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    上聯(lián)下延,一以貫之:在結(jié)構(gòu)和聯(lián)系中學(xué)習(xí)新知
    ——以“中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形”課時(shí)教學(xué)為例*

    2022-11-14 17:07:37石樹偉
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年8期
    關(guān)鍵詞:概念數(shù)學(xué)研究

    石樹偉

    (江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)教研室 225006)

    1 基本情況

    1.1 授課背景

    當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)零碎教零碎學(xué)現(xiàn)象嚴(yán)重,學(xué)生學(xué)到的都是碎片化的數(shù)學(xué)知識(shí),不利于知識(shí)的記憶和存儲(chǔ)、提取和運(yùn)用,不利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.因此,凸顯知識(shí)整體性的單元教學(xué)應(yīng)運(yùn)而生.但梳理相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn),當(dāng)前單元教學(xué)的研究多關(guān)注價(jià)值意義分析、整體目標(biāo)設(shè)計(jì),課時(shí)實(shí)施則涉及較少或語(yǔ)焉不詳,少量的所謂單元教學(xué)案例多是幾節(jié)課連上或在一節(jié)課時(shí)間內(nèi)大容量、高強(qiáng)度地灌輸全單元重要知識(shí).然而在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi),數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須面對(duì)分課時(shí)實(shí)施的問(wèn)題.為解決課時(shí)教學(xué)如何凸顯知識(shí)整體性的問(wèn)題,筆者提出“課時(shí)教學(xué)應(yīng)力求上聯(lián)下延、一以貫之,讓學(xué)生在結(jié)構(gòu)和聯(lián)系中學(xué)習(xí)新知”[1]的教學(xué)主張,并在“中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形”的課時(shí)教學(xué)中進(jìn)行了公開教學(xué)嘗試.

    1.2 學(xué)情分析

    施教對(duì)象為區(qū)屬公辦初中八年級(jí)學(xué)生,學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般,學(xué)業(yè)水平參差不齊,部分學(xué)生抽象思維能力較弱,本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)需要更多的實(shí)例觀察、動(dòng)手操作等直觀形象手段的參與.

    1.3 內(nèi)容分析

    “中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形”是蘇科版初中數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第9章《中心對(duì)稱圖形——平行四邊形》的第2節(jié)內(nèi)容[2],是在學(xué)習(xí)了第1節(jié)“圖形的旋轉(zhuǎn)”后繼續(xù)探究旋轉(zhuǎn)特例的自然生長(zhǎng),后續(xù)學(xué)習(xí)的第3節(jié)“平行四邊形”又是繼續(xù)探究中心對(duì)稱特例的自然延伸,教材教學(xué)內(nèi)容的安排體現(xiàn)了“從一般到特殊”的研究思路.同時(shí),中心對(duì)稱也為后續(xù)平行四邊形的研究提供了圖形變換的視角和工具.

    1.4 教學(xué)目標(biāo)

    (1)了解中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的概念,掌握中心對(duì)稱的性質(zhì),并能畫一個(gè)簡(jiǎn)單幾何圖形關(guān)于一點(diǎn)對(duì)稱的圖形;(2)經(jīng)歷中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形概念的形成過(guò)程,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),感受數(shù)學(xué)美;(3)經(jīng)歷本節(jié)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程,形成相應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu),感悟積累“從一般到特殊考察特例”“概念是基礎(chǔ)和核心”等數(shù)學(xué)研究思路和經(jīng)驗(yàn).

    2 課例簡(jiǎn)錄

    2.1 板塊一:從旋轉(zhuǎn)到中心對(duì)稱

    問(wèn)題1請(qǐng)你用數(shù)學(xué)的眼光觀察幾幅揚(yáng)州剪紙(圖1),并用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言介紹這幾幅剪紙作品.

    圖1 揚(yáng)州剪紙

    設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生用旋轉(zhuǎn)變換的視角分析這些剪紙作品,復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)為發(fā)現(xiàn)、研究旋轉(zhuǎn)的特例——中心對(duì)稱提供直觀素材.

    問(wèn)題2旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱都是圖形變換方式,過(guò)去我們是如何研究旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的?

    設(shè)計(jì)意圖師生共同回顧旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的研究思路,揭示圖形變換的一般研究路徑:實(shí)例→概念→性質(zhì)→應(yīng)用→整體視角(即軸對(duì)稱圖形或中心對(duì)稱圖形),為中心對(duì)稱的學(xué)習(xí)規(guī)劃路徑.

    問(wèn)題3研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象我們一般會(huì)繼續(xù)考察它的特例,如一般軸對(duì)稱研究后,我們繼續(xù)研究了線段中垂線、角平分線、等腰三角形等特殊軸對(duì)稱圖形.結(jié)合剪紙作品思考,如果繼續(xù)研究旋轉(zhuǎn),我們可能會(huì)研究什么?旋轉(zhuǎn)有哪些特例?

    設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)例(剪紙作品)研究旋轉(zhuǎn)的特例——繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°的情況,揭示中心對(duì)稱課題,體會(huì)旋轉(zhuǎn)與中心對(duì)稱之間“一般與特殊”的關(guān)系,把中心對(duì)稱置于旋轉(zhuǎn)變換的整體結(jié)構(gòu)體系之中.

    2.2 板塊二:研究中心對(duì)稱

    (1)從實(shí)例到概念

    問(wèn)題4再看雙魚剪紙(圖2),請(qǐng)用旋轉(zhuǎn)變換的視角介紹一下這幅作品.

    圖2 雙魚剪紙 圖3

    問(wèn)題5先操作:①用一張透明紙覆蓋在圖3上,描出四邊形ABCD;②用大頭針釘在點(diǎn)O處,將四邊形ABCD繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,你有什么發(fā)現(xiàn)?

    問(wèn)題6你能歸納一下中心對(duì)稱的概念嗎?

    設(shè)計(jì)意圖從生活現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí),從觀察分析到動(dòng)手操作,讓學(xué)生從實(shí)例中分析中心對(duì)稱的本質(zhì)屬性,進(jìn)而歸納中心對(duì)稱的概念,結(jié)合圖形介紹對(duì)稱中心、對(duì)應(yīng)點(diǎn)等概念,讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程.

    (2)從概念到性質(zhì)

    問(wèn)題7在圖3中,分別連結(jié)關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A和A′,B和B′,C和C′,D和D′,你發(fā)現(xiàn)了什么?

    問(wèn)題8如何說(shuō)明你的發(fā)現(xiàn)是正確的?

    設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生在操作的基礎(chǔ)上,猜想“成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中,對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心,且被對(duì)稱中心平分”,并回歸中心對(duì)稱的概念說(shuō)明猜想的正確性,從而得到中心對(duì)稱的性質(zhì).

    (3)從性質(zhì)到應(yīng)用

    問(wèn)題9如圖(圖略),①畫出點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)A′;②畫出線段AB關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的線段A′B′;③畫出與△ABC關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的△A′B′C′.

    設(shè)計(jì)意圖從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,應(yīng)用中心對(duì)稱性質(zhì)作中心對(duì)稱圖形,鞏固中心對(duì)稱性質(zhì).

    2.3 板塊三:整體視角看中心對(duì)稱

    問(wèn)題10由圖4中的兩幅圖你想到了什么?軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形之間有什么區(qū)別和聯(lián)系?

    圖4 軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形

    設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題逐步出示,通過(guò)列表回顧軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系,為后面研究中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形提供類比對(duì)象.

    問(wèn)題11類似地,存在中心對(duì)稱圖形嗎?請(qǐng)你舉例.

    問(wèn)題12什么是中心對(duì)稱圖形?中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形有什么區(qū)別與聯(lián)系?

    問(wèn)題13觀察下列圖形(圖略),哪些是中心對(duì)稱圖形?

    設(shè)計(jì)意圖學(xué)生類比軸對(duì)稱圖形自己尋找中心對(duì)稱圖形實(shí)例,進(jìn)而自主歸納中心對(duì)稱圖形概念及中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系.

    2.4 板塊四:從中心對(duì)稱到……

    圖5

    問(wèn)題14本節(jié)課你有哪些收獲?還有什么困惑或還想知道什么?

    問(wèn)題15如圖5,已知△ABC和AC邊中點(diǎn)O,如何畫△ABC關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的三角形?動(dòng)手畫一畫,畫成后是一個(gè)什么圖形?

    設(shè)計(jì)意圖通過(guò)畫△ABC關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的圖形,既鞏固復(fù)習(xí)中心對(duì)稱的概念和性質(zhì),又可以自然引出下面即將研究的中心對(duì)稱的特例——平行四邊形.

    問(wèn)題16我們是如何研究中心對(duì)稱的?你有什么體會(huì)和感悟?

    設(shè)計(jì)意圖通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生反思研究歷程,體會(huì)圖形變換主線共同的研究思路:宏觀上從一般到特殊,不斷考察特例,微觀上遵循“實(shí)例→概念→性質(zhì)→應(yīng)用→整體視角”的路徑,感悟圖形變換內(nèi)容概念學(xué)習(xí)的重要性,概念是研究性質(zhì)的基礎(chǔ),而性質(zhì)又是應(yīng)用的基礎(chǔ).通過(guò)上述三個(gè)問(wèn)題的交流,板書形成如圖6所示的知識(shí)結(jié)構(gòu).

    圖6 中心對(duì)稱的上聯(lián)下延板書

    3 課例啟示

    3.1 上聯(lián)下延形成知識(shí)結(jié)構(gòu)

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》在教學(xué)建議中提出:數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué),要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”,把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中,注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系,處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性,體會(huì)對(duì)于某些數(shù)學(xué)知識(shí)可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解.[3]因此,每一節(jié)課的教學(xué)要力求上聯(lián)下延,讓學(xué)生明晰今天所學(xué)習(xí)的知識(shí)從哪里生長(zhǎng)而來(lái),又向哪里延伸而去,明晰知識(shí)的來(lái)龍去脈,讓學(xué)生在一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中學(xué)習(xí)每一個(gè)新知.

    上聯(lián)下延的關(guān)鍵是分析、找準(zhǔn)知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”.如“中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形”課例,宏觀上,中心對(duì)稱是旋轉(zhuǎn)的特例,而平行四邊形又是中心對(duì)稱的特例,因此,中心對(duì)稱的知識(shí)“生長(zhǎng)點(diǎn)”是旋轉(zhuǎn),知識(shí)“延伸點(diǎn)”是平行四邊形,從而形成“旋轉(zhuǎn)→中心對(duì)稱→平行四邊形”宏觀知識(shí)結(jié)構(gòu);微觀上,實(shí)例是中心對(duì)稱概念來(lái)源,中心對(duì)稱概念是其性質(zhì)的基礎(chǔ),性質(zhì)又是其應(yīng)用的基礎(chǔ),從而形成“實(shí)例→概念→性質(zhì)→應(yīng)用”微觀脈絡(luò)線索.

    上聯(lián)下延的類型一般有兩種.一種是“瞻前顧后”,即知識(shí)與其“生長(zhǎng)點(diǎn)”“延伸點(diǎn)”之間呈遞進(jìn)關(guān)系,前面的知識(shí)是后面知識(shí)的邏輯基礎(chǔ),如旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱、平行四邊形三個(gè)知識(shí)之間的關(guān)系,單項(xiàng)式乘法、多項(xiàng)式乘法、完全平方公式三個(gè)知識(shí)之間的關(guān)系等;另一種是“左顧右盼”,即知識(shí)與其“生長(zhǎng)點(diǎn)”“延伸點(diǎn)”之間呈并列關(guān)系,如線段中垂線、角平分線和等腰三角形這三個(gè)特殊軸對(duì)稱圖形之間的關(guān)系.

    3.2 一以貫之強(qiáng)化思想聯(lián)系

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出了數(shù)學(xué)學(xué)科的課程性質(zhì):數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué).?dāng)?shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象,基于抽象結(jié)構(gòu),通過(guò)符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等,理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律.[4]這里清晰闡明了數(shù)學(xué)學(xué)科的研究對(duì)象及其來(lái)源、過(guò)程與方法以及研究結(jié)果和作用,從宏觀上指明了研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路、思想與方法,這也是貫穿數(shù)學(xué)每一個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域的一條主線.因此,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)一以貫之,讓學(xué)生感悟貫穿于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容之中的、共同的數(shù)學(xué)研究基本思路和思想方法,強(qiáng)化知識(shí)之間的思想聯(lián)系.

    一以貫之的關(guān)鍵是善于挖掘蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容之中的、共同的一般觀念和思想方法,充分發(fā)揮先行組織者作用,善于類比.如“中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形”課例,“旋轉(zhuǎn)→中心對(duì)稱→平行四邊形”的宏觀知識(shí)結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)含著“從一般到特殊”這個(gè)一般觀念,與八上《軸對(duì)稱圖形》一章“軸對(duì)稱→線段中垂線、角平分線、等腰三角形等特殊軸對(duì)稱圖形”的宏觀研究思路是一脈相承的;中心對(duì)稱與圖形的旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的學(xué)習(xí)一樣,微觀上都遵循“實(shí)例→概念→性質(zhì)→應(yīng)用”的研究路徑,凸顯了概念的基礎(chǔ)和核心地位.因此,“中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形”課例在思想方法上一以貫之,通過(guò)類比繼續(xù)貫徹執(zhí)行軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的研究思路,使蘊(yùn)含于其中的一般觀念和思想方法得以再次應(yīng)用、強(qiáng)化和明晰.

    3.3 兩者結(jié)合落實(shí)上聯(lián)下延、一以貫之

    上聯(lián)下延形成的知識(shí)結(jié)構(gòu)是明線,一以貫之強(qiáng)化的思想聯(lián)系是暗線.思想聯(lián)系本質(zhì)上是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)更高層次的抽象概括和更深層次的理解總結(jié),一以貫之的思想聯(lián)系蘊(yùn)含于上聯(lián)下延的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中;反過(guò)來(lái),一以貫之的思想聯(lián)系又是上聯(lián)下延知識(shí)結(jié)構(gòu)形成的指導(dǎo)思想,指引上聯(lián)下延知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成.兩者緊密結(jié)合可以保證上聯(lián)下延、一以貫之的落實(shí).如“從一般到特殊”的一般觀念蘊(yùn)含于“旋轉(zhuǎn)→中心對(duì)稱→平行四邊形”的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中;反過(guò)來(lái),教師通過(guò)問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生在一般觀念“從一般到特殊”的指引下探究旋轉(zhuǎn)的特例,從而生長(zhǎng)出中心對(duì)稱知識(shí).

    上聯(lián)下延形成知識(shí)結(jié)構(gòu),一以貫之強(qiáng)化思想聯(lián)系,兩者緊密結(jié)合,可以增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性和關(guān)聯(lián)性,有利于發(fā)揮結(jié)構(gòu)和聯(lián)系的力量,揭示數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì),增強(qiáng)知識(shí)的遷移應(yīng)用價(jià)值,促進(jìn)學(xué)生知識(shí)理解和應(yīng)用能力的提升,從而促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí).

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