抓住基本圖形 凸顯模型意識 直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)
——一道中考幾何壓軸題的解法賞析及思考

藍(lán)文英

(福建省廈門市海滄中學(xué) 361028)

新課標(biāo)對幾何教學(xué)的要求是能引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，并能分析基本圖形中的基本元素及其關(guān)系，利用幾何直觀來進(jìn)行思考,凸顯模型思想，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1].本文通過對一道中考幾何壓軸題的解法探究，既呈現(xiàn)通性通法也展示巧思妙解，追溯幾何問題本質(zhì)，并引發(fā)幾何解題教學(xué)的幾點(diǎn)思考，思考解題思維與學(xué)科育人價值.

1 試題呈現(xiàn)

圖1

(2021年福建省數(shù)學(xué)中考24題)如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)為邊AB上的兩個三等分點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于DE的對稱點(diǎn)為A′,AA′的延長線交BC于點(diǎn)G.

(1)求證：DE//A′F;

(2)求∠GA′B的大?。?/p>

(3)求證：A′C=2A′B.

2 優(yōu)點(diǎn)解讀

2.1 題目結(jié)構(gòu)簡潔美觀，思維考查目標(biāo)明確

本題是2021年福建省中考卷的幾何壓軸題，綜合性強(qiáng)，第(2)、(3)問具有一定的難度和區(qū)分度.題干簡潔優(yōu)美，選用正方形為背景，結(jié)構(gòu)對稱，富含數(shù)學(xué)味，解法多，不僅能用常規(guī)方法解，也能用創(chuàng)新解法解.但要準(zhǔn)確完成3問的解答需具備較強(qiáng)的思維能力，思維考查目標(biāo)明確.本題考查面廣，涉及的知識點(diǎn)多，既考查幾何基本知識又考查推理運(yùn)算能力，綜合考查了正方形與軸對稱的性質(zhì)、全等三角形與相似三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線、圓、解直角三角形等基礎(chǔ)知識.因此，本題不僅關(guān)注到中考的選拔性功能，更注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和學(xué)科育人價值，試題立意深遠(yuǎn).

2.2 梯度分明學(xué)思并重，立足落實(shí)核心素養(yǎng)

教育的根本目的是立德樹人，而培育學(xué)生的核心素養(yǎng)是落實(shí)立德樹人的有效途徑.本題注重學(xué)科價值與思維并重，以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為落腳點(diǎn).本題設(shè)問分明、巧設(shè)梯度、自然連貫，第(1)、(2)問為第(3)問鋪設(shè)臺階，思維鏈長且環(huán)環(huán)相扣，難度呈螺旋式上升.第(1)問設(shè)置平行知識，旨在引導(dǎo)學(xué)生直觀感知、捕捉基本圖形的同時能夠利用平行線轉(zhuǎn)移角的功能，并結(jié)合全等與相似知識解決問題.第(3)問需要在前兩問的基礎(chǔ)上，借助幾何直觀綜合分析,需具備一定的模型思想，透過現(xiàn)象看本質(zhì).因此，第(3)問難度大、區(qū)分度高，集中考查運(yùn)算推理能力、空間觀念與直觀想象以及轉(zhuǎn)化思想，特別是有序有向思考的能力，有效考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，具有較強(qiáng)的學(xué)科育人功能.

3 解法探究

問題(1)比較基礎(chǔ)，大部分學(xué)生能夠利用三角形中位線知識完成解答；問題(2)、(3)思維含量高，解法豐富，不同思維層次的學(xué)生呈現(xiàn)出不同的解法.學(xué)生借助幾何直觀，抓住基本圖形或者結(jié)合模型思想，能夠找到問題的突破口.下面針對問題(2)、(3)，給出幾種典型解法.

3.1 建構(gòu)常規(guī)思維，立足自然解法

第(2)問是求∠GA′B，初中階段可以直接從特殊角入手，通過構(gòu)造直角三角形，使待求角成為直角三角形中的一個內(nèi)角.結(jié)合三角函數(shù)和勾股定理，發(fā)現(xiàn)所構(gòu)造的三角形正好是等腰直角三角形，進(jìn)而得出待求角為45°.

解法1 從特殊角入手，構(gòu)造直角三角形

圖2

如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥AG于點(diǎn)H，則∠AHB=90°.在正方形ABCD中，AD=AB,∠DAB=∠ABG=90°.設(shè)直線DE與AA′交于點(diǎn)O，因為點(diǎn)A和A′關(guān)于DE對稱，所以DE垂直平分AA′，即DE⊥AA′，AO=OA′.所以∠AOD=90°，即∠ADE+∠DAO=90°.又因為∠BAH+∠DAO=90°，所以∠ADE=∠BAH，△DAE≌△ABG，AE=BG.不妨設(shè)AE=a，則由E和F為AB邊上的兩個三等分點(diǎn)，得AE=EF=FB=BG=a.

解法2 利用相似三角形

3.2 抓住基本圖形，探尋創(chuàng)新解法

復(fù)雜幾何圖形是由多個簡單的基本圖形疊加或者組合而成，借助幾何直觀和空間想象思考圖形之間的關(guān)聯(lián)，從整體到局部地觀察圖形的結(jié)構(gòu)特征，抓住基本圖形，就等于握住了解題的“金鑰匙”，也就打開了通往解題的康莊大道.波利亞在《怎樣解題》中說過：“當(dāng)我們的問題比較困難時，我們可能感到很有必要進(jìn)一步把問題再分解成幾部分，并研究其更細(xì)微的末節(jié).”因此，解決幾何問題的一個基本策略就是仔細(xì)推敲題目條件，尋找與其關(guān)聯(lián)的基本圖形，感知基本圖形所獲得的相關(guān)結(jié)論及其隱含的線索.從圖3(1)中發(fā)現(xiàn)，四邊形A′FBG中有一組對角為直角，很容易通過作垂線段構(gòu)造矩形.同時該四邊形有一組對角互補(bǔ)，聯(lián)想到四點(diǎn)共圓，從而能得出創(chuàng)新解法3和特殊解法5.由圖3(2)、3(3)的發(fā)現(xiàn)，較容易想到可以通過旋轉(zhuǎn)△A′FB或△A′BG，進(jìn)而得到創(chuàng)新解法4.可見，通過基本圖形可以將陌生的、復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形，從而發(fā)現(xiàn)解題方向，這不僅是幾何教學(xué)的基本策略，也是本題特殊解法的重要源泉.

圖3

解法3 旋轉(zhuǎn)全等

圖4

如圖4,分別過點(diǎn)B作BH⊥AG于點(diǎn)H，作BP⊥A′P于點(diǎn)P，則∠A′HB=∠A′PB=90°.由第(1)問知∠GA′P=90°，所以四邊形A′PBH是矩形，∠PBH=90°，即∠PBF+∠FBH=90°.又因為在正方形ABCD中，∠ABC=90°，得∠HBG+∠FBH=90°，∠HBG=∠PBF.又因為∠BHG=∠BPF=90°，由解法1可知FB=BG=a，則△BHG≌△BPF(AAS)，所以BH=BP，所以矩形A′PBH是正方形，A′H=HB，Rt△A′HB是等腰直角三角形，即∠GA′B=45°.

解法4 如圖5，過點(diǎn)B作BA′的垂線交A′G的延長線于點(diǎn)H，∠A′BH=90°，得∠A′BG+∠GBH=90°.因為在正方形ABCD中，∠ABC=90°，所以∠FBA′+∠A′BG=90°，∠FBA′=∠GBH.在四邊形A′FBG中，∠ABG=∠FA′G=90°，則∠A′FB+∠A′GB=180°.又因為∠BGH+∠A′GB=180°，所以∠BGH=∠A′FB.由 解法1可知FB=BG=a，所以△A′FB≌△HGB(ASA)，A′B=HB，Rt△A′BH是等腰直角三角形，即∠GA′B=45°.

圖5 圖6

當(dāng)然，如圖6，如果過點(diǎn)B作BA′的垂線交A′F的延長線于點(diǎn)H，∠A′BH=90°，則∠A′BF+∠FBH=90°.因為在正方形ABCD中，∠ABC=90°，所以∠FBA′+∠A′BG=90°，∠FBH=∠A′BG.在四邊形A′FBG中，∠FBG=∠FA′G=90°，所以∠A′FB+∠A′GB=180°.又因為∠A′FB+∠BFH=180°，得∠BFH=∠A′GB.由解法1可知FB=BG=a，則△A′GB≌△HFB(ASA)，A′B=HB，Rt△A′BH是等腰直角三角形，∠HA′B=45°，∠GA′B=45°.

解法5 構(gòu)造輔助圓，四點(diǎn)共圓

圖7

3.3 借助幾何直觀，直擊問題本質(zhì)

余文森教授提出的“讀思達(dá)”教學(xué)法同樣適用于解題教學(xué)，數(shù)學(xué)解題過程其實(shí)就是一個閱讀、思考、表達(dá)的過程.幾何題閱讀的不僅僅是題干信息，更是一個閱圖、思圖的過程.在閱圖的過程中，幾何直觀發(fā)揮了不可或缺的作用.幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題,其本質(zhì)是對幾何圖形產(chǎn)生的一種強(qiáng)烈的直覺感知.比如本題第(3)問要證A′C=2A′B，即證明兩條線段的數(shù)量關(guān)系，依然要回歸圖形，從圖形中發(fā)現(xiàn)蛛絲馬跡，仔細(xì)觀察圖形，通過敏銳的直覺容易聯(lián)想到相似.看到圖形直觀感知到的聯(lián)想往往是解題的方向，順著解題方向獲得猜想，進(jìn)而再結(jié)合第(2)問的結(jié)論，容易獲得證法1.同樣，此問證法2和3依然是依托強(qiáng)烈的直觀想象和空間觀念，利用相似這一基本知識疊加軸對稱性完成解答.證法1、2、3本質(zhì)是一樣的，都是證明相似得到線段的比例關(guān)系.因此,借助幾何直觀，不僅能感知問題解決的方向和思路，更能預(yù)測可能的結(jié)果，直擊幾何問題的本質(zhì).第(3)問的解法展示如下：

證法1 勾股定理+三角函數(shù)+相似

圖8

圖9 圖10

3.4 緊扣基本模型，挖掘特殊解法

“數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中說：‘解題的成功，要靠正確的轉(zhuǎn)化’”[2].如果能將一些常見的、重要的基本模型進(jìn)行提煉并深入研究，在解題中往往能起到化難為易的效果.比如常見的手拉手模型、角平分線模型、平行下的相似、一線三垂直模型等[1].模型思想是直觀想象素養(yǎng)的重要組成部分，解題過程中有意識地去分解或者構(gòu)建模型，不僅能拓展思維、開拓思路，更能培養(yǎng)創(chuàng)新性思維和多角度思考問題的能力，進(jìn)而挖掘出多種靈巧的解法.有時題中呈現(xiàn)的基本模型與條件并不吻合，這時需關(guān)聯(lián)相關(guān)知識，通過添加輔助線構(gòu)建與之匹配的基本模型，以達(dá)到順利解題的目的.本題第(3)問中的特殊解法的探究思路是聚焦基本模型，如圖11，證法4中的角平分線基本模型是解決本問的一個題眼，在得到A′G是角平分線的時候，很自然地想到其性質(zhì)，通過構(gòu)造兩條垂線段，利用面積法順利解決問題.如圖12，證法5則綜合運(yùn)用等腰三角形以及正方形背景下的一線三垂直模型，成功突破思維瓶頸.縱觀本問的多種解法，無論是常規(guī)解法還是創(chuàng)新解法，基本圖形與基本模型從始至終都貫徹于整個解題思維過程中.

圖11 圖12

證法5 如圖12，連結(jié)A′D，過點(diǎn)D作DM⊥A′C于點(diǎn)M，則∠DMC=90°.在正方形ABCD中，AD=DC=CB,∠DCB=90°.因為DE垂直平分AA′，得AD=A′D=DC.又因為DM⊥A′C，得A′C=2CM(三線合一).因為∠DCA′+∠A′CB=90°，在Rt△DMC中∠DCA′+∠CDM=90°，所以∠A′CB=∠CDM， △DMC≌△CA′B，A′B=MC，A′C=2CM=2A′B，A′C=2A′B.

4 教學(xué)思考

4.1 凸顯模型意識，促成解法多元

本題第(2)、(3)問從學(xué)生最為熟悉的正方形十字架模型切入，不論是構(gòu)造垂線還是從熟悉的平行線證相似,從始至終貫穿了數(shù)學(xué)模型思想.從基礎(chǔ)的十字架、平行線模型到疊加型模型，如一線三垂直模型、四點(diǎn)共圓等模型.第(2)問的難度逐漸增大，若沒能做好鋪墊，就很難突破第(3)問，借助模型思想可有效縮短思維鏈，提高解題效率，快速生成通性通法及一系列的巧解.求∠GA′B，通過構(gòu)造直角三角形把求角問題轉(zhuǎn)化為求邊的比例關(guān)系，再結(jié)合正方形十字架模型巧妙構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換，充分連通條件與結(jié)論的通道，使思路成型.在實(shí)際教學(xué)中教師應(yīng)善于滲透模型思想，緊扣基本圖形和基本模型，以教材中的基本知識和中考題中的常見基本圖形為藍(lán)本，以基本模型為橋梁，感悟模型的本質(zhì)，并將解法和題型及其對應(yīng)的模型歸類，通過對基礎(chǔ)模型追根溯源、融會貫通構(gòu)造復(fù)合模型，不斷地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維，進(jìn)而提高解決問題的能力.

4.2 扎根直觀想象，提升數(shù)學(xué)思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出的十個核心關(guān)鍵詞中包含了空間觀念、幾何直觀、模型思想和應(yīng)用意識，這是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵組成部分.而直觀想象則是中學(xué)數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一.本題第(3)問的常規(guī)解法與多種巧解均是建立在強(qiáng)烈的直觀想象的基礎(chǔ)上，要證明A′C=2A′B，需要仔細(xì)觀察圖形特征，猜想△A′FB∽△A′GC.同時，在第(2)問的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)A′G平分∠GA′B，能快速聯(lián)想到角平分線基本模型，構(gòu)造垂線段完成證法4.直觀想象好比燈塔，為解題指明了方向，扎根直觀想象能感知圖形的形態(tài)與變化，通過已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗、直覺思維和數(shù)形結(jié)合思想，建構(gòu)幾何問題的直觀模型,合情合理探尋解題思路，預(yù)測結(jié)果.因此，在雙減背景下，教師在日常的幾何解題教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，引導(dǎo)學(xué)生抓住圖形的特點(diǎn)，緊扣基本模型分析問題、推敲題意、感悟模型中所蘊(yùn)藏的思想方法，借助幾何直觀與空間觀念，大膽構(gòu)建與題干關(guān)聯(lián)的基本模型，鎖定解題策略，提高解題能力，更好地培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，真正做到減負(fù)不減質(zhì).