一般到特殊的過程，感受特殊化帶來的簡(jiǎn)潔性.既復(fù)習(xí)了平方差公式，又自然引出了完全平方公式的學(xué)習(xí).4個(gè)具體算式的支撐，使完全平方公式的引出具有了實(shí)性.從虛的角度考量，設(shè)計(jì)的3個(gè)問題，旨在讓學(xué)生從純粹的多項(xiàng)式計(jì)算這一經(jīng)驗(yàn)操作中走出來，通過觀察、比較和結(jié)構(gòu)分析，從中分離出相同屬性(都是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘)和不同屬性(結(jié)果項(xiàng)數(shù)不同)，經(jīng)歷結(jié)果屬性由一般向特殊演變(由四項(xiàng)到兩項(xiàng)或三項(xiàng)).這種特殊是直觀的，同時(shí)催生了學(xué)生產(chǎn)生虛性的思考：這樣的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，結(jié)果有怎樣的規(guī)律呢？通過虛實(shí)結(jié)合引發(fā)的疑問，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的能力得以發(fā)展，也將使學(xué)生在經(jīng)歷“屬性分離”過程后提升抽象水平.

1.2 完全平方公式的驗(yàn)證

問題1 上述規(guī)律的正確性需要驗(yàn)證嗎？

問題2 根據(jù)平方差公式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，如何驗(yàn)證？

問題3 通過驗(yàn)證，你感悟到哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計(jì)意圖完全平方公式的驗(yàn)證與平方差公式的驗(yàn)證方法類似，可以進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)的遷移.學(xué)生在驗(yàn)證平方差公式時(shí)，曾經(jīng)歷過運(yùn)用圖形面積和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式驗(yàn)證的實(shí)性過程，積累了從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面進(jìn)行驗(yàn)證的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).通過問題2引導(dǎo)學(xué)生做一個(gè)虛性的思考，幫助學(xué)生通過經(jīng)驗(yàn)遷移確定驗(yàn)證的基本思路，再予以具體的實(shí)性驗(yàn)證.在這個(gè)虛實(shí)結(jié)合的過程中，既有思維的提升，也有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的遷移和再認(rèn)識(shí)，從而使完全平方公式的教學(xué)效益最大化.同時(shí)，通過“剪”“拼”“割”“補(bǔ)”將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來解決的思想方法，也為后續(xù)學(xué)習(xí)勾股定理的證明積累了經(jīng)驗(yàn).

1.3 完全平方公式的概括

問題1 請(qǐng)概括一下你發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證的規(guī)律，并用字母表示.

問題2 公式中的a和b可以代表什么？

問題3 請(qǐng)仔細(xì)觀察公式的結(jié)構(gòu)，結(jié)合學(xué)習(xí)平方差公式的經(jīng)驗(yàn)，能否直觀、形象地提煉出計(jì)算形式？

問題4 在完全平方公式的探究過程中，你感悟到哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，而思維最顯著的特點(diǎn)是概括[2].在實(shí)性方面，通過圖形語言、文字語言及其關(guān)系的概括總結(jié)，一是去除學(xué)生在公式探究過程中對(duì)公式非本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)，把認(rèn)識(shí)統(tǒng)一到“兩數(shù)和(差)的平方，等于這兩數(shù)的平方和加上(減去)積的2倍”的多項(xiàng)式乘法這一本質(zhì)屬性上來；二是完全平方公式多視角表征和理解，拓展信息獲取及問題分析的路徑通道.追問“a，b可以表示什么？”旨在滲透數(shù)式通性思想及使用范圍.問題3旨在引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別公式特征，可以將模型提煉為“(□±○)2=□2±2□○+○2”的形式，從而突破運(yùn)用過程中的難點(diǎn).學(xué)生只有識(shí)別出公式的特征，才能運(yùn)用公式解決問題，感悟公式的優(yōu)越性和數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.在充分彰顯實(shí)性知識(shí)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生回顧知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，感悟隱藏在知識(shí)探究過程中的魂，盡管這個(gè)魂是虛性的，但卻是必要的.虛實(shí)相生，有力促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的逐漸形成.

1.4 完全平方公式的應(yīng)用

問題1 同學(xué)們，根據(jù)a，b的可變性，請(qǐng)自主設(shè)計(jì)符合完全平方公式的多項(xiàng)式乘法算式.

問題2 改變a，b前面的符號(hào)，一共有幾種情況？通過計(jì)算，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題3 計(jì)算：(1)(a+b+c)2；(a+b-c)2，(2)1032；992

設(shè)計(jì)意圖這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，表面上看是實(shí)性的操練，實(shí)則是引發(fā)學(xué)生虛性的思考，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)公式的深度理解.通過學(xué)生自己舉例編題練習(xí)，加深對(duì)a，b的意義認(rèn)識(shí)，同時(shí)有效地促進(jìn)學(xué)生對(duì)完全平方公式結(jié)構(gòu)的主動(dòng)認(rèn)知.教師從學(xué)生編寫的題目中選擇有代表性的題目進(jìn)行計(jì)算，并就計(jì)算中出現(xiàn)的問題進(jìn)行班級(jí)研討，引領(lǐng)學(xué)生深度理解公式的計(jì)算方法.同時(shí)，在正視錯(cuò)誤、理解錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤的過程中，挖掘錯(cuò)誤的成因，抓住錯(cuò)誤的本質(zhì)，衍生課堂生成性資源，形成規(guī)范的計(jì)算步驟，這是一個(gè)學(xué)生自主探索、教師有效引導(dǎo)、師生互動(dòng)有機(jī)統(tǒng)一的過程.在這個(gè)過程中，學(xué)生由過去的被動(dòng)式練習(xí)轉(zhuǎn)向主動(dòng)思考、自主探索，進(jìn)而形成深度學(xué)習(xí).這個(gè)過程是實(shí)性的，同時(shí)也為學(xué)生進(jìn)一步虛性的思考打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).問題2的設(shè)計(jì)，重點(diǎn)聚焦公式變形，在處理符號(hào)的過程中感受和體會(huì)內(nèi)在聯(lián)系，形成對(duì)公式結(jié)構(gòu)的本質(zhì)理解.問題3的設(shè)計(jì)旨在進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征，滲透整體換元和對(duì)應(yīng)思想，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從圖形面積角度計(jì)算結(jié)果，提升和挖掘圖形計(jì)算的價(jià)值.應(yīng)用環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，從應(yīng)用→思考→創(chuàng)新應(yīng)用，通過虛實(shí)結(jié)合，旨在將完全平方公式與多項(xiàng)式乘法、簡(jiǎn)便運(yùn)算等原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)逐漸建立關(guān)聯(lián)，使得完全平方公式不再是一個(gè)獨(dú)立的個(gè)體存儲(chǔ)，而是與其他運(yùn)算、經(jīng)驗(yàn)之間形成新的整體關(guān)系，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.5 課堂小結(jié)

今天我們探索了完全平方公式，請(qǐng)用思維導(dǎo)圖回顧和總結(jié)學(xué)習(xí)過程.

設(shè)計(jì)意圖要求學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖，旨在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)整節(jié)課的學(xué)習(xí)進(jìn)行回顧和提升，使得學(xué)習(xí)過程結(jié)構(gòu)化.經(jīng)過長(zhǎng)期的訓(xùn)練，學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維能力將會(huì)得到提升，這個(gè)過程是虛性的，但卻引導(dǎo)學(xué)生自主實(shí)性學(xué)習(xí)的方向，也是數(shù)學(xué)教育的價(jià)值.

2 教學(xué)思考

2.1 學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，需要求實(shí)

形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的前提是具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和技能，而基礎(chǔ)知識(shí)技能訓(xùn)練的主陣地在課堂，這就要求每一節(jié)常態(tài)數(shù)學(xué)課都要在求實(shí)上下功夫.但是，在求實(shí)的過程中，不能讓學(xué)生被動(dòng)地接受知識(shí)，而是要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索，在知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程中形成實(shí)性認(rèn)識(shí).首先在內(nèi)容設(shè)計(jì)上求實(shí)，緊緊圍繞完全平方公式的特征，觀其形、拼其形、定其形、找其形、用其形、補(bǔ)其形，主線明確，層次豐富.其次，在學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)上求實(shí)，通過問題驅(qū)動(dòng)、操作驅(qū)動(dòng)、學(xué)思驅(qū)動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生體悟完全平方公式的本質(zhì)，特殊化研究公式的外延關(guān)聯(lián)，努力實(shí)現(xiàn)有結(jié)構(gòu)、有邏輯、有源頭的精準(zhǔn)化教學(xué).最后，在學(xué)以致用上求實(shí)，引導(dǎo)學(xué)生自主編題，自主練習(xí)，集體糾錯(cuò)，在正視錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤中挖掘成因，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和良好品質(zhì)的形成.

2.2 學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，需要?jiǎng)?wù)虛

從知識(shí)到方法，從方法到思想，這是數(shù)學(xué)教育的追求，也是從實(shí)性知識(shí)技能走向虛性思想方法的必然結(jié)果.數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含在知識(shí)形成過程中，這是學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法的良好載體.本節(jié)課蘊(yùn)含兩個(gè)重要數(shù)學(xué)思想：從一般到特殊的思想、數(shù)形結(jié)合思想.筆者試圖讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)活動(dòng)是在數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)下進(jìn)行的，從而使學(xué)生既能理解知識(shí)的本質(zhì)，又能感悟到數(shù)學(xué)思想.以后，學(xué)生在解決問題的過程中，特別是遇到困難，需要尋求突破難點(diǎn)的時(shí)候，這些積累的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想方法將會(huì)適時(shí)引導(dǎo)他們的有效思維，啟發(fā)其主動(dòng)思考獲取數(shù)學(xué)知識(shí).這些隱藏的虛性思考將真正成為思維策略，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.

2.3 學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，需要虛實(shí)結(jié)合

虛實(shí)本為一體，在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師對(duì)實(shí)性的知識(shí)技能往往更加重視，而對(duì)虛性的思想方法和思維能力常常容易忽視.如應(yīng)用環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，注重訓(xùn)練的實(shí)性與思維的虛性并行，在訓(xùn)練的過程中滲透轉(zhuǎn)化、對(duì)應(yīng)等思想，打通各知識(shí)板塊之間的關(guān)聯(lián)障礙，形成“做一題、通一類、連一片”，從而獲得新的經(jīng)驗(yàn)增值，提升解決問題的能力.其實(shí)，從數(shù)學(xué)教育的根本宗旨看，實(shí)為虛體，虛為實(shí)魂，在解決具體問題的過程中，隱藏著的虛魂將變?yōu)閷?shí)性的思維方式和解決問題的策略指引，這就是學(xué)生應(yīng)該具備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.正如愛因斯坦所說，教育就是當(dāng)一個(gè)人把在學(xué)校所學(xué)的全部忘光之后剩下的東西.