回歸數(shù)學(xué)本質(zhì) 培育核心素養(yǎng)
——APOS理論指導(dǎo)下的“事件的相互獨立性”教學(xué)探索

徐 靖

(江蘇省蘇州中學(xué) 215007)

1 課例背景

概率論是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，在經(jīng)濟、金融、保險等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，旨在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等素養(yǎng)．人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(下稱“新教材”)對概率章節(jié)的變動較大，修訂的必修課程中增加了樣本點、有限樣本空間、樣本點和事件的關(guān)系等內(nèi)容，刪去了幾何概型，將“事件的相互獨立性”變?yōu)楸匦迌?nèi)容，由于沒有條件概率的鋪墊，從研究概率的基本性質(zhì)出發(fā)，提出問題“由和事件的運算性質(zhì)，積事件的概率與兩個事件的概率會有怎樣的關(guān)系”，從特殊到一般，歸納出事件的獨立性，為后續(xù)的概率學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)．

新教材的編寫對學(xué)習(xí)事件的獨立性提出了更高的數(shù)學(xué)抽象要求，承擔(dān)了培養(yǎng)學(xué)生分析隨機現(xiàn)象能力的育人任務(wù)，特別重視概念教學(xué)，也更契合新課標(biāo)的精神．基于此，筆者根據(jù)APOS理論，引導(dǎo)學(xué)生在社會線索中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，分析數(shù)學(xué)問題的背景，從而建構(gòu)數(shù)學(xué)思想．以下是從操作(Action)、過程(Process)、對象(Object)、圖式(Scheme)四個方面對新教材必修二“事件的相互獨立性”概念教學(xué)進行的實踐探索．

2 教學(xué)設(shè)計

2.1 操作——發(fā)現(xiàn)事件的獨立性

游戲1 甲乙兩人進行“石頭、剪刀、布”的游戲(假設(shè)兩人出何手勢是等可能的)．記事件A=“甲出石頭”，事件B=“甲出布”，計算P(A),P(B),P(A+B)，并研究它們的關(guān)系．

提出問題積事件AB的概率是多少？哪些條件下研究積事件的概率更有意義？

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：P(AB)=0，當(dāng)A∩B≠?，即A,B不是互斥事件時更有意義．

游戲2 甲乙兩人進行“石頭、剪刀、布”的游戲(假設(shè)兩人出何手勢是等可能的)．記事件A=“甲出石頭”，事件C=“乙出布”，計算P(A),P(C),P(AC)，并研究它們的關(guān)系．

提出問題你還能舉出滿足上述關(guān)系的例子嗎？你認為哪些條件下此關(guān)系恒成立？

學(xué)生很容易受到啟發(fā)，甲乙兩人出何手勢并不會互相影響，那么總會有P(AC)=P(A)P(C)．

設(shè)計意圖APOS理論認為要從社會活動出發(fā)，使學(xué)生對抽象的概念先有感性認知，再通過實例反思提煉．教師采用學(xué)生熟悉的“石頭、剪刀、布”游戲，應(yīng)用古典概型回顧和事件的運算性質(zhì)，在已有知識基礎(chǔ)上建立任務(wù)，發(fā)現(xiàn)了互斥事件下研究積事件意義不大，再從甲乙兩人的狀態(tài)出發(fā)，得出互相不受影響的事件滿足P(AC)=P(A)P(C)，這與學(xué)生的直觀感受相吻合．并通過學(xué)生主動舉例，加強理解、豐富內(nèi)涵，為后續(xù)的數(shù)學(xué)抽象奠定基礎(chǔ)．

2.2 過程與對象——事件的相互獨立性的內(nèi)涵與外延

教師給出定義：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．

提出問題談?wù)勀銓Κ毩⒌睦斫?，嘗試給出一些特例．

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：(1)兩個事件獨立是指事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率；(2)必然事件、不可能事件都與任意事件相互獨立．

思考1 互斥事件是否為獨立事件？

思考2 概率不為0的兩個獨立事件是互斥事件嗎？

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)獨立性定義推理得出：若P(A)>0，P(B)>0，則事件A,B相互獨立與A,B互斥不能同時成立．

思考4 若A,B,C兩兩互斥，則P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)，若A,B,C兩兩獨立，是否有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)？

對于思考3，學(xué)生容易從直觀經(jīng)驗獲得，教師依托互斥事件的運算性質(zhì)演示一般推導(dǎo)方法．對于思考4，學(xué)生各執(zhí)一詞，教師給出游戲3為學(xué)生思維發(fā)展鋪路搭橋．

游戲3 甲乙兩人進行“石頭、剪刀、布”的游戲(假設(shè)兩人出何手勢是等可能的)．記事件A=“甲出石頭”，事件B=“乙出布”，事件C=“甲贏”，根據(jù)此結(jié)果試回答思考4．

設(shè)計意圖過程與對象是APOS理論中概念建構(gòu)的重要環(huán)節(jié)，旨在通過實例讓學(xué)生主動探索完成概念的理性抽象，由于沒有條件概率的鋪墊，教師根據(jù)生活中的游戲問題打開學(xué)生認知，使其從直觀感受出發(fā)獲得獨立性的定義，運用四個環(huán)環(huán)相扣的階梯式思考，揭示了獨立性的內(nèi)涵外延，一個游戲貫穿始終，抽絲剝繭，讓學(xué)生在活動中升華概念，體悟本質(zhì)．

2.3 圖式——形成思維導(dǎo)圖

典例現(xiàn)有一個摸球游戲，箱子中有6個相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球，A=“第一次取出的球是1號球”，B=“第二次取出的球是2號球”，C=“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，D=“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則四個事件中相互獨立的有哪些？

圖1

教師引導(dǎo)學(xué)生列表分析如下(圖1)：根據(jù)獨立性的定義，學(xué)生總結(jié)得出事件A與事件B，事件A與事件D，事件B與事件D相互獨立，但A,B,D均相互不獨立．

教師總結(jié)：實際問題中，兩個事件相互獨立，大多是依據(jù)經(jīng)驗(譬如“石頭、剪刀、布”的游戲)，但在較復(fù)雜的問題中，主觀判斷容易出錯，需使用公式檢驗事件的獨立性.更進一步，兩個事件獨立是指事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率，而不是說事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生，這就是經(jīng)驗主義導(dǎo)致的錯誤．

通過典例，學(xué)生對獨立性有了新的認識，教師邀請學(xué)生發(fā)言討論，并繪制如圖2所示的思維導(dǎo)圖．

圖2

設(shè)計意圖APOS理論中的概型階段是指概念的運用階段，通過一定的實例研究使學(xué)生進一步理解概念的本源，最終形成綜合的心理圖式．教師選用了2021年新高考全國Ⅰ卷單選第8題，改變了原題問法，旨在糾正學(xué)生對獨立性理解的經(jīng)驗主義錯誤，指出對于復(fù)雜問題必須通過公式給出判斷，而主觀認知往往會出錯．使用列表法解題使學(xué)生一目了然，并對抽象的概念有了形象的認知，在熟悉的游戲和經(jīng)典的獨立性例題中體會數(shù)學(xué)來源于生活又能應(yīng)用于生活．學(xué)生形成了自己的思維導(dǎo)圖，達到了心理圖式的效果．

3 課例分析與教學(xué)反思

3.1 課例分析

整堂課總體比較流暢.一方面對于證明，因受時間限制，主要由教師引導(dǎo)示范，在舉例環(huán)節(jié)也因停留較短導(dǎo)致學(xué)生回答較為局限，但都在原有設(shè)定下．另一方面，本節(jié)內(nèi)容由運算性質(zhì)出發(fā)，討論了互斥事件與獨立事件的關(guān)系，用一個游戲貫穿始終，簡明扼要地回答了兩兩獨立并非相互獨立這些較為反經(jīng)驗的問題．應(yīng)用列表的方式解決典例，將抽象問題形象化，使學(xué)生對獨立性的理解達到了新高度，體會“兩個事件獨立是指事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率，而不是說事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生”此中深意．學(xué)生在課堂中主動思考、獨立探索，事必躬親解決問題，最終柳暗花明形成了各自的思維導(dǎo)圖．

3.2 教學(xué)反思

新課標(biāo)提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，啟發(fā)思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，因此概念教學(xué)至關(guān)重要，傳統(tǒng)的“定義+例題”的授課方式已無法滿足新課標(biāo)的要求，APOS理論是成功的概念教學(xué)實踐，在這次嘗試中教師也總結(jié)了一些心得體會與同行分享．

(1)從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有趣的情景教學(xué)

概率問題是離學(xué)生很近的數(shù)學(xué)問題，生活中處處有概率，這為情景教學(xué)提供了有利條件．本文選用的“石頭、剪刀、布”的游戲，雖在前兩個設(shè)定中較為普通，但在游戲3中言簡意賅、立竿見影，使趣味性和知識性融合得恰到好處．

(2)使用問題串，為思維搭建腳手架

問題串是促進數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵、外延的重要手段，一個好的問題串，能有效推動學(xué)生思維發(fā)展．新教材在概率章節(jié)的內(nèi)容與大學(xué)銜接緊密，是較為完整的、系統(tǒng)的概率論介紹，只有讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，在教師引導(dǎo)下內(nèi)化、壓縮，在頭腦中進行描述、反思，最終通過數(shù)學(xué)符號語言理性抽象，才能幫助學(xué)生更好體悟概念本質(zhì)，使其成為知識的主動探索者和構(gòu)建人．

(3)探索與展望

概念教學(xué)不能只是平鋪直敘，它應(yīng)該是來源于社會的、生活的，是數(shù)學(xué)學(xué)科對一般事實的總結(jié)和歸納，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)生與發(fā)展有助于其更好地理解數(shù)學(xué)抽象的意義，促進核心素養(yǎng)的發(fā)展，激起數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，這也是我們每一位教師不斷奮斗的美好愿景．