指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的高考數(shù)學(xué)試題研究
——以2022年全國卷、新高考卷為例

葉德偉

(浙江大學(xué)教育學(xué)院 310028)

何羽茜

(浙江省杭州高級(jí)中學(xué)錢江校區(qū) 310021)

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一[1]5．?dāng)?shù)學(xué)建模過程既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的相互作用，又離不開數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想的運(yùn)用．?dāng)?shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展必然會(huì)帶動(dòng)其他數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的進(jìn)步，而其他數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)又是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展的重要基礎(chǔ)．[2]因此，在教學(xué)實(shí)踐中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)就顯得尤為重要．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下簡稱《課標(biāo)2017》)指出高考命題應(yīng)注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能的關(guān)系，充分考慮對(duì)教學(xué)的積極引導(dǎo)作用[1]88．由此可見，數(shù)學(xué)高考試題是評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要載體之一，其對(duì)師生開展日常數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評(píng)價(jià)提供了重要依據(jù)．因此，本文以2022年高考數(shù)學(xué)全國卷、新高考卷共計(jì)六份試卷為研究對(duì)象，分析高考試卷中指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題的分布、水平層次和命題特征，尋找數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)與評(píng)價(jià)的融合點(diǎn)，為開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)、提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)提供若干建議．

1 指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題在高考數(shù)學(xué)試卷中的分布

根據(jù)《課標(biāo)2017》對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的界定，我們將指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題界定為學(xué)生需要對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型才能解決的問題[1]5．初步對(duì)2022年高考數(shù)學(xué)全國卷、新高考卷進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)每份試卷都有試題指向?qū)W生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展．進(jìn)一步對(duì)這些試卷中指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題題型、背景、分值等信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)鮑建生[3]、葉立軍[4]、姜浩哲[5]等人的研究，將試題中所涉及的數(shù)學(xué)建模背景分為個(gè)人生活、社會(huì)生活、數(shù)學(xué)文化和科學(xué)研究四類，結(jié)果如表1所示．

根據(jù)表1可以看出，指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題總分在不同高考試卷中差距較大，其中最高的為全國甲卷(文科)29分，最低為新高考Ⅰ卷17分．從試題類型上看，指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題主要分布在選擇題與解答題中，少數(shù)分布在填空題中．從數(shù)學(xué)建模背景類型上看，涉及的數(shù)學(xué)建模背景以社會(huì)生活背景為主，以個(gè)人生活、科學(xué)研究、數(shù)學(xué)文化背景為輔，重視考查學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活、社會(huì)生產(chǎn)問題的能力．

表1 2022年高考數(shù)學(xué)全國卷、新高考卷指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題相關(guān)信息

續(xù)表

2 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在高考試題中的水平層次

要研究高考試題對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查水平層次，就必須要依托一套科學(xué)的核心素養(yǎng)形成水平劃分標(biāo)準(zhǔn)．本文根據(jù)喻平[6]提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)框架，結(jié)合《課標(biāo)2017》[1]103對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平的界定，確定了如表2所示的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平編碼表．

表2 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平編碼表

根據(jù)表2所建構(gòu)的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平編碼表，對(duì)2022年高考數(shù)學(xué)全國卷、新高考卷中指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題進(jìn)行編碼，統(tǒng)計(jì)各水平數(shù)學(xué)建模試題的數(shù)量①（1）①由于并未公布解答題各小題的分值，因此統(tǒng)計(jì)各水平數(shù)學(xué)建模試題的數(shù)量..其中，此處的試題數(shù)量并非與題號(hào)一一對(duì)應(yīng)，而是學(xué)生實(shí)際需要作答的任務(wù)量，例如，全國甲卷(理科)第19題共有2小題，則試題數(shù)量記為2．

編碼過程由兩位高中數(shù)學(xué)教師共同完成，兩人先依據(jù)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平編碼表獨(dú)立對(duì)2022年高考數(shù)學(xué)全國卷、新高考卷中指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題進(jìn)行編碼，再經(jīng)過多輪討論、協(xié)商并結(jié)合專家意見，最終得到各水平數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的編碼數(shù)據(jù)，具體如表3所示．

表3 2022年高考數(shù)學(xué)全國卷、新高考卷中各水平

由表3可知，高考試卷中指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平的考查以知識(shí)理解和知識(shí)遷移為主，主要考查學(xué)生在熟悉情境中 運(yùn)用學(xué)過的數(shù)學(xué)模型解決問題或選擇合適的數(shù)學(xué)模型解決問題的能力；對(duì)知識(shí)創(chuàng)新水平的考查為輔，弱化對(duì)學(xué)生建構(gòu)模型以解決非常規(guī)問題的要求．

3 指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題在高考試卷中的命題特征

3.1 以個(gè)人生活為媒介，解決身邊的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)的應(yīng)用已滲透到人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€(gè)方面．學(xué)生將個(gè)人生活中所遇到的現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，尋找合適的數(shù)學(xué)模型解決問題，體驗(yàn)在實(shí)際生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行科學(xué)決策的過程，既能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，更能讓學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)．

圖1

例1(2022年數(shù)學(xué)全國甲卷(文科)第19題)小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖1所示：底面ABCD是邊長為8(單位：cm)的正方形，△EAB,△FBC，△GCD，△HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.

(1)證明：EF∥平面ABCD；

(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的 厚度).

3.2 以社會(huì)生活為素材，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的社會(huì)功用，發(fā)展關(guān)鍵能力

數(shù)學(xué)作為一門被廣泛使用的學(xué)科，可以幫助人們?cè)谏鐣?huì)生產(chǎn)中搜集與處理信息、描述現(xiàn)象、探索規(guī)律，從而提高生產(chǎn)效率．高考數(shù)學(xué)試題通過真實(shí)的社會(huì)生活情境讓學(xué)生建立一些基于數(shù)學(xué)表達(dá)的經(jīng)濟(jì)模型和社會(huì)模型，用模型的思想尋找生產(chǎn)中的最優(yōu)解，既使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)對(duì)社會(huì)價(jià)值創(chuàng)造、生產(chǎn)力發(fā)展的重要作用，又讓學(xué)生形成了解決社會(huì)生產(chǎn)問題的能力．

A.1.0×109m3B.1.2×109m3

C.1.4×109m3D.1.6×109m3

3.3 以數(shù)學(xué)文化為載體，重走數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之路，體現(xiàn)古人智慧

數(shù)學(xué)文化凝聚了古人的數(shù)學(xué)成就．以古人發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律過程為載體的高考試題，要求學(xué)生將古人的數(shù)學(xué)成就與所學(xué)數(shù)學(xué)模型聯(lián)結(jié)，重走古人認(rèn)識(shí)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律之路，讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟我國古代勞動(dòng)人民的智慧、體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)古代社會(huì)發(fā)展重要作用的同時(shí)，更有助于樹立學(xué)生的文化自信，形成數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與文化傳承的二元互動(dòng)．

圖2

3.4 以科學(xué)研究為線索，實(shí)現(xiàn)學(xué)科深度融合，彰顯學(xué)科地位

數(shù)學(xué)是進(jìn)行科學(xué)研究的重要基礎(chǔ)．?dāng)?shù)學(xué)理論的發(fā)展使得眾多科學(xué)問題得到解決，加快了人們認(rèn)識(shí)自然、認(rèn)識(shí)世界的進(jìn)程．高考試題依托科學(xué)研究的背景，要求學(xué)生提取科學(xué)信息中的關(guān)鍵要素，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型以解決復(fù)雜科學(xué)問題、闡釋科學(xué)規(guī)律，顯化數(shù)學(xué)模型的科學(xué)含義，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科與科學(xué)學(xué)科的深度融合，不僅有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，更能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的工具性和技術(shù)性價(jià)值．

A.b1

C.b6

評(píng)析 本題以研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值為背景，要求學(xué)生根據(jù)題目條件理解數(shù)列{bn}中的αk，根據(jù)作差法或不等式的性質(zhì)比較數(shù)列各項(xiàng)的大小關(guān)系，通過排除法得到結(jié)論．該題主要考查數(shù)列各項(xiàng)大小的比較、數(shù)列的性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)對(duì)科學(xué)發(fā)展的重要作用．

4 提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的教學(xué)建議

4.1 加強(qiáng)整體設(shè)計(jì)，挖掘優(yōu)質(zhì)建模問題情境

研究發(fā)現(xiàn)，目前指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題在高考試卷中已占有一定比重(17～29分)，高考試題以個(gè)人生活、社會(huì)生活、科學(xué)研究、數(shù)學(xué)文化中的相關(guān)問題為背景，引導(dǎo)學(xué)生解決身邊的、社會(huì)中的復(fù)雜數(shù)學(xué)問題，探究科學(xué)研究、數(shù)學(xué)典籍中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想．日常教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)建模情境，提升情境的真實(shí)水平，帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)關(guān)系、提出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型以解決問題．具體來看，首先，優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)建模情境必須是真實(shí)且有意義的，例如以提高新冠肺炎檢測(cè)效率為問題情境開展分布列內(nèi)容的教學(xué)；其次，數(shù)學(xué)建模問題情境必須是與學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)、思維水平相匹配的挑戰(zhàn)性問題，例如引入放射性物質(zhì)衰減的問題情境開展指數(shù)函數(shù)的教學(xué)；最后，優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)建模問題情境必須是學(xué)生感興趣的、能夠激發(fā)學(xué)生問題解決積極性的，例如以探究民間折紙藝術(shù)中對(duì)折次數(shù)與對(duì)折后總面積的關(guān)系為問題情境進(jìn)行數(shù)列求和內(nèi)容的教學(xué)．

4.2 探索融入方式，優(yōu)化數(shù)學(xué)建模教學(xué)路徑

高考試卷中指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題的問題情境與學(xué)生的問題解決過程基本是緊密聯(lián)系的，例如，給出某一林區(qū)樹木根部橫截面積與材積量的數(shù)據(jù)，要求學(xué)生建立模型計(jì)算兩者的樣本相關(guān)系數(shù)．因此，教師應(yīng)探索數(shù)學(xué)建模教學(xué)的合適路徑，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．具體看，有三種教學(xué)路徑：其一，在數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，例如，在解三角形教學(xué)過程中，可引入測(cè)量旗桿高度的問題，要求學(xué)生運(yùn)用解三角形的知識(shí)建立模型解決問題；其二，在數(shù)學(xué)方法教學(xué)的過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，例如可以引入推測(cè)未來人口數(shù)量的問題，要求學(xué)生運(yùn)用歸納法建立模型解決問題；其三，在數(shù)學(xué)思想內(nèi)化的過程中，可引入計(jì)算太陽系某行星運(yùn)動(dòng)軌道的問題，要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想建立模型解決問題．

4.3 開發(fā)課程資源，推動(dòng)真實(shí)建模過程發(fā)生

指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的試題通過還原現(xiàn)實(shí)生活情境，如調(diào)查垃圾分類講座效果、統(tǒng)計(jì)課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長，考查學(xué)生利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想表達(dá)、解決生產(chǎn)生活中復(fù)雜問題的能力．為提升學(xué)生應(yīng)對(duì)復(fù)雜問題的能力，教師應(yīng)整合可用的課程資源，帶領(lǐng)學(xué)生走出課堂，挖掘生產(chǎn)生活現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)元素，在開展個(gè)人決策、社會(huì)調(diào)查、科學(xué)研究、數(shù)學(xué)典籍閱讀等活動(dòng)的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)生產(chǎn)生活、科技進(jìn)步、社會(huì)發(fā)展的作用，使學(xué)生具體化、情景化、體驗(yàn)化、互動(dòng)化地感知和參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，切實(shí)理解復(fù)雜問題、現(xiàn)象背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想，推動(dòng)真實(shí)數(shù)學(xué)建模過程的發(fā)生，從而提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．以“某市階梯電價(jià)的設(shè)計(jì)”項(xiàng)目為例，教師可要求學(xué)生設(shè)計(jì)問卷，隨機(jī)調(diào)查若干小區(qū)住戶的月用電量；接著，根據(jù)調(diào)查所獲得的數(shù)據(jù)查閱資料、訪談專家以探究階梯電價(jià)分檔、臨界值的設(shè)定原則和方法，建構(gòu)某市階梯電價(jià)設(shè)定模型；最后，隨機(jī)選取居民開展調(diào)查，檢驗(yàn)、闡釋所建構(gòu)模型的科學(xué)性．學(xué)生在解決真實(shí)項(xiàng)目問題的過程中，學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，建立起解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的思維框架，從而有效發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．

4.4 完善教學(xué)評(píng)價(jià)，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)落地

數(shù)學(xué)高考試題是開展數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)價(jià)的重要導(dǎo)向．研究發(fā)現(xiàn)，指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的高考試題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平的評(píng)價(jià)已涉及知識(shí)理解、知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新水平，學(xué)生需要努力理解試題中的真實(shí)情境，才能順利建立模型以解決問題．與之相適應(yīng)的，教師應(yīng)在日常教學(xué)過程中通過教學(xué)評(píng)價(jià)幫助學(xué)生理解真實(shí)問題情境及其背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想，使數(shù)學(xué)建模試題中的真實(shí)問題情境成為學(xué)生解決日常數(shù)學(xué)問題的“必需品”而非“附屬品”，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平．具體看，可以根據(jù)數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平的劃分標(biāo)準(zhǔn)、高考數(shù)學(xué)建模試題的具體特點(diǎn)，以知識(shí)理解和知識(shí)遷移水平為主、知識(shí)創(chuàng)新水平為輔，按比例設(shè)計(jì)不同素養(yǎng)水平的數(shù)學(xué)建模習(xí)題，從而確保學(xué)生既不會(huì)因?yàn)槔斫怆y度過大而對(duì)數(shù)學(xué)建模試題產(chǎn)生畏懼心理，也不會(huì)因數(shù)學(xué)知識(shí)與真實(shí)情境結(jié)合膚淺生硬而失去解決真實(shí)問題、提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的機(jī)會(huì)．