數學競賽、強基計劃中不定方程解法探究

徐小花 李麗榮 楊 平 (北京市日壇中學 100020)

1 因式分解法

例2(2021清華大學領軍計劃第1題)已知a,b,c,d都是正整數，且a3=b2，c5=d4，c-a=77，求d-b．

例3(2021北京大學優(yōu)秀中學生寒假學堂第4題)若m3+n3+99mn=333，且m,n∈N*，則(m,n)有組．

點評通過例2和例3可以看出，運用因式分解法求解不定方程的最大困難點就是對所給條件進行因式分解，而且是通過利用整數分解的有限性和唯一性來解決的，不是徹底分解，也就是常常將因式分解法與整除結合起來．下面給出的幾道小題供讀者練習因式分解法．

練習1 (2020北京大學強基計劃第7題)方程19x+93y=4xy的整數解的個數為( )．

A．4 B．8 C．16 D．前三個答案都不對

提示 19x+93y=4xy?(4x-93)(4y-19)=19×93=3×19×31．(參考答案：B)

練習2 (2020中國科技大學創(chuàng)新班初試第5題)x2-y2=4p2，x,y為正整數，p為素數，則x3-y3=．

提示x2-y2=4p2?(x-y)(x+y)=4p2=22·p2．(參考答案：6p4+2)

練習3 (2020上海交通大學強基計劃第14題)方程x(x+1)-1=y2的正整數解的個數為．

2 取模同余法

例4(2020復旦大學自主招生第21題)方程3x+4y+12z=2 020的非負整數解的組數為．

例5(2021北京大學語言類保送試題第11題)設a,b是正整數n的正因素，使得(a-1)(b+2)=n-2，則n可以等于( )．

A．2 0202 020B．2×2 0202 020

C．3×2 0202 020D．前三個答案都不對

點評充分利用條件“a,b是正整數n的正因素”，等價轉換為n≡0(moda)，n≡0(modb)，再利用同余定理可以進一步獲得a與b之間的數量關系，在問題的解決過程中也用到了因式分解法．同樣我們給出兩道小題供讀者練習取模同余法．

練習4 (2016清華大學領軍計劃第13題)關于x,y的不定方程x2+615=2y的正整數解的組數為．

練習5 (2020北京大學優(yōu)秀中學生暑假體驗營第1題)已知正整數a,b,n滿足a!+b!=5n，求(a,b,n)．

提示 由奇偶性原則可以判斷出a=1，b為偶或b=1，a為偶.不妨設a=1，再由5n≡0(mod 5)，可知當b≥5時，a!+b!≡1(mod 5)不符合題意，對b=1,2,3,4逐一檢驗．(參考答案：(1,4,2)或(4,1,2))

3 分類討論法

例6(2021全國高中數學聯賽福建預賽試題第10題)若整數a,b,c滿足0≤a≤10，0≤b≤10，0≤c≤10，10≤a+b+c≤20，則滿足條件的有序數組(a,b,c)共有組．

方法1 設a+b=t，則0≤t≤20．

當11≤t≤20時，滿足條件的(a,b)有(21-t)對，此時0≤c≤20-t，c的取值有[(20-t)-0]+1種，即(21-t)種．此時滿足條件的有序數組(a,b,c)共有(21-t)2組．

本文僅列舉了求不定方程整數解的三種常用策略，其實在求解不定方程問題時常常還會用到格點法、枚舉法、奇偶分析法等更加基本的方法．很多問題往往需要先用本文介紹的因式分解法、取模同余法和分類討論法這三種方法轉化構造后再借助基本方法得到最后結果．