上聯(lián)下延，一以貫之：在結(jié)構(gòu)和聯(lián)系中學(xué)習(xí)新知
——以“中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形”課時(shí)教學(xué)為例*

石樹偉

(江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)教研室 225006)

1 基本情況

1.1 授課背景

當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)零碎教零碎學(xué)現(xiàn)象嚴(yán)重，學(xué)生學(xué)到的都是碎片化的數(shù)學(xué)知識(shí)，不利于知識(shí)的記憶和存儲(chǔ)、提取和運(yùn)用，不利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成．因此，凸顯知識(shí)整體性的單元教學(xué)應(yīng)運(yùn)而生．但梳理相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前單元教學(xué)的研究多關(guān)注價(jià)值意義分析、整體目標(biāo)設(shè)計(jì)，課時(shí)實(shí)施則涉及較少或語焉不詳，少量的所謂單元教學(xué)案例多是幾節(jié)課連上或在一節(jié)課時(shí)間內(nèi)大容量、高強(qiáng)度地灌輸全單元重要知識(shí)．然而在相當(dāng)長的一段時(shí)間內(nèi)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須面對(duì)分課時(shí)實(shí)施的問題．為解決課時(shí)教學(xué)如何凸顯知識(shí)整體性的問題，筆者提出“課時(shí)教學(xué)應(yīng)力求上聯(lián)下延、一以貫之，讓學(xué)生在結(jié)構(gòu)和聯(lián)系中學(xué)習(xí)新知”[1]的教學(xué)主張，并在“中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形”的課時(shí)教學(xué)中進(jìn)行了公開教學(xué)嘗試．

1.2 學(xué)情分析

施教對(duì)象為區(qū)屬公辦初中八年級(jí)學(xué)生，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般，學(xué)業(yè)水平參差不齊，部分學(xué)生抽象思維能力較弱，本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)需要更多的實(shí)例觀察、動(dòng)手操作等直觀形象手段的參與．

1.3 內(nèi)容分析

“中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形”是蘇科版初中數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第9章《中心對(duì)稱圖形——平行四邊形》的第2節(jié)內(nèi)容[2]，是在學(xué)習(xí)了第1節(jié)“圖形的旋轉(zhuǎn)”后繼續(xù)探究旋轉(zhuǎn)特例的自然生長，后續(xù)學(xué)習(xí)的第3節(jié)“平行四邊形”又是繼續(xù)探究中心對(duì)稱特例的自然延伸，教材教學(xué)內(nèi)容的安排體現(xiàn)了“從一般到特殊”的研究思路．同時(shí)，中心對(duì)稱也為后續(xù)平行四邊形的研究提供了圖形變換的視角和工具．

1.4 教學(xué)目標(biāo)

(1)了解中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的概念，掌握中心對(duì)稱的性質(zhì)，并能畫一個(gè)簡(jiǎn)單幾何圖形關(guān)于一點(diǎn)對(duì)稱的圖形；(2)經(jīng)歷中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形概念的形成過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，感受數(shù)學(xué)美；(3)經(jīng)歷本節(jié)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，形成相應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，感悟積累“從一般到特殊考察特例”“概念是基礎(chǔ)和核心”等數(shù)學(xué)研究思路和經(jīng)驗(yàn)．

2 課例簡(jiǎn)錄

2.1 板塊一：從旋轉(zhuǎn)到中心對(duì)稱

問題1請(qǐng)你用數(shù)學(xué)的眼光觀察幾幅揚(yáng)州剪紙(圖1)，并用數(shù)學(xué)的語言介紹這幾幅剪紙作品．

圖1 揚(yáng)州剪紙

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生用旋轉(zhuǎn)變換的視角分析這些剪紙作品，復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)為發(fā)現(xiàn)、研究旋轉(zhuǎn)的特例——中心對(duì)稱提供直觀素材．

問題2旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱都是圖形變換方式，過去我們是如何研究旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的？

設(shè)計(jì)意圖師生共同回顧旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的研究思路，揭示圖形變換的一般研究路徑：實(shí)例→概念→性質(zhì)→應(yīng)用→整體視角(即軸對(duì)稱圖形或中心對(duì)稱圖形)，為中心對(duì)稱的學(xué)習(xí)規(guī)劃路徑．

問題3研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象我們一般會(huì)繼續(xù)考察它的特例，如一般軸對(duì)稱研究后，我們繼續(xù)研究了線段中垂線、角平分線、等腰三角形等特殊軸對(duì)稱圖形．結(jié)合剪紙作品思考，如果繼續(xù)研究旋轉(zhuǎn)，我們可能會(huì)研究什么？旋轉(zhuǎn)有哪些特例？

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)例(剪紙作品)研究旋轉(zhuǎn)的特例——繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°的情況，揭示中心對(duì)稱課題，體會(huì)旋轉(zhuǎn)與中心對(duì)稱之間“一般與特殊”的關(guān)系，把中心對(duì)稱置于旋轉(zhuǎn)變換的整體結(jié)構(gòu)體系之中．

2.2 板塊二：研究中心對(duì)稱

(1)從實(shí)例到概念

問題4再看雙魚剪紙(圖2)，請(qǐng)用旋轉(zhuǎn)變換的視角介紹一下這幅作品．

圖2 雙魚剪紙 圖3

問題5先操作：①用一張透明紙覆蓋在圖3上，描出四邊形ABCD；②用大頭針釘在點(diǎn)O處，將四邊形ABCD繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題6你能歸納一下中心對(duì)稱的概念嗎？

設(shè)計(jì)意圖從生活現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，從觀察分析到動(dòng)手操作，讓學(xué)生從實(shí)例中分析中心對(duì)稱的本質(zhì)屬性，進(jìn)而歸納中心對(duì)稱的概念，結(jié)合圖形介紹對(duì)稱中心、對(duì)應(yīng)點(diǎn)等概念，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程．

(2)從概念到性質(zhì)

問題7在圖3中，分別連結(jié)關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A和A′，B和B′，C和C′，D和D′，你發(fā)現(xiàn)了什么？

問題8如何說明你的發(fā)現(xiàn)是正確的？

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生在操作的基礎(chǔ)上，猜想“成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分”，并回歸中心對(duì)稱的概念說明猜想的正確性，從而得到中心對(duì)稱的性質(zhì)．

(3)從性質(zhì)到應(yīng)用

問題9如圖(圖略)，①畫出點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)A′；②畫出線段AB關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的線段A′B′；③畫出與△ABC關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的△A′B′C′．

設(shè)計(jì)意圖從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，應(yīng)用中心對(duì)稱性質(zhì)作中心對(duì)稱圖形，鞏固中心對(duì)稱性質(zhì)．

2.3 板塊三：整體視角看中心對(duì)稱

問題10由圖4中的兩幅圖你想到了什么？軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？

圖4 軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形

設(shè)計(jì)意圖問題逐步出示，通過列表回顧軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系，為后面研究中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形提供類比對(duì)象．

問題11類似地，存在中心對(duì)稱圖形嗎？請(qǐng)你舉例．

問題12什么是中心對(duì)稱圖形？中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形有什么區(qū)別與聯(lián)系？

問題13觀察下列圖形(圖略)，哪些是中心對(duì)稱圖形？

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生類比軸對(duì)稱圖形自己尋找中心對(duì)稱圖形實(shí)例，進(jìn)而自主歸納中心對(duì)稱圖形概念及中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系．

2.4 板塊四：從中心對(duì)稱到……

圖5

問題14本節(jié)課你有哪些收獲？還有什么困惑或還想知道什么？

問題15如圖5，已知△ABC和AC邊中點(diǎn)O，如何畫△ABC關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的三角形？動(dòng)手畫一畫，畫成后是一個(gè)什么圖形？

設(shè)計(jì)意圖通過畫△ABC關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的圖形，既鞏固復(fù)習(xí)中心對(duì)稱的概念和性質(zhì)，又可以自然引出下面即將研究的中心對(duì)稱的特例——平行四邊形．

問題16我們是如何研究中心對(duì)稱的？你有什么體會(huì)和感悟？

設(shè)計(jì)意圖通過問題引導(dǎo)學(xué)生反思研究歷程，體會(huì)圖形變換主線共同的研究思路：宏觀上從一般到特殊，不斷考察特例，微觀上遵循“實(shí)例→概念→性質(zhì)→應(yīng)用→整體視角”的路徑，感悟圖形變換內(nèi)容概念學(xué)習(xí)的重要性，概念是研究性質(zhì)的基礎(chǔ)，而性質(zhì)又是應(yīng)用的基礎(chǔ)．通過上述三個(gè)問題的交流，板書形成如圖6所示的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

圖6 中心對(duì)稱的上聯(lián)下延板書

3 課例啟示

3.1 上聯(lián)下延形成知識(shí)結(jié)構(gòu)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》在教學(xué)建議中提出：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會(huì)對(duì)于某些數(shù)學(xué)知識(shí)可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解．[3]因此，每一節(jié)課的教學(xué)要力求上聯(lián)下延，讓學(xué)生明晰今天所學(xué)習(xí)的知識(shí)從哪里生長而來，又向哪里延伸而去，明晰知識(shí)的來龍去脈，讓學(xué)生在一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中學(xué)習(xí)每一個(gè)新知．

上聯(lián)下延的關(guān)鍵是分析、找準(zhǔn)知識(shí)的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”．如“中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形”課例，宏觀上，中心對(duì)稱是旋轉(zhuǎn)的特例，而平行四邊形又是中心對(duì)稱的特例，因此，中心對(duì)稱的知識(shí)“生長點(diǎn)”是旋轉(zhuǎn)，知識(shí)“延伸點(diǎn)”是平行四邊形，從而形成“旋轉(zhuǎn)→中心對(duì)稱→平行四邊形”宏觀知識(shí)結(jié)構(gòu)；微觀上，實(shí)例是中心對(duì)稱概念來源，中心對(duì)稱概念是其性質(zhì)的基礎(chǔ)，性質(zhì)又是其應(yīng)用的基礎(chǔ)，從而形成“實(shí)例→概念→性質(zhì)→應(yīng)用”微觀脈絡(luò)線索．

上聯(lián)下延的類型一般有兩種．一種是“瞻前顧后”，即知識(shí)與其“生長點(diǎn)”“延伸點(diǎn)”之間呈遞進(jìn)關(guān)系，前面的知識(shí)是后面知識(shí)的邏輯基礎(chǔ)，如旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱、平行四邊形三個(gè)知識(shí)之間的關(guān)系，單項(xiàng)式乘法、多項(xiàng)式乘法、完全平方公式三個(gè)知識(shí)之間的關(guān)系等；另一種是“左顧右盼”，即知識(shí)與其“生長點(diǎn)”“延伸點(diǎn)”之間呈并列關(guān)系，如線段中垂線、角平分線和等腰三角形這三個(gè)特殊軸對(duì)稱圖形之間的關(guān)系．

3.2 一以貫之強(qiáng)化思想聯(lián)系

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出了數(shù)學(xué)學(xué)科的課程性質(zhì)：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律．[4]這里清晰闡明了數(shù)學(xué)學(xué)科的研究對(duì)象及其來源、過程與方法以及研究結(jié)果和作用，從宏觀上指明了研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路、思想與方法，這也是貫穿數(shù)學(xué)每一個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域的一條主線．因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)一以貫之，讓學(xué)生感悟貫穿于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容之中的、共同的數(shù)學(xué)研究基本思路和思想方法，強(qiáng)化知識(shí)之間的思想聯(lián)系．

一以貫之的關(guān)鍵是善于挖掘蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容之中的、共同的一般觀念和思想方法，充分發(fā)揮先行組織者作用，善于類比．如“中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形”課例，“旋轉(zhuǎn)→中心對(duì)稱→平行四邊形”的宏觀知識(shí)結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)含著“從一般到特殊”這個(gè)一般觀念，與八上《軸對(duì)稱圖形》一章“軸對(duì)稱→線段中垂線、角平分線、等腰三角形等特殊軸對(duì)稱圖形”的宏觀研究思路是一脈相承的；中心對(duì)稱與圖形的旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的學(xué)習(xí)一樣，微觀上都遵循“實(shí)例→概念→性質(zhì)→應(yīng)用”的研究路徑，凸顯了概念的基礎(chǔ)和核心地位．因此，“中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形”課例在思想方法上一以貫之，通過類比繼續(xù)貫徹執(zhí)行軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的研究思路，使蘊(yùn)含于其中的一般觀念和思想方法得以再次應(yīng)用、強(qiáng)化和明晰．

3.3 兩者結(jié)合落實(shí)上聯(lián)下延、一以貫之

上聯(lián)下延形成的知識(shí)結(jié)構(gòu)是明線，一以貫之強(qiáng)化的思想聯(lián)系是暗線．思想聯(lián)系本質(zhì)上是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)更高層次的抽象概括和更深層次的理解總結(jié)，一以貫之的思想聯(lián)系蘊(yùn)含于上聯(lián)下延的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中；反過來，一以貫之的思想聯(lián)系又是上聯(lián)下延知識(shí)結(jié)構(gòu)形成的指導(dǎo)思想，指引上聯(lián)下延知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成．兩者緊密結(jié)合可以保證上聯(lián)下延、一以貫之的落實(shí)．如“從一般到特殊”的一般觀念蘊(yùn)含于“旋轉(zhuǎn)→中心對(duì)稱→平行四邊形”的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中；反過來，教師通過問題串引導(dǎo)學(xué)生在一般觀念“從一般到特殊”的指引下探究旋轉(zhuǎn)的特例，從而生長出中心對(duì)稱知識(shí)．

上聯(lián)下延形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，一以貫之強(qiáng)化思想聯(lián)系，兩者緊密結(jié)合，可以增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性和關(guān)聯(lián)性，有利于發(fā)揮結(jié)構(gòu)和聯(lián)系的力量，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，增強(qiáng)知識(shí)的遷移應(yīng)用價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)理解和應(yīng)用能力的提升，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)．