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    上聯(lián)下延,一以貫之:在結構和聯(lián)系中學習新知
    ——以“中心對稱和中心對稱圖形”課時教學為例*

    2022-11-14 17:07:37石樹偉
    中學數(shù)學雜志 2022年8期
    關鍵詞:概念數(shù)學研究

    石樹偉

    (江蘇省揚州市廣陵區(qū)教研室 225006)

    1 基本情況

    1.1 授課背景

    當前的數(shù)學教學零碎教零碎學現(xiàn)象嚴重,學生學到的都是碎片化的數(shù)學知識,不利于知識的記憶和存儲、提取和運用,不利于數(shù)學核心素養(yǎng)的形成.因此,凸顯知識整體性的單元教學應運而生.但梳理相關文獻發(fā)現(xiàn),當前單元教學的研究多關注價值意義分析、整體目標設計,課時實施則涉及較少或語焉不詳,少量的所謂單元教學案例多是幾節(jié)課連上或在一節(jié)課時間內(nèi)大容量、高強度地灌輸全單元重要知識.然而在相當長的一段時間內(nèi),數(shù)學課堂教學必須面對分課時實施的問題.為解決課時教學如何凸顯知識整體性的問題,筆者提出“課時教學應力求上聯(lián)下延、一以貫之,讓學生在結構和聯(lián)系中學習新知”[1]的教學主張,并在“中心對稱和中心對稱圖形”的課時教學中進行了公開教學嘗試.

    1.2 學情分析

    施教對象為區(qū)屬公辦初中八年級學生,學生數(shù)學基礎一般,學業(yè)水平參差不齊,部分學生抽象思維能力較弱,本節(jié)內(nèi)容的教學需要更多的實例觀察、動手操作等直觀形象手段的參與.

    1.3 內(nèi)容分析

    “中心對稱和中心對稱圖形”是蘇科版初中數(shù)學教材八年級下冊第9章《中心對稱圖形——平行四邊形》的第2節(jié)內(nèi)容[2],是在學習了第1節(jié)“圖形的旋轉”后繼續(xù)探究旋轉特例的自然生長,后續(xù)學習的第3節(jié)“平行四邊形”又是繼續(xù)探究中心對稱特例的自然延伸,教材教學內(nèi)容的安排體現(xiàn)了“從一般到特殊”的研究思路.同時,中心對稱也為后續(xù)平行四邊形的研究提供了圖形變換的視角和工具.

    1.4 教學目標

    (1)了解中心對稱和中心對稱圖形的概念,掌握中心對稱的性質(zhì),并能畫一個簡單幾何圖形關于一點對稱的圖形;(2)經(jīng)歷中心對稱和中心對稱圖形概念的形成過程,發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng),感受數(shù)學美;(3)經(jīng)歷本節(jié)知識的發(fā)生發(fā)展過程,形成相應的知識結構,感悟積累“從一般到特殊考察特例”“概念是基礎和核心”等數(shù)學研究思路和經(jīng)驗.

    2 課例簡錄

    2.1 板塊一:從旋轉到中心對稱

    問題1請你用數(shù)學的眼光觀察幾幅揚州剪紙(圖1),并用數(shù)學的語言介紹這幾幅剪紙作品.

    圖1 揚州剪紙

    設計意圖引導學生用旋轉變換的視角分析這些剪紙作品,復習旋轉的同時為發(fā)現(xiàn)、研究旋轉的特例——中心對稱提供直觀素材.

    問題2旋轉、軸對稱都是圖形變換方式,過去我們是如何研究旋轉和軸對稱的?

    設計意圖師生共同回顧旋轉和軸對稱的研究思路,揭示圖形變換的一般研究路徑:實例→概念→性質(zhì)→應用→整體視角(即軸對稱圖形或中心對稱圖形),為中心對稱的學習規(guī)劃路徑.

    問題3研究一個數(shù)學對象我們一般會繼續(xù)考察它的特例,如一般軸對稱研究后,我們繼續(xù)研究了線段中垂線、角平分線、等腰三角形等特殊軸對稱圖形.結合剪紙作品思考,如果繼續(xù)研究旋轉,我們可能會研究什么?旋轉有哪些特例?

    設計意圖引導學生結合實例(剪紙作品)研究旋轉的特例——繞旋轉中心旋轉180°的情況,揭示中心對稱課題,體會旋轉與中心對稱之間“一般與特殊”的關系,把中心對稱置于旋轉變換的整體結構體系之中.

    2.2 板塊二:研究中心對稱

    (1)從實例到概念

    問題4再看雙魚剪紙(圖2),請用旋轉變換的視角介紹一下這幅作品.

    圖2 雙魚剪紙 圖3

    問題5先操作:①用一張透明紙覆蓋在圖3上,描出四邊形ABCD;②用大頭針釘在點O處,將四邊形ABCD繞點旋轉180°,你有什么發(fā)現(xiàn)?

    問題6你能歸納一下中心對稱的概念嗎?

    設計意圖從生活現(xiàn)實到數(shù)學現(xiàn)實,從觀察分析到動手操作,讓學生從實例中分析中心對稱的本質(zhì)屬性,進而歸納中心對稱的概念,結合圖形介紹對稱中心、對應點等概念,讓學生經(jīng)歷概念的形成過程.

    (2)從概念到性質(zhì)

    問題7在圖3中,分別連結關于點O的對稱點A和A′,B和B′,C和C′,D和D′,你發(fā)現(xiàn)了什么?

    問題8如何說明你的發(fā)現(xiàn)是正確的?

    設計意圖讓學生在操作的基礎上,猜想“成中心對稱的兩個圖形中,對應點的連線經(jīng)過對稱中心,且被對稱中心平分”,并回歸中心對稱的概念說明猜想的正確性,從而得到中心對稱的性質(zhì).

    (3)從性質(zhì)到應用

    問題9如圖(圖略),①畫出點A關于點O對稱的點A′;②畫出線段AB關于點O對稱的線段A′B′;③畫出與△ABC關于點O對稱的△A′B′C′.

    設計意圖從簡單到復雜,應用中心對稱性質(zhì)作中心對稱圖形,鞏固中心對稱性質(zhì).

    2.3 板塊三:整體視角看中心對稱

    問題10由圖4中的兩幅圖你想到了什么?軸對稱與軸對稱圖形之間有什么區(qū)別和聯(lián)系?

    圖4 軸對稱與軸對稱圖形

    設計意圖問題逐步出示,通過列表回顧軸對稱與軸對稱圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系,為后面研究中心對稱與中心對稱圖形提供類比對象.

    問題11類似地,存在中心對稱圖形嗎?請你舉例.

    問題12什么是中心對稱圖形?中心對稱與中心對稱圖形有什么區(qū)別與聯(lián)系?

    問題13觀察下列圖形(圖略),哪些是中心對稱圖形?

    設計意圖學生類比軸對稱圖形自己尋找中心對稱圖形實例,進而自主歸納中心對稱圖形概念及中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系.

    2.4 板塊四:從中心對稱到……

    圖5

    問題14本節(jié)課你有哪些收獲?還有什么困惑或還想知道什么?

    問題15如圖5,已知△ABC和AC邊中點O,如何畫△ABC關于點O對稱的三角形?動手畫一畫,畫成后是一個什么圖形?

    設計意圖通過畫△ABC關于點O對稱的圖形,既鞏固復習中心對稱的概念和性質(zhì),又可以自然引出下面即將研究的中心對稱的特例——平行四邊形.

    問題16我們是如何研究中心對稱的?你有什么體會和感悟?

    設計意圖通過問題引導學生反思研究歷程,體會圖形變換主線共同的研究思路:宏觀上從一般到特殊,不斷考察特例,微觀上遵循“實例→概念→性質(zhì)→應用→整體視角”的路徑,感悟圖形變換內(nèi)容概念學習的重要性,概念是研究性質(zhì)的基礎,而性質(zhì)又是應用的基礎.通過上述三個問題的交流,板書形成如圖6所示的知識結構.

    圖6 中心對稱的上聯(lián)下延板書

    3 課例啟示

    3.1 上聯(lián)下延形成知識結構

    《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》在教學建議中提出:數(shù)學知識的教學,要注重知識的“生長點”與“延伸點”,把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中,注重知識的結構和體系,處理好局部知識與整體知識的關系,引導學生感受數(shù)學的整體性,體會對于某些數(shù)學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解.[3]因此,每一節(jié)課的教學要力求上聯(lián)下延,讓學生明晰今天所學習的知識從哪里生長而來,又向哪里延伸而去,明晰知識的來龍去脈,讓學生在一個知識結構體系中學習每一個新知.

    上聯(lián)下延的關鍵是分析、找準知識的“生長點”與“延伸點”.如“中心對稱和中心對稱圖形”課例,宏觀上,中心對稱是旋轉的特例,而平行四邊形又是中心對稱的特例,因此,中心對稱的知識“生長點”是旋轉,知識“延伸點”是平行四邊形,從而形成“旋轉→中心對稱→平行四邊形”宏觀知識結構;微觀上,實例是中心對稱概念來源,中心對稱概念是其性質(zhì)的基礎,性質(zhì)又是其應用的基礎,從而形成“實例→概念→性質(zhì)→應用”微觀脈絡線索.

    上聯(lián)下延的類型一般有兩種.一種是“瞻前顧后”,即知識與其“生長點”“延伸點”之間呈遞進關系,前面的知識是后面知識的邏輯基礎,如旋轉、中心對稱、平行四邊形三個知識之間的關系,單項式乘法、多項式乘法、完全平方公式三個知識之間的關系等;另一種是“左顧右盼”,即知識與其“生長點”“延伸點”之間呈并列關系,如線段中垂線、角平分線和等腰三角形這三個特殊軸對稱圖形之間的關系.

    3.2 一以貫之強化思想聯(lián)系

    《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確指出了數(shù)學學科的課程性質(zhì):數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的一門科學.數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象,基于抽象結構,通過符號運算、形式推理、模型構建等,理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關系和規(guī)律.[4]這里清晰闡明了數(shù)學學科的研究對象及其來源、過程與方法以及研究結果和作用,從宏觀上指明了研究一個數(shù)學對象的基本套路、思想與方法,這也是貫穿數(shù)學每一個內(nèi)容領域的一條主線.因此,數(shù)學教學應一以貫之,讓學生感悟貫穿于數(shù)學知識內(nèi)容之中的、共同的數(shù)學研究基本思路和思想方法,強化知識之間的思想聯(lián)系.

    一以貫之的關鍵是善于挖掘蘊含于數(shù)學知識內(nèi)容之中的、共同的一般觀念和思想方法,充分發(fā)揮先行組織者作用,善于類比.如“中心對稱和中心對稱圖形”課例,“旋轉→中心對稱→平行四邊形”的宏觀知識結構中蘊含著“從一般到特殊”這個一般觀念,與八上《軸對稱圖形》一章“軸對稱→線段中垂線、角平分線、等腰三角形等特殊軸對稱圖形”的宏觀研究思路是一脈相承的;中心對稱與圖形的旋轉、軸對稱的學習一樣,微觀上都遵循“實例→概念→性質(zhì)→應用”的研究路徑,凸顯了概念的基礎和核心地位.因此,“中心對稱和中心對稱圖形”課例在思想方法上一以貫之,通過類比繼續(xù)貫徹執(zhí)行軸對稱、旋轉的研究思路,使蘊含于其中的一般觀念和思想方法得以再次應用、強化和明晰.

    3.3 兩者結合落實上聯(lián)下延、一以貫之

    上聯(lián)下延形成的知識結構是明線,一以貫之強化的思想聯(lián)系是暗線.思想聯(lián)系本質(zhì)上是對數(shù)學知識結構更高層次的抽象概括和更深層次的理解總結,一以貫之的思想聯(lián)系蘊含于上聯(lián)下延的知識結構之中;反過來,一以貫之的思想聯(lián)系又是上聯(lián)下延知識結構形成的指導思想,指引上聯(lián)下延知識結構的形成.兩者緊密結合可以保證上聯(lián)下延、一以貫之的落實.如“從一般到特殊”的一般觀念蘊含于“旋轉→中心對稱→平行四邊形”的知識結構之中;反過來,教師通過問題串引導學生在一般觀念“從一般到特殊”的指引下探究旋轉的特例,從而生長出中心對稱知識.

    上聯(lián)下延形成知識結構,一以貫之強化思想聯(lián)系,兩者緊密結合,可以增強數(shù)學知識的整體性和關聯(lián)性,有利于發(fā)揮結構和聯(lián)系的力量,揭示數(shù)學知識本質(zhì),增強知識的遷移應用價值,促進學生知識理解和應用能力的提升,從而促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落實.

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