大師的智慧與啟示：從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)研究(上)

鄭毓信

(南京大學(xué)哲學(xué)系 210093)

如何才能成為數(shù)學(xué)的行家里手？本文將按照從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)研究這一順序?qū)Υ俗鞒龊喴姆治觯詫?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)研究聯(lián)系在一起，是因為兩者有很多的共同點，特別是，“主動探究”或“再創(chuàng)造”意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)其性質(zhì)可以說是與數(shù)學(xué)研究十分一致的，盡管兩者在層次或難度上有一定差異．本文還可以視為“學(xué)生如何才能學(xué)好數(shù)學(xué)”一文[1]的姐妹篇，主要的區(qū)別在于：前者所關(guān)注的主要是一般學(xué)生如何能夠通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有更大的收獲，而不論其將來是否會從事數(shù)學(xué)或其他與數(shù)學(xué)密切相關(guān)的工作，后者則以對數(shù)學(xué)有特別興趣，甚至已選定數(shù)學(xué)作為未來的職業(yè)，乃至這一行業(yè)的新進(jìn)入者作為主要對象．本文集中反映了筆者由閱讀華羅庚、陳省身、丘成桐等著名數(shù)學(xué)家的相關(guān)論著[2-4]在這方面的主要收獲，希望通過介紹、分析也能引起青年一代更多的重視．

1 從“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”談起

首先，應(yīng)當(dāng)清楚認(rèn)識“學(xué)會學(xué)習(xí)”包括“學(xué)會自學(xué)”的重要性．這正是華羅庚先生特別強調(diào)的一點：“講自學(xué)，實際上不是神秘的東西．對一個人來講，一輩子總是自學(xué)的時候多，不在學(xué)校的時候多，沒有老師比有老師的時候多……社會在前進(jìn)，事物在發(fā)展，歷史上的人才總是青出于藍(lán)勝于藍(lán)．為什么？就是學(xué)生除了從老師那里學(xué)以外，還多一個自學(xué)……對一個人來講，沒有老師是經(jīng)常的，一般情況下大多是靠自己學(xué)習(xí)．”[2]293

聯(lián)系現(xiàn)代社會的發(fā)展可以更好地理解“學(xué)會學(xué)習(xí)”的重要性，包括我們?yōu)槭裁磻?yīng)當(dāng)牢固樹立“終身學(xué)習(xí)”這樣一個思想：“隨著流動的速度加快，它會漸漸掏空過去給我們帶來安全和財富的存量知識．”“你在學(xué)校里學(xué)到的那些知識，可能你還沒有出學(xué)校的大門，就已經(jīng)變得過時了．”正因為此，我們必須切實提高自身的學(xué)習(xí)能力：“你必須知道更多，你必須更加頻繁地更新知識，你必須運用知識做更多創(chuàng)造性的工作，而不僅僅是完成常規(guī)工作．”[5]

上述引言表明，“學(xué)習(xí)”主要地被看成一種創(chuàng)造性的勞動，或者說，我們應(yīng)將此看成“學(xué)會學(xué)習(xí)”最重要的一個涵義，包括通過學(xué)校學(xué)習(xí)為將來從事研究工作做好必要的準(zhǔn)備．

為了清楚地說明問題，在此提及筆者先前一直持有的一個想法：由于自己所接受的大學(xué)教育是師范教育，但在后來的學(xué)術(shù)生涯中研究則可說占據(jù)了十分重要的地位，因此，這就是自己在很長時間內(nèi)的一個遺憾，即覺得師范教育未能教會我如何從事研究工作，從而對于后來的發(fā)展也就有一定的影響，盡管自己在校期間的學(xué)習(xí)成績一直不錯．但是，華羅庚先生的經(jīng)歷在這方面為我們樹立了直接的范例：他所接受的正規(guī)教育只到初中，自然就談不上任何真正的研究，他卻完全依靠自身的努力，即主要通過自學(xué)成了世界著名的數(shù)學(xué)家．由此可見，為了做好由學(xué)習(xí)向研究的轉(zhuǎn)變，關(guān)鍵并不在于外部的引領(lǐng)，而是我們自身在這一方面是否具有足夠的自覺性，因為，真正的學(xué)習(xí)已包含有研究的成分．

由華羅庚先生的以下論述我們可以對此有更好的理解：

“應(yīng)該怎樣學(xué)會讀書呢？我覺得，在學(xué)習(xí)書本上的每一問題、每一章節(jié)的時候，首先應(yīng)該不只看到書面上，而且還要看到書背后的東西．這就是說，對書本的某些原理、定律、公式，我們在學(xué)習(xí)的時候，不僅應(yīng)該記住它的結(jié)論，懂得它的道理，而且還應(yīng)該設(shè)想一下人家是怎樣想出來的，經(jīng)過多少曲折，攻破多少關(guān)鍵，才得出這個結(jié)論的．而且還不妨進(jìn)一步設(shè)想一下，如果書本上還沒有作出結(jié)論，我自己設(shè)身處地，應(yīng)該怎樣得出這個結(jié)論？……

“如果說前一步的工作可以叫作‘支解’的工作，那么，第二步我們就需要做‘綜合’的工作．這就是說，在對書中的每一個問題都經(jīng)過細(xì)嚼慢咽，真正懂得之后，就需要進(jìn)一步把全書各部分內(nèi)容串連起來理解，加以融會貫通，從而弄清楚什么是書中的主要問題，以及各個問題之間的關(guān)聯(lián)．這樣我們就能抓住統(tǒng)帥全書的基本線索，貫穿全書的精神實質(zhì)……青年同學(xué)讀書要學(xué)會消化．我常見有些同學(xué)在考試前要求老師指出重點，這就反映了他們讀書還沒有抓住重點，還沒有消化．靠老師指出重點不是好辦法，主要的應(yīng)當(dāng)是自己抓重點．”[2]170-171

華羅庚先生曾依據(jù)自己的經(jīng)驗對如何做好上述兩個方面的工作給出了一些具體建議：

第一，想要相對獨立地做出書上的發(fā)現(xiàn)并不容易，因此，學(xué)習(xí)中一定不要貪多，不要怕慢．

例如，華羅庚先生的一個親身體驗：“學(xué)習(xí)是艱苦的勞動，只要刻苦鉆研，不怕困難，沒有解決不了的問題，旁的同學(xué)用一小時能解決的問題，我就準(zhǔn)備用兩小時解決．是不是別人一小時的工作，我一定要用兩小時呢？那也不見得．由于我不斷地刻苦練習(xí)，后來別人要花一小時才能解決的問題，我往往只要用半小時，甚至更短的時間就解決了．”[2]110

當(dāng)然，刻苦練習(xí)不是指“原地打轉(zhuǎn)”，我們也不應(yīng)片面地強調(diào)“鉆難題”．就如華羅庚先生所指出的：“打好基礎(chǔ)，并不是叫大家老是在原地方踱步打圈子，把同一類型的書翻來覆去看上很多遍．譬如過去有些人研究數(shù)學(xué)，把同樣程度的幾本微積分都收集起來，每本都從頭到尾看，甚至把書上的習(xí)題都重復(fù)地做幾遍，這是一種書呆子的讀書方法，毫無實際意義．”“給學(xué)生出了很多難題，以‘培養(yǎng)’數(shù)學(xué)競賽的優(yōu)勝者．我們必須反對，因為這是貽誤青年的有害的做法．很明顯，從做難題入手，是不會收到好的效果的．縱使學(xué)生做了一個類型的難題，而對另一類型，卻依然是生疏，并且難題是很多的，層出不窮的，又哪里做得完呢？單靠做些奇奇怪怪的難題，是鍛煉不出很高的才能的．只有掌握了原則，才能無往不利，才能創(chuàng)造性地靈活運用，因而才能有所創(chuàng)造．”[2]126,136

顯然，從同一角度我們可以更好地理解“做題”的作用，包括如何才能通過做題有更大的收獲．“培養(yǎng)獨立思想的第一步，還是打好基礎(chǔ)，多做習(xí)題，肯動腦筋，深入地了解定理、定律、公式的來龍去脈，但最好再想一下，那些結(jié)論別人是怎樣想出來的，如果能看得出人家是怎樣想出來的，那么自己也就有可能想出新東西來了．”[2]198

第二，依據(jù)華羅庚先生關(guān)于“由薄到厚”和“由厚到薄”過程的分析我們可以對他所說的“綜合性工作”有更好的了解：“要真正打好基礎(chǔ)，有兩個必經(jīng)的過程，即‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的過程．‘由薄到厚’是學(xué)習(xí)、接受的過程，‘由厚到薄’是消化、提煉的過程．譬如我們讀一本書，厚厚的一本，加上自己的注解，就愈讀愈厚，我們所知道的東西也就‘由薄到厚’了．但是，這個過程主要是個接受和記憶的過程，‘學(xué)’并不到此為止，‘懂’并不到此為透．要真正學(xué)會學(xué)懂還必須經(jīng)過‘由厚到薄’的過程，即把那些學(xué)到的東西，經(jīng)過咀嚼、消化，融會貫通，提煉出關(guān)鍵性的問題來．我們常有這樣的體會：當(dāng)你讀一本書或是看一疊資料的時候，如果對它們的內(nèi)容和精神做到了深入鉆研，透徹了解，掌握了要點和關(guān)鍵，你就會感到這本書和這疊資料變薄了．這看起來你得到的東西似乎比以前少了，但實質(zhì)上經(jīng)過消化，變成精煉的東西了．不僅僅在量中兜圈子，而有質(zhì)的提高了．只有經(jīng)過消化提煉的過程，基礎(chǔ)才算是鞏固了．”[2]187-188

筆者在這方面還有這樣一些具體體會：

(1)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)研究之間不存在絕對界限，關(guān)鍵在于我們是否具有足夠的自覺性，即能否以研究的精神從事學(xué)習(xí)，包括通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步地學(xué)會研究．

在筆者看來，我們或許應(yīng)當(dāng)從這一角度去理解這樣的主張：我們應(yīng)當(dāng)將“做數(shù)學(xué)”或所謂的“再創(chuàng)造”看成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要途徑．

當(dāng)然，又如前面所已提及的，想要做到這一點并不容易，因此，現(xiàn)實中我們必須十分重視“量”與“難度”的控制．另外，從教學(xué)的角度看，在積極鼓勵學(xué)生主動探究的同時，教師也應(yīng)給學(xué)生必要的幫助與指導(dǎo)．

進(jìn)而，聯(lián)系數(shù)學(xué)教育目標(biāo)進(jìn)行分析，特別是，考慮到并非所有學(xué)生將來都會直接從事數(shù)學(xué)或與此密切相關(guān)的工作，那么，相對于要求所有學(xué)生都能在上述方面做出很好的成績，這就應(yīng)當(dāng)說是更加合理的一個要求，即要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都能做到真正的理解[1]．

(2)這里所說的“理解”的主要涵義，即我們應(yīng)當(dāng)使相應(yīng)的思維過程成為十分自然的，從而也就是“可以學(xué)到手的和推廣應(yīng)用的”．當(dāng)然，教師也應(yīng)在這方面起到很好的示范作用，應(yīng)當(dāng)用思維方法的分析帶動具體知識內(nèi)容的教學(xué)，從而真正地做好言傳身教．

再則，無論就教師的教學(xué)或是學(xué)生的自學(xué)而言，我們還應(yīng)特別重視對照比較的工作，如各種不同解題方法的比較等．因為，不僅數(shù)學(xué)的發(fā)展可以視為一個不斷優(yōu)化的過程，后者也可以看成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)所在[1]．

(3)正如華羅庚先生所反復(fù)強調(diào)的，我們應(yīng)特別重視自身“問題意識”的提升，因為，問題正是“做數(shù)學(xué)”或數(shù)學(xué)研究的直接出發(fā)點．

更一般地說，我們應(yīng)當(dāng)將“問題”看成“數(shù)學(xué)活動”十分重要的一個組成成分，包括將“學(xué)會提問”看成“學(xué)數(shù)學(xué)”的一個重要涵義．當(dāng)然，除去“問題”以外，我們還應(yīng)對“數(shù)學(xué)活動”的內(nèi)涵作出進(jìn)一步的擴展，特別是，應(yīng)將“方法”和“語言(概念系統(tǒng))”也包括在內(nèi)．通過以下的論述，相信讀者可以對此有更好的了解．

后者事實上也正是所謂的“數(shù)學(xué)活動論”的主要內(nèi)容，即將數(shù)學(xué)看成人類的一種創(chuàng)造性活動，而不應(yīng)將此簡單等同于這種活動的最終產(chǎn)物，也即各種具體的數(shù)學(xué)概念和結(jié)論；進(jìn)而，我們應(yīng)作廣義的理解，應(yīng)當(dāng)將“數(shù)學(xué)(活動)”看成是由問題、語言、方法和理論等多種成分組成的一個復(fù)合體．[6]

(4)由華羅庚先生關(guān)于“由薄到厚”和“由厚到薄”過程的論述我們還可清楚地認(rèn)識“總結(jié)、反思和再認(rèn)識”對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊重要性，包括單純強調(diào)“經(jīng)驗的簡單積累”與“熟能生巧”的局限性，后者是指，我們不應(yīng)期望單純依靠反復(fù)練習(xí)與經(jīng)驗積累就能有效地提升自己的數(shù)學(xué)水平．

我們還應(yīng)注意對于“反思”的正確理解，特別是，對此不應(yīng)僅僅理解成“糾錯”，而應(yīng)更加突出“再認(rèn)識”這樣一個涵義，即我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^新的分析思考(特別是更高層次的抽象，這是眾多數(shù)學(xué)家何以將數(shù)學(xué)抽象稱為“自反抽象”的主要原因)實現(xiàn)認(rèn)識的不斷發(fā)展和深化．另外，按照弗賴登塔爾的觀點，我們還應(yīng)超出個體、從更廣泛的角度把握“反思”的涵義：“它的范圍已很自然地從個體擴展到了群體．”[7]這也意味著，我們應(yīng)由單純的“個體反思”過渡到“群體反思”“社會反思”，因為，其他人的想法顯然可以為個體的深入思考、包括思維的不斷優(yōu)化提供了重要背景．

當(dāng)然，又如華羅庚先生所強調(diào)的，這是“總結(jié)、反思和再認(rèn)識”最重要的一個涵義，我們應(yīng)當(dāng)通過總體分析實現(xiàn)“由厚到薄”，或者說，更好地實現(xiàn)“化多為少”“化復(fù)雜為簡單”．

最后，除去整本書的學(xué)習(xí)以外，所說的“總結(jié)、反思和再認(rèn)識”顯然也適用于各個具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)當(dāng)通過深入思考從中提煉出相應(yīng)的“主要問題”“基本方法”和“核心概念”．進(jìn)而，從同一角度我們也可以更好地認(rèn)識“適當(dāng)放慢節(jié)奏”的重要性，更不應(yīng)將簡單意義上的“問題解決”看成學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)．

(6)從更高的層次進(jìn)行分析，上面的論述顯然十分清楚地表明了努力提升自身思維品質(zhì)的重要性，特別是，我們應(yīng)在以下一些方面作出切實的努力[1]：

第一，聯(lián)系的觀點與思維的深刻性．我們可以區(qū)分出這樣兩個不同的層次：①我們不應(yīng)將事物和現(xiàn)象看成互不相干的，而應(yīng)用聯(lián)系的觀點進(jìn)行分析思考，包括通過類比聯(lián)想發(fā)現(xiàn)問題和解決問題；②整體觀點的指導(dǎo)，包括“分清主次，突出重點，以主帶次”以及結(jié)構(gòu)性認(rèn)識的建構(gòu)．

第二，變化的思想與思維的靈活性．特別是，我們應(yīng)通過適當(dāng)變化以更好地實現(xiàn)“化未知為已知，化難為易，化復(fù)雜為簡單”，從而有效地解決問題．

第三，“總結(jié)、反思和再認(rèn)識”與思維的自覺性．

由于上述的思維策略和思維品質(zhì)顯然具有超出數(shù)學(xué)更普遍的意義，因此，這事實上可以看成這樣一個思想的具體體現(xiàn)：我們在數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)很好把握“入”與“出”之間的辯證關(guān)系，真正落實“努力促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展”這一基本目標(biāo)，從而使所有的學(xué)生都能通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有真正的收獲[1]．

應(yīng)當(dāng)提及的是，后者也可視為“數(shù)學(xué)深層教學(xué)(學(xué)習(xí))”的主要涵義[8]，我們能夠以此為背景進(jìn)一步思考何者可以被看成我們做好數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵[9]．

2 走向研究

強調(diào)“研究”，主要是因為以下引文大多源自丘成桐等著名數(shù)學(xué)家的自傳，從而所涉及的也就主要是較高層次的數(shù)學(xué)研究；但由于在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)研究之間不存在絕對的界限，因此，即使是中學(xué)生也可由此獲得關(guān)于如何學(xué)好數(shù)學(xué)的重要啟示，包括我們?nèi)绾瓮ㄟ^基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為將來從事數(shù)學(xué)研究做好必要的準(zhǔn)備．

以下就是筆者由丘成桐先生《我的幾何人生》在這方面獲得的主要啟示：

第一，“精通方法”．

有很多數(shù)學(xué)工作就是用熟悉的方法解決新的問題．在丘成桐先生的這一著作中我們可以找到這方面的大量例子．例如，丘成桐先生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個重要貢獻(xiàn)就是將非線性偏微分方程應(yīng)用到了幾何研究，并由此而開拓了一個新的研究方向“幾何分析”．“整個幾何分析……均基于這信念：深入的幾何信息除了從拓?fù)浠驇缀螆D形直接得到外，還需要加上大量分析的方法，尤其是新近發(fā)展的非線性分析的工具，并由其成果支撐．”[4]112

丘成桐先生關(guān)于龐加萊猜想的研究可以看成這方面的又一實例，因為這一工作主要是對哈密爾頓創(chuàng)造的“里奇流”的創(chuàng)造性應(yīng)用．丘先生這樣寫道：“他似乎找到一把能打開從未開啟之門的鑰匙，我立刻意識到，哈密爾頓的路走下去會開花結(jié)果……我跟他說，這些技巧可以借用來證明三維空間的龐加萊猜想，這是自20世紀(jì)以來就懸而未解的老大難問題．同樣的方法，也足以解決比爾·瑟斯頓的幾何化猜想……”[4]180

由此可見，對于所說的“方法”或“工具”我們應(yīng)作廣義的理解，有時應(yīng)從這一角度去看待一個數(shù)學(xué)分支或是一個新的研究方向；進(jìn)而，后者的作用又不限于某個具體問題的解決，而是提供了一個新的分析視角，或者說是一種新的語言或概念工具．

以下是丘成桐先生在這方面的一些具體建議：“你們在做學(xué)生的這段時間，最基本的工具一定要學(xué)好．若連最基本的工具都沒掌握，根本就談不上跨學(xué)科的研究……當(dāng)你進(jìn)入一個學(xué)科的研究領(lǐng)域以后，不可能通曉所有東西，但必須將其工具都掌握了，所謂精通就是對工具能運用自如，遇到困難的題目不會懼怕，懂得如何學(xué)習(xí)和思考．”“有很多工具，剛開始以為不重要、不流行，很多人不想去學(xué)，這往往是個錯誤的看法．”“我希望你們在做學(xué)生的時候至少掌握兩門不同的工具，以后做學(xué)問的時候有兩把‘板斧’，而且每一門都要精通，才能在真正去解決問題時收放自如．”[4]327-328

為了對“精通方法”有更好的了解，建議讀者仔細(xì)閱讀張景中院士關(guān)于“教育數(shù)學(xué)三原理”的相關(guān)論述，后者是指(1)在學(xué)生頭腦里找概念；(2)從概念里產(chǎn)生方法；(3)方法要形成模式．

以下是張景中院士的相關(guān)說明：

“學(xué)生頭腦里已有很多知識印象，它們要和新來的概念起反應(yīng)、發(fā)生變化，使新概念格格不入甚至被歪曲．把學(xué)生頭腦里的東西研究一番，利用其中已有的東西加以改造形成有用的概念，是個重要手段，這樣，學(xué)生學(xué)起來親切容易．

“光有概念不夠，還必須有方法．?dāng)?shù)學(xué)的中心是解題，沒有方法怎么解題？從概念里產(chǎn)生方法，就是說有了概念之后，概念要能迅速轉(zhuǎn)化為方法．不能推來推去走過長長的邏輯道路學(xué)生還看不見有趣的題目，摸不到犀利的方法．

“方法不能過多，不能零亂，要形成統(tǒng)一的模式．像吃飯一樣，光吃零食不利于腸胃吸收，不利于健康．形成模式，即形成較一般的方法，學(xué)生才能心里踏實信心倍增．

“總之，教育數(shù)學(xué)三原理很簡單，無非是說概念要平易、直觀、親切，邏輯推理展開要迅速簡明，方法要通用有力．”[10]

由此可見，“精通方法”的關(guān)鍵，就是對于“核心概念”和“基本定理”的很好把握，這是與我們先前關(guān)于“總體分析”的論述完全一致的．這里我們還可以提及張景中院士關(guān)于“面積法”的研究，因為這不僅是用熟悉的方法解決新問題的又一范例，而且這一工作的神奇之處，是這一源自初等幾何研究的方法居然可以被成功地應(yīng)用于現(xiàn)代的“機器證明”．

(待續(xù))