核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)主題情境活動設(shè)計與思考
——以“向量的減法運算”為例*

徐倪明 陳算榮

(揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 225002)

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(簡稱《課標(biāo)》)提出高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)應(yīng)以學(xué)生發(fā)展為本，將立德樹人作為根本任務(wù)．《課標(biāo)》指出高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生應(yīng)具有良好的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)[1]8，那么核心素養(yǎng)如何扎根課堂就成了現(xiàn)今的研究熱點．根據(jù)PISA測試的經(jīng)驗，可以將學(xué)生解決現(xiàn)實情境問題的能力作為核心素養(yǎng)的參考指標(biāo)[2]．這表明在教學(xué)中可通過創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境，在情境問題的解決過程中，落實學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展．向量是解決現(xiàn)實問題的重要知識載體，將向量的學(xué)習(xí)整合于現(xiàn)實情境不僅自然，而且能更好地彰顯其學(xué)習(xí)的價值．現(xiàn)以“向量的減法運算”一課為例，借助“情境問題設(shè)計框架[3](表1)”，對該課例進(jìn)行主題情境下的問題設(shè)計與思考，并簡析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在問題情境教學(xué)中的培養(yǎng)．

表1中“知識理解”型情境問題對應(yīng)于《課標(biāo)》中六個核心素養(yǎng)的水平一層次．例如，數(shù)學(xué)抽象水平一層次意指“能夠在熟悉的情境中直接抽象出數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，能夠在特例的基礎(chǔ)上歸納形成簡單的數(shù)學(xué)命題，能夠模仿學(xué)過的數(shù)學(xué)方法解決簡單問題．”[1]101這與表1中知識理解層次的內(nèi)涵相一致．對于其他五個核心素養(yǎng)，在此不一一例舉．因為《課標(biāo)》對每個核心素養(yǎng)的三水平劃分中都有對情境問題解決相應(yīng)的水平層次描述，將其內(nèi)涵對照可知，“知識遷移”型情境問題和“知識創(chuàng)新”型情境問題分別對應(yīng)于《課標(biāo)》中的六個核心素養(yǎng)的水平二層次和水平三層次．

表1 情境問題設(shè)計框架

2 教學(xué)設(shè)計片段

2.1 基于情境提出問題

問題1在某地的一條大河中，水流速度記為v0，擺渡船的自身航速記為v1，實際航速記為v2．根據(jù)這個情境，你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

圖1

設(shè)計意圖該情境問題取自前一節(jié)向量加法的例題，在已知水流速度v0和船的自身航速v1的情況下求船的實際航速v2，學(xué)生可根據(jù)實際意義直接構(gòu)建向量加法模型(圖1)．改編為開放問題后，學(xué)生需要關(guān)聯(lián)原問題情境中積累的知識基礎(chǔ)“v0+v1=v2”,結(jié)合解方程的相關(guān)知識“一個方程，三個未知數(shù)，知二求一”思考問題的提出．該情境問題在數(shù)學(xué)知識維度上，涉及的知識點較為單一，為一元一次方程知識的簡單、直接應(yīng)用；在情境維度上是學(xué)生已經(jīng)解決過的且較為熟悉的情境問題，情境中三個速度的數(shù)學(xué)關(guān)系較為明顯，即方程中的“知二求一”，故屬于“知識理解”型情境問題．

教學(xué)導(dǎo)引在這個開放的情境問題中，學(xué)生能夠提出三個問題：

(1)已知水流速度v0與船的自身航速v1，求船的實際航速v2．

(2)已知水流速度v0與船的實際航速v2，求船的自身航速v1．

(3)已知船的自身航速v1與船的實際航速v2，求水流速度v0．

基于學(xué)生提出的這三個問題，教師引導(dǎo)學(xué)生研究三個問題求解的關(guān)系：問題(1)是學(xué)生熟知的求和向量的問題，而問題(2)和問題(3)是已知和向量與其中一個加向量，求另一個加向量的問題，這也是學(xué)生要學(xué)的新知．由此，通過問題(2)(3)，自然地引出向量減法運算的文字表述與字母表示，即求兩個向量的差的運算(x=a-b)．同時也為后續(xù)向量的減法運算探究作鋪墊，即關(guān)聯(lián)向量的加法運算法則．創(chuàng)設(shè)開放情境問題既復(fù)習(xí)了舊知“向量的加法”，同時也指向新知“向量的減法”．在此過程中，學(xué)生從熟悉的情境中直接提出數(shù)學(xué)問題，并抽象出向量加減運算式，有利于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)(水平一)的培育．

2.2 關(guān)聯(lián)情境解決問題

問題2在某地的一條大河中，水流速度記為v0，擺渡船的自身航速記為v1，而擺渡船的實際航速記為v2．

圖2

(1)已知水流速度v0與船的自身航速v1(圖2)，求船的實際航速v2．

(2)已知水流速度v0與船的實際航速v2(圖3)，求船的自身航速v1．

圖3 圖4

(3)已知船的自身航速v1與船的實際航速v2(圖4)，求水流速度v0．

設(shè)計意圖承接問題1，圍繞學(xué)生提出的三個小問題，探究向量減法的運算法則，問題(1)幫助學(xué)生復(fù)習(xí)向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，學(xué)生基于加法法則運用逆向思維可以解決問題(2)(3)．該情境問題在數(shù)學(xué)知識維度上，需要向量加法與向量減法多個知識點，且向量減法知識需要以向量加法知識為基礎(chǔ)探究得出；在情境維度上，(2)(3)是學(xué)生自主提出的新問題，問題的解決既需要應(yīng)用逆運算關(guān)系，也需要運用向量的加法運算法則以及一些平面幾何知識，比如，已知平行四邊形的一條對角線和一條邊，如何畫出這個平行四邊形等，故屬于“知識遷移”型情境問題．

教學(xué)導(dǎo)引學(xué)生分別使用平行四邊形法則和三角形法則畫出問題(1)中的和向量v2(圖5、圖7)，教師快速檢測學(xué)生舊知的掌握情況，并做簡單復(fù)習(xí)．在解決問題(2)的過程中，基礎(chǔ)不牢的學(xué)生可能會無所適從，教師基于此給出提示：在問題(1)利用平行四邊形法則作和向量的過程中，v0，v1和v2最終構(gòu)成了一個平行四邊形，v0和v1為平行四邊形的兩條邊，v2為平行四邊形的對角線(圖5)．學(xué)生關(guān)聯(lián)問題(1)(2)，可以發(fā)現(xiàn)問題(2)中的v0，v1和v2也可以構(gòu)成一個平行四邊形(圖6)，且與問題(1)中的圖形為全等圖形．此時就將已知v0，v2求解v1的問題轉(zhuǎn)化為已知一個平行四邊形的一邊和對角線，求另一條邊的問題．在上述過程中，學(xué)生可以得到兩向量共起點時，差向量的作法——向量減法的平行四邊形法則，即以被減向量為對角線，減向量為邊構(gòu)造平行四邊形，差向量為另一邊所在的有向線段．

圖5 圖6

再以問題(1)中的三角形法則為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生探究問題(2)向量減法的三角形法則(圖7)．學(xué)生有了平行四邊形法則的探究經(jīng)驗，不難發(fā)現(xiàn)問題(1)(2)中的v0，v1和v2可以構(gòu)成兩個全等的三角形(圖7與圖8)，此時的v0，v1和v2為三角形的三條邊，最終又轉(zhuǎn)化為“知二求一”的問題．在上述過程中，學(xué)生可以得到兩向量共起點時，差向量的另一種作法——向量減法的三角形法則，即以被減向量和減向量為邊構(gòu)造三角形，差向量為減向量終點指向被減向量終點的向量．

圖7 圖8

探究活動結(jié)束，教師指出向量減法的三角形法則也是向量減法的幾何意義，并由學(xué)生進(jìn)行自主歸納，教師完善補(bǔ)充：將a和b共起點時，a-b可以表示從b的終點指向a的終點的向量．在此過程中，學(xué)生能夠利用關(guān)聯(lián)的情境提出問題，通過關(guān)聯(lián)向量的加法運算法則，找到同起點情況下作差向量的兩種方法，并歸納總結(jié)出向量減法的幾何意義，有利于邏輯推理素養(yǎng)(水平二)的培育．

2.3 變化情境深入挖掘

變式1 在某地的一條大河中，水流速度記為v0，擺渡船的實際航速記為v2(|v2|>|v0|)，若此時的船順流(圖9)或者逆流(圖10)航行，請畫出船的自身航速v1．

圖9 圖10

設(shè)計意圖該情境問題是對問題2第(2)問的特殊化，目的是檢驗通過探究得到的兩向量共起點時差向量的兩種作法的適用性，鞏固學(xué)生對兩種方法的掌握．學(xué)生動手操作后可以發(fā)現(xiàn)兩種情形均無法構(gòu)建平行四邊形，體會平行四邊形法則的局限性．而這兩種情形雖然也無法構(gòu)造三角形，但是可以根據(jù)三角形法則所蘊含的向量減法的幾何意義求解問題(圖11、圖12)，這也體現(xiàn)了三角形法則的適用范圍更為廣泛．在數(shù)學(xué)知識維度上，該情境問題是對向量減法中差向量作法的簡單應(yīng)用；在情境維度上，該情境問題是對問題2的特殊化，問題中三個速度的數(shù)學(xué)關(guān)系也較為明顯，故屬于“知識理解”型情境問題．

圖11 圖12

圖13

變式1′ 在某地的一條大河中，水流速度記為v0，擺渡船的實際航速記為v2，v2=0，即此時的船與水面保持相對靜止(圖13)，請畫出此時船的自身航速v1，并觀察v1和v0的關(guān)系．

設(shè)計意圖該問題是對變式1的特殊化，此時的被減向量為零向量，學(xué)生仍可以利用三角形法則快速地作出差向量v1．

引導(dǎo)學(xué)生觀察v1和v0之間的關(guān)系，得出v1和v0方向相反、大小相等(圖14與圖15)，從而自主生成相反向量的定義：與向量a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作-a．因此v0和v1互為相反向量，為之后用相反向量定義向量的減法作鋪墊．在數(shù)學(xué)知識維度上，該情境問題涉及了新概念“相反向量”的生成，并要求學(xué)生通過探究，提出新的“向量的減法”的定義，屬于“知識創(chuàng)新”層面；在情境維度上，該情境問題是對變式1的特殊化，仍是學(xué)生熟悉的渡船情境，屬于“知識理解”層面．這也說明并非每一道情境問題的兩個維度都必須在同一水平．

圖14 圖15

教學(xué)導(dǎo)引學(xué)生根據(jù)題意作出v1,比較容易總結(jié)出v1和v0方向相反、大小相等，得到相反向量的概念．接著引導(dǎo)學(xué)生利用“相反向量”探究新的向量減法的定義．學(xué)生根據(jù)向量減法的字母表示得到v1=0-v0，根據(jù)向量的加法有v1=0+v1，所以有0-v0=0+v1，而v0和v1又互為相反向量，在上述的列式推導(dǎo)過程中，得出結(jié)論：零向量減去一個向量等于零向量加上這個向量的相反向量．教師引導(dǎo)學(xué)生猜想，并利用之前的例題探究這一結(jié)論推廣到任意向量是否適用，并得出結(jié)論：a減去b等于a加上b的相反向量．從而利用相反向量定義向量的減法：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a-b=a+(-b)，求兩個向量差的運算叫做向量的減法．學(xué)生根據(jù)這一定義方法又得到了一種新的作差向量的方法，即利用相反向量與向量的加法法則．在此過程中，對學(xué)生的抽象和推理能力要求較高，學(xué)生通過特殊到一般的探究，利用相反向量定義向量的減法，有利于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)(水平一)和邏輯推理素養(yǎng)(水平三)的培育．

3 總結(jié)與思考

核心素養(yǎng)視角下的課堂教學(xué)，要求教師重視情境問題的教學(xué)模式，這也是當(dāng)前新課改的重要方向．問題是數(shù)學(xué)的心臟，思考是數(shù)學(xué)活動的主線[4]，實際的情境問題能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要性．[5]在本課例中，通過設(shè)置渡船主題情境，巧妙地將抽象的向量知識具體化、實際化，始終貫徹在解決情境問題的過程中生成知識的理念，幫助學(xué)生掌握向量的減法運算，得到多種作差向量的方法，同時還培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．由于向量知識本身與現(xiàn)實情境的聯(lián)系非常密切，也只有在解決實際問題時，向量的價值才會最大化．圍繞知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新三個層次創(chuàng)設(shè)主題情境下的問題串，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、主動探究、合作交流，探求解決問題的方法,實現(xiàn)動眼、動手、動腦有機(jī)結(jié)合．鼓勵學(xué)生創(chuàng)新思考，加強(qiáng)數(shù)學(xué)實踐，發(fā)展學(xué)生的理性思維，同時注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣[6]．

值得注意的是，主題情境與問題串都不是憑空產(chǎn)生的，其創(chuàng)設(shè)也要遵循諸多原則[7]，例如，(1)“數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)性”原則，杜絕為設(shè)置情境而設(shè)置情境，本課例中的渡船情境與向量問題關(guān)系緊密，情境中的“數(shù)學(xué)味”濃厚，所有問題的答案均與情境問題相關(guān)聯(lián)；(2)“貼近學(xué)生現(xiàn)實”原則，與學(xué)生的認(rèn)知相匹配，本課例中使用學(xué)生熟悉的渡船問題作為主題情境貫穿教學(xué)，是基于學(xué)生視角的情境問題設(shè)置；(3)“整體性原則”，發(fā)揮主題情境的多維作用，本課例通過渡船這一主題情境的問題串設(shè)置，完成了多方面的教學(xué)任務(wù)(向量的減法運算、向量的減法作圖、相反向量的定義)，利用渡船情境的多維作用共同激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

最后，在情境創(chuàng)設(shè)完成后，教師還要不斷地引導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生真正進(jìn)入情境問題，在此過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正地讓學(xué)生做到會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界[8]．