數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)視角下高中生思維敏捷性的培養(yǎng)策略

唐 蕾 唐笑敏

(湖州師范學(xué)院教師教育學(xué)院 313000)

1 引言

數(shù)學(xué)是一門(mén)高度形式化、抽象性和精準(zhǔn)性的學(xué)科，同時(shí)也具有廣泛的應(yīng)用性，所以數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該深入到學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和思維方式層面．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)和思維品質(zhì)之間有著密切聯(lián)系，兩者的培養(yǎng)和發(fā)展是相輔相成的．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)[1]，反映了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所需的六種關(guān)鍵能力[2]．?dāng)?shù)學(xué)思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中個(gè)體差異性的體現(xiàn)[3]，即數(shù)學(xué)思維水平、關(guān)鍵能力的差異，同時(shí)也能體現(xiàn)出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展水平的差異[4]．?dāng)?shù)學(xué)思維是學(xué)生分析、理解數(shù)學(xué)現(xiàn)象，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的著力點(diǎn)，以課堂教學(xué)為平臺(tái)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，本質(zhì)上也是從思維層面系統(tǒng)而完整地發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[5]．因此，在教學(xué)中可以將思維品質(zhì)作為突破口，通過(guò)培養(yǎng)和塑造學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，來(lái)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

在課堂教學(xué)和平時(shí)練習(xí)中，教師和學(xué)生往往容易輕視存在于運(yùn)算中的阻礙，但“不會(huì)算”和“算不對(duì)”通常是導(dǎo)致學(xué)生最終無(wú)法解決問(wèn)題的關(guān)鍵因素．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展并不是簡(jiǎn)單機(jī)械的技能訓(xùn)練，而是運(yùn)算技能和邏輯思維的有效整合[6]，所以在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的過(guò)程中不能忽略思維的作用，其中最為關(guān)鍵和直接的就是思維敏捷性．

2 數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與思維敏捷性

圖1

數(shù)學(xué)運(yùn)算可以用于解決各類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題．高中階段的運(yùn)算過(guò)程遠(yuǎn)不是加減乘除那樣簡(jiǎn)單，它涉及到知識(shí)的綜合運(yùn)用、數(shù)據(jù)處理的方法和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神等，學(xué)生在經(jīng)歷了這一系列數(shù)學(xué)化的活動(dòng)之后所積淀和升華的產(chǎn)物就是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)[7]．目前數(shù)學(xué)教育將其界定為在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)[1]．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算主要表現(xiàn)為理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路和求得運(yùn)算結(jié)果．思維敏捷性是指在思維過(guò)程具有減縮性、快速性的同時(shí)，也要能夠保證思維結(jié)果的準(zhǔn)確性．它不僅是對(duì)思維速度的衡量，也是對(duì)思維效度的要求，并能夠在數(shù)學(xué)運(yùn)算中起到至關(guān)重要的推動(dòng)作用(圖1)．

2.1 理解運(yùn)算對(duì)象：捕捉關(guān)鍵信息

理解運(yùn)算對(duì)象是運(yùn)算的基礎(chǔ)，即明確在問(wèn)題中需要對(duì)誰(shuí)進(jìn)行運(yùn)算，包括了解運(yùn)算對(duì)象的背景、理解運(yùn)算對(duì)象的本質(zhì)、掌握相關(guān)數(shù)學(xué)思想以及具有關(guān)聯(lián)性的概念等．高中階段數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象不僅類(lèi)型多，而且難以理解，更需要學(xué)生反應(yīng)迅速，“數(shù)感”靈敏，抓住問(wèn)題的關(guān)鍵，才能理解為什么要這樣做．

有時(shí)候?qū)W生無(wú)法解得正確答案，不是因?yàn)闆](méi)有解題思路，而是對(duì)運(yùn)算對(duì)象內(nèi)涵的理解出現(xiàn)偏差，浮于表面．例如，若存在大于零的常數(shù)T，使得函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(2x+T)=f(2x)，求函數(shù)y=f(2x)的一個(gè)正周期．許多學(xué)生的答案是T，出現(xiàn)這樣錯(cuò)誤的原因在于沒(méi)有真正理解周期函數(shù)的定義．教材對(duì)周期函數(shù)的定義為“對(duì)函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)稱(chēng)作周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．”這里的關(guān)鍵信息是x，即它所代表的自變量．思維敏捷性較強(qiáng)的學(xué)生能夠敏銳地發(fā)現(xiàn)這一要點(diǎn)，在處理函數(shù)y=f(2x)時(shí)，依然能夠確保自變量為x，而非2x．

2.2 掌握運(yùn)算法則：及時(shí)反思內(nèi)化

運(yùn)算法則是數(shù)學(xué)運(yùn)算的根本，決定運(yùn)算過(guò)程的繁簡(jiǎn)和結(jié)果的正誤．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算法則的表達(dá)形式和使用方式并非一成不變，不能生搬硬套，所以應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)其本質(zhì)，在充分理解和掌握的基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用．思維敏捷性較好的學(xué)生會(huì)及時(shí)反思，這對(duì)學(xué)習(xí)主體深化認(rèn)知是非常重要的，并且能將反思結(jié)果付諸于實(shí)踐，以達(dá)到調(diào)節(jié)控制的目的．反思的過(guò)程并不會(huì)暫緩思考的進(jìn)程，反而會(huì)使得思路更加暢通．

2.3 探究運(yùn)算思路：鎖定最佳方案

運(yùn)算思路是運(yùn)算操作的指示圖，本身應(yīng)當(dāng)具備邏輯性．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)運(yùn)算思路的重要性，并將其與程序思想相結(jié)合，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，要求能夠設(shè)計(jì)、理解運(yùn)算程序，并運(yùn)用程序思想理解和表達(dá)問(wèn)題．

當(dāng)前教學(xué)由于時(shí)間所限，通常會(huì)采用“包辦”式教學(xué)模式，導(dǎo)致大多數(shù)學(xué)生的運(yùn)算思路受到限制，缺少自主探究的機(jī)會(huì)．思維敏捷性可以幫助學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)，將與問(wèn)題有關(guān)的數(shù)字信息自動(dòng)聯(lián)結(jié)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，形成通暢的思維“通道”，甚至是非常規(guī)的路．這不僅可以避免思路的停滯不前，還省去繁瑣的邏輯推理過(guò)程，從而保證思維快速、高效運(yùn)轉(zhuǎn)．例如，求解方程tanx+ cotx=1.5，可以繞過(guò)繁瑣的三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換與計(jì)算，而從等式本身的矛盾出發(fā)解決問(wèn)題．因?yàn)閠anx和cotx在定義域內(nèi)互為倒數(shù)，而一個(gè)正數(shù)與其倒數(shù)之和不小于2，一個(gè)負(fù)數(shù)與其倒數(shù)之和不大于-2，所以tanx+cotx=1.5無(wú)解，從而省去復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程．

2.4 求得運(yùn)算結(jié)果：綜合能力素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算的最終目的是得到準(zhǔn)確結(jié)果，這需要多方因素的合力促成．所以數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是一種綜合性素養(yǎng)，其內(nèi)在是知識(shí)、能力、思維以及情感態(tài)度的綜合體，而外在又以其他素養(yǎng)為依托．例如，可以通過(guò)數(shù)據(jù)分析或數(shù)學(xué)建模對(duì)問(wèn)題中的運(yùn)算對(duì)象進(jìn)行分析，在設(shè)計(jì)運(yùn)算思路時(shí)必然會(huì)用到邏輯推理等．同樣，思維敏捷性并不完全獨(dú)立存在，而是以其他思維品質(zhì)為必要前提，也是其他思維品質(zhì)高度發(fā)展的體現(xiàn)．例如，思維深刻性和廣闊性為思維活動(dòng)能夠觸及到的目標(biāo)問(wèn)題拓展了空間，批判性體現(xiàn)了思維活動(dòng)較強(qiáng)的自我認(rèn)識(shí)和監(jiān)控能力，靈活性和批判性使學(xué)生在擁有廣闊思維方向的同時(shí)又能篩選出新穎的最佳方案．在整個(gè)思維活動(dòng)過(guò)程中，由于這些思維品質(zhì)的共同作用，思維的減縮性、快速性和準(zhǔn)確性得以體現(xiàn)，所以思維敏捷性也并不表現(xiàn)為一個(gè)獨(dú)立的過(guò)程[4]．因此，思維敏捷性可以幫助調(diào)動(dòng)和協(xié)調(diào)運(yùn)算過(guò)程所需的多種因素，以得到最終準(zhǔn)確的結(jié)果．

例如，在求sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°的值時(shí)，通過(guò)觀察和簡(jiǎn)單嘗試可以發(fā)現(xiàn)已知的特殊三角函數(shù)值并不能直接解決這一問(wèn)題，關(guān)鍵在于度數(shù)的變化，需利用二倍角公式、和差化積公式等探尋原式的內(nèi)涵關(guān)系．

在解題過(guò)程中，學(xué)生要擁有足夠的知識(shí)儲(chǔ)備，熟悉此類(lèi)題型的解題技巧以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力，通過(guò)敏捷性靈活調(diào)控，完成解題過(guò)程．

3 培養(yǎng)策略

3.1 思維起點(diǎn)：加快思維啟動(dòng)速度

運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算解決問(wèn)題要從搜集和整合信息開(kāi)始，一方面要在問(wèn)題中尋找突破口，另一方面要在大腦中提取相關(guān)內(nèi)容．學(xué)生對(duì)問(wèn)題信息的反應(yīng)速度是體現(xiàn)思維敏捷性的重要標(biāo)志．要使學(xué)生的思維在面對(duì)眾多信息時(shí)能夠快速啟動(dòng)，這需要培養(yǎng)學(xué)生抓住關(guān)鍵、提綱挈領(lǐng)的能力．

首先，關(guān)鍵信息是反映數(shù)量關(guān)系的“紐帶”，是解決問(wèn)題的突破口．面對(duì)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生的思維要“輕裝上陣”，精簡(jiǎn)思緒，集中注意力于關(guān)鍵信息．教師可以引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成勾畫(huà)關(guān)鍵信息、人為突出重點(diǎn)的習(xí)慣，也可以利用數(shù)形結(jié)合或構(gòu)建數(shù)量圖表的方式，直觀反映數(shù)量之間的關(guān)系．其次，要想做到快速提取，就要優(yōu)化學(xué)生的知識(shí)存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，在教學(xué)中要有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生用結(jié)構(gòu)圖、思維導(dǎo)圖、程序圖以及表格等多種形式來(lái)對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的整理，使知識(shí)結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化[8]．這不僅要注意知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，還要把握知識(shí)之間的層次邏輯關(guān)系，并給知識(shí)網(wǎng)絡(luò)留下延伸的空間．例如，求解數(shù)列求和問(wèn)題的一般方式是通過(guò)變形，轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問(wèn)題，或轉(zhuǎn)化為其他常見(jiàn)的、已知公式的數(shù)列問(wèn)題．最基本的方法就是直接利用公式求和，還有分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等．在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生理解這些方法的本質(zhì)和特性以及這些方法間的聯(lián)系，在解決問(wèn)題中善于總結(jié)所用方法，并在實(shí)踐與解決問(wèn)題的過(guò)程中探索新方法．

3.2 思維路徑：開(kāi)辟思維多向通道

學(xué)生反應(yīng)遲鈍，解決問(wèn)題緩慢，常常表現(xiàn)在對(duì)問(wèn)題無(wú)從下手、思維局限、沒(méi)有思考的方向．學(xué)生有“法”可循，有“路”可行，方有敏捷性可言．選擇一條正確合適的思維路徑，一是需要有創(chuàng)新意識(shí)，沒(méi)有一種方法是可以一勞永逸解決所有問(wèn)題的．例如，通過(guò)一題多解的訓(xùn)練，可以開(kāi)拓學(xué)生的思路，教師在教學(xué)中可以給學(xué)生預(yù)留部分空間和時(shí)間，讓學(xué)生自主探究和生成，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力．二是需要在思考過(guò)程中做出判斷，及時(shí)調(diào)整策略，通過(guò)反思不斷優(yōu)化思維過(guò)程．反思監(jiān)控是一種思維能力，更是一種情感態(tài)度，讓學(xué)生養(yǎng)成監(jiān)控運(yùn)算過(guò)程的習(xí)慣，不僅能有效提高學(xué)生的思維敏捷性，更能幫助學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)、一絲不茍的科學(xué)精神．

例如，設(shè)(x2-x+1)6=a12x12+a11x11+…+a1x+a0，求a12+a10+…+a2+a0的值．觀察題目信息，直接將(x2-x+1)6展開(kāi)，按要求進(jìn)行計(jì)算可得到答案，但計(jì)算量、計(jì)算難度和式子的復(fù)雜程度對(duì)學(xué)生的能力都是極大考驗(yàn)，并不能稱(chēng)之為最佳方法．在“算不下去”的情況下，引導(dǎo)學(xué)生思考所給等式左右兩端有什么特點(diǎn)？能否給x賦予特殊的值，使式子變得簡(jiǎn)單？撇開(kāi)之前的方法，開(kāi)啟新的思路，不難發(fā)現(xiàn)所要求的式子是以和的形式出現(xiàn)的偶數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)，可以將其看作一個(gè)整體來(lái)求值，沒(méi)有必要得出各自的值再相加，依據(jù)條件，通過(guò)給x賦特殊的值，可以得到a12,…,a0的不同的等量關(guān)系．

3.3 思維進(jìn)程：縮短思維運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間

思維過(guò)程通常會(huì)出現(xiàn)許多轉(zhuǎn)換點(diǎn)，影響思維進(jìn)程快慢曲折的關(guān)鍵就是這些轉(zhuǎn)換點(diǎn)．在數(shù)學(xué)活動(dòng)中思維敏捷性表現(xiàn)為能縮短運(yùn)算環(huán)節(jié)和推理過(guò)程，“直接”得出結(jié)果．這一方面體現(xiàn)在學(xué)生思維的熟練程度上，另一方面體現(xiàn)在學(xué)生的概括能力上．

思維定向訓(xùn)練不等同于形成思維定勢(shì)．它通過(guò)訓(xùn)練讓學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)善于思考，并能夠?qū)⑦^(guò)程中的要點(diǎn)進(jìn)行分析，整理已知條件，盡快形成明確的解題思路，以提升學(xué)生解決問(wèn)題的熟練程度．思維定向訓(xùn)練猶如航行中的地圖，讓學(xué)生預(yù)先了解在這段思維進(jìn)程中，哪里有“彎道”，哪里有“陷阱”，哪里有“捷徑”，從而略過(guò)簡(jiǎn)單機(jī)械的步驟，避免可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，縮短思維運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間．例如，求解排列組合應(yīng)用問(wèn)題的基本思想是先對(duì)問(wèn)題分類(lèi)，然后在每一類(lèi)中分步，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，計(jì)算各類(lèi)的數(shù)目，最后根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算總數(shù)目．對(duì)較為復(fù)雜的排列組合題目，要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分解，應(yīng)用加法原理或乘法原理來(lái)解決，一般遵循“先組合后排列”的原則．

4 總結(jié)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生主要依靠數(shù)學(xué)思維來(lái)思考和解決問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)思維品質(zhì)就是思維主體在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所表現(xiàn)出的個(gè)性差異．因而個(gè)體的思維品質(zhì)必然會(huì)影響到個(gè)體本身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展．在這種情況下，可以通過(guò)對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，達(dá)到促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的目的．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)不可或缺的重要組成部分，思維敏捷性助力于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展，在理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、求得運(yùn)算結(jié)果等環(huán)節(jié)中起到了重要作用．為了培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性，需要遵循思維展開(kāi)的過(guò)程，從思維起點(diǎn)、路徑和進(jìn)程入手，有針對(duì)性地進(jìn)行訓(xùn)練，使思維達(dá)到快速、減縮、準(zhǔn)確的要求．無(wú)論是素養(yǎng)的發(fā)展還是思維的培養(yǎng)都是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，都需教師細(xì)心栽培，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，為學(xué)生的全面發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．