斯坦納-萊莫定理的λ-推廣

孫四周

(江蘇省蘇州市吳江盛澤中學(xué) 215228)

初等幾何中有個(gè)名氣非常響的定理——斯坦納-萊莫(Steiner-Lehmer)定理[1]，內(nèi)容如下：

如果一個(gè)三角形的兩條內(nèi)角平分線相等，則該三角形是等腰三角形.

歐幾里得將該結(jié)論作為定理收入了《幾何原本》，對于其證明卻只字未提.直到1840年經(jīng)萊莫(C.L.Lehmus)重新提起，斯坦納(J.Steiner)首先給出了證明，引起了數(shù)學(xué)界極大反響，從此而被稱為“斯坦納-萊莫定理”.此后百余年，全世界的各種雜志上經(jīng)常可以看到論證這個(gè)定理的文章，至今已有接近百種證明.1980年，美國《數(shù)學(xué)教師》月刊還登載了這個(gè)定理的研究現(xiàn)狀.這個(gè)定理能夠保持如此持久的熱度，主要是因?yàn)樗稀爸ɡ怼钡奶卣?，比如：表述非常簡單，結(jié)論看似顯然而證明卻往往涉及更深刻的內(nèi)容.

有趣的是，2012年文[2]用中國古人所擅長的“割補(bǔ)求積法”在不添加任何輔助線的情況下，給出一個(gè)簡潔(也可以說是“中國化”)的證明.并引申出13個(gè)定理，拓寬了它的應(yīng)用.本文將向另一個(gè)方向出發(fā)，首先把“角平分線”換成“三等分角線”，進(jìn)而給出任意等分角的推廣(本文中單字母表示角時(shí)意義如下：A=∠BAC,B=∠ABC,C=∠BCA).

1 三等分角的Steiner-Lehmer定理

圖1

證明由S△ABD+S△ACD=S△BAE+S△BCE知，

如果A>B,則①式左邊為正，右邊為負(fù)；如果A

類似地,對于三等分角的另外一條分角線，Steiner-Lehmer定理也成立.即

證明同上,略.

如果改成“四等分角”“五等分角”……“n等分角”，是否還成立呢？經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，結(jié)論是肯定的.事實(shí)上我們有更一般的推廣.

2 Steiner-Lehmer定理的λ-推廣

圖2

定理3△ABC中，D,E分別是邊CB,CA上的點(diǎn)，且∠BAD=λA,∠ABE=λB,其中λ是常數(shù)且λ∈(0,1),則AD=BE的充要條件是CA=CB.

此定理的證明比較繁瑣,為了體現(xiàn)其層次性和關(guān)鍵技巧,我們先證下面的兩個(gè)引理，再將證明逐漸展開.

引理1若λ∈(0,1)，A，B是△ABC的內(nèi)角，則A>B的充要條件是sinλA>sinλB.

證明只要證明當(dāng)x∈(0,π)時(shí)，f′(x)>0恒成立即可.

記g(x)=sinλx-λsinx，則g′(x)=λcosλx-λcosx=λ(cosλx-cosx)，因?yàn)?<λxcosx.故g′(x)>0恒成立，即g(x)在(0,π)上遞增.又g(0)=0，故當(dāng)x∈(0,π)時(shí)，g(x)>0.從而知f′(x)>0恒成立，即知f(x)在(0,π)上單調(diào)遞增.證畢.

定理3的證明

由引理1，2知,若A>B,則上式左邊為正,右邊為負(fù),矛盾;若A

3 Steiner-Lehmer定理的等價(jià)形式

圖3

在定理3中，研究線段AD與BE的交點(diǎn)S(圖3)，以及由此產(chǎn)生的線段SA和SB，也是一個(gè)很有意義的課題，并且可以得到一系列有價(jià)值的結(jié)果.

定理4△ABC中，D,E分別是邊CB,CA上的點(diǎn)，且∠BAD=λA,∠ABE=λB,其中λ是常數(shù)且λ∈(0,1),AD,BE的交點(diǎn)是S,則SA=SB的充要條件是AD=BE.

證明一方面，在△ABS中，SA=SB?λA=λB?A=B.另一方面，△ABC中，AD=BE?A=B(定理3).綜合即知SA=SB?AD=BE.證畢.

綜合定理2和定理4，立刻知：

定理5△ABC中，D,E分別是邊CB,CA上的點(diǎn)，且∠BAD=λA,∠ABE=λB,其中λ是常數(shù)且λ∈(0,1),AD,BE的交點(diǎn)是S,則SA=SB的充要條件是CA=CB.

定理6△ABC的內(nèi)角平分線AD,BE的交點(diǎn)是S,若SA=SB,則CA=CB(圖3).

按照定理6的構(gòu)圖原則，我們構(gòu)造更具一般意義的圖形，可得：

圖4

根據(jù)歐幾里得第五公設(shè)知，射線AC′與BC′的交點(diǎn)C′在C的同側(cè).

(1)如果0<λ<1，則C′在△ABC的內(nèi)部，即為定理5，已證;

(2)如果λ=1，則C′與C重合，顯然;