高階思維視角下的幾何定理教學(xué)
——以“三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的推論”為例

200233 上海市世界外國語中學(xué) 梁 舒

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)指出，教學(xué)活動應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力.按照布魯姆的認(rèn)知目標(biāo)分類(此處看作思維目標(biāo))，教學(xué)目標(biāo)依據(jù)認(rèn)知復(fù)雜程度由低到高分為識記、理解、應(yīng)用、分析、評價、創(chuàng)造六個層次，其中后三層(分析、評價、創(chuàng)造)被稱為高階思維能力.高階思維體現(xiàn)了時代對人才素質(zhì)提出的新要求，也是適應(yīng)時代發(fā)展的關(guān)鍵能力.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重滲透數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維，尤其是分析、評價和創(chuàng)造層次的高階思維.

學(xué)生高階思維培養(yǎng)的主要場所是數(shù)學(xué)課堂.因此，教師在設(shè)計引入、概念形成、例題處理以及小結(jié)的各個環(huán)節(jié)上如何設(shè)計思維任務(wù)，啟發(fā)學(xué)生的高階思維顯得尤為重要.筆者以“三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的推論”為例，闡述對高階思維視角下課堂實(shí)施的見解.

一、 教學(xué)環(huán)節(jié)

(一)情境導(dǎo)入

原題一臺幻燈片投影儀被安裝在距離屏幕4米處，幻燈片距離投影儀16毫米(如圖1所示)，AD∥BC，如果幻燈片是一張長為22毫米、寬為16毫米的圖片，求圖片投影在屏幕上圖像的長和寬.

圖1

師：題目中有哪些已知信息？三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的條件和結(jié)論分別是什么？(引導(dǎo)學(xué)生對題目進(jìn)行分析，嘗試將其與已學(xué)知識建立聯(lián)系)

生：已知AD∥BC以及一些線段的長度.條件是有一條平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，結(jié)論是截得的對應(yīng)線段成比例.

圖形語言表述如圖所示，其中圖2-1、圖2-2為A字型圖形，圖2-3為X型圖形.

圖2-1圖2-2

圖2-3圖3

生：題目符合A字型.(定理轉(zhuǎn)換為圖形語言后，學(xué)生很容易與A字型聯(lián)系起來)

師：題目滿足性質(zhì)定理的條件，運(yùn)用性質(zhì)定理能否求得圖片投影在屏幕上圖像的長和寬，能否解決該問題？(引導(dǎo)學(xué)生將題目的所求與性質(zhì)定理的結(jié)論進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)定理的局限)

生：不能.如圖3，將問題抽象成A字型后，圖像的長是圖中BC的長，BC不在三角形被截的兩邊所在的直線上，性質(zhì)定理的結(jié)論中沒有涉及這種情況.

學(xué)生對比后發(fā)現(xiàn)雖然題目中的圖形符合A字型，也滿足相關(guān)條件，但運(yùn)用性質(zhì)定理的結(jié)論卻無法解決該問題，進(jìn)而產(chǎn)生了認(rèn)知沖突.

(二)探究三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論

師：在性質(zhì)定理的結(jié)論中，有關(guān)的比例線段分別在三角形兩邊所在的直線上，圖形中線段DE雖不在三角形被截的兩邊上，但是它和圖形中其他線段之間是否存在比例關(guān)系？(向?qū)W生指明思考的方向)

師：先考慮D和E分別是三角形兩邊中點(diǎn)的特殊情況.(學(xué)生已學(xué)習(xí)中位線定理，較容易解決此問題)

圖4

師：再考慮D和E是三角形兩邊上任意一點(diǎn)的一般情況.(引導(dǎo)學(xué)生對一般情況進(jìn)行分析思考，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力)

問題2問題1中點(diǎn)D和點(diǎn)E位置改變時，圖形存在哪幾種情況？

根據(jù)“點(diǎn)的位置移動”，學(xué)生可能畫出的圖形如圖5-1—圖5-9所示.

圖5-1圖5-2

圖5-3圖5-4

圖5-5圖5-6

圖5-7圖5-8

圖5-9

師:大家畫出的圖形與問題1中的圖形相比有什么異同？是否可以按某種標(biāo)準(zhǔn)將上述圖形進(jìn)行分類呢？(引導(dǎo)學(xué)生將情況分類，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)定理推論的條件)

生：按照DE是否與BC平行進(jìn)行分類.

結(jié)合圖形和已學(xué)性質(zhì)定理，學(xué)生能較為容易地對圖形進(jìn)行分類，如下所示.

師：D，E分別在△ABC的邊AB，AC上時，如圖5-3的情況如何證明？

圖6-1圖6-2

方法1：過D作DF∥AC交邊BC于點(diǎn)F(如圖6-1).

方法2：延長DE到G，使DG=BC，聯(lián)結(jié)CG(如圖6-2).

學(xué)生在證明中位線定理時已經(jīng)運(yùn)用過方法2，故學(xué)生較易得出此方法.對于方法1，學(xué)生之前沒有構(gòu)造此類輔助線的經(jīng)歷，可能需要教師引導(dǎo).

圖7

師：D，E在AB，AC延長線上時，圖5-6情況下的X型如何證明呢？

學(xué)生在證明性質(zhì)定理的時候證明過X型，故可思考得出通過構(gòu)造輔助線將X型轉(zhuǎn)化為A字型來解決(如圖7所示).

師：從上面的證明中，你能得到什么結(jié)論？請一組同學(xué)分享，其他組補(bǔ)充.

生：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原來三角形的三邊對應(yīng)成比例.

學(xué)生類比性質(zhì)定理的描述，能較為準(zhǔn)確地總結(jié)得出該性質(zhì)定理的推論.

問題4比較上述證明方法，分析解題思路.

師：在A字型的證明中運(yùn)用了以下兩種方法.(引導(dǎo)學(xué)生分析、評價解題思路，培養(yǎng)學(xué)生分析、評價的能力)

方法1：運(yùn)用三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理，該定理從一條平行于三角形一邊的直線出發(fā)，結(jié)論中的比例線段都在三角形的被截兩邊所在的直線上，因此，要運(yùn)用該定理，需要將DE平移到三角形被截的邊上去.故需增添輔助線.

方法2：考慮構(gòu)造X型.或者從另一個角度思考，三角形中位線定理的證明是通過將三角形旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造平行四邊形，本題借鑒該思路.建立未知與已知之間的聯(lián)系，將未知轉(zhuǎn)化為已知來解決.

可能選擇方法2的學(xué)生較多，因?yàn)橹耙呀?jīng)習(xí)得此方法，而方法1運(yùn)用性質(zhì)定理解決，為今后解決其他問題提供思路.

師：根據(jù)相似三角形的定義，圖5-3、圖5-6、圖5-9中△ABC和△DEF是否相似？(引導(dǎo)學(xué)生考慮相似問題，為后續(xù)相似三角形判定的教學(xué)埋下伏筆)

生：將△DEF看作是△ABC放大(或縮小)得來的，所以△ABC和△DEF相似.

學(xué)生根據(jù)相似三角形的定義，較易得出結(jié)論.

師：那么，它們是否符合相似多邊形的性質(zhì)呢？

生：根據(jù)平行線的性質(zhì)和已證得的三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的推論，可知△ABC和△DEF三個角對應(yīng)相等，三邊對應(yīng)成比例，因此，△ABC和△DEF符合相似多邊形的性質(zhì).(強(qiáng)化相似性的性質(zhì)，為后續(xù)相似三角形的判定打下基礎(chǔ))

(三)三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論的應(yīng)用

1.在幾何問題中的應(yīng)用

圖8

對學(xué)生來說，此題運(yùn)用三角形的中位線定理可以容易地證明(如圖8所示，AD也是△ABC的中線).

師：請大家分別用文字語言和符號語言表述這一性質(zhì).(引導(dǎo)學(xué)生將符號語言與文字語言相互轉(zhuǎn)化)

學(xué)生的表述如表1所示.

圖9

通過變式練習(xí)，學(xué)生對比條件和結(jié)論的異同，找到相似之處作為突破口，增強(qiáng)分析問題的能力.

2.在實(shí)際問題中的應(yīng)用

例2(例2為上文“情境導(dǎo)入”中的原題，此處略)

學(xué)生學(xué)習(xí)性質(zhì)定理的推論后再解決“情境導(dǎo)入”中的原題，問題迎刃而解.

師：性質(zhì)定理的推論不僅包含了原定理的一些結(jié)論，還拓展了原定理的結(jié)論.在實(shí)際生活中，還有哪些問題可以運(yùn)用三角形一邊平行線性質(zhì)定理的推論基本圖形A字型來解決？(引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識反思實(shí)際生活的問題)

表1

生：運(yùn)用自己的影子來測量路燈的高度、建筑物的高度或河的寬度等.

師：請大家根據(jù)上述例子及性質(zhì)定理的基本圖形(A字型圖形和X型圖形)自主編題，要求解題過程用到三角形一邊平行線性質(zhì)定理的推論，并在小組內(nèi)分享自己的題目，最后每個小組選一個方案進(jìn)行班級分享.

該環(huán)節(jié)中，學(xué)生需要思考實(shí)際問題并將其與性質(zhì)定理的推論結(jié)合，而自主編題要求學(xué)生在分析后對問題進(jìn)行加工、再創(chuàng)造，難度較大，故采用小組的形式，目的是培養(yǎng)學(xué)生的分析、創(chuàng)造等高階思維能力.

(四)小結(jié)

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論，對比三角形一邊的平行線性質(zhì)定理與性質(zhì)定理推論的條件和結(jié)論，它們有何異同？

師：回憶推論導(dǎo)出的過程，我們經(jīng)歷了怎樣的過程？是從哪種情況開始證明的？(引導(dǎo)學(xué)生回憶，分析證明過程)

生：從D，E是三角形的兩邊的中點(diǎn)出發(fā)，接下來考慮點(diǎn)D和E位置移動的一般情況，在一般情況中分別討論D和E是三角形兩邊上任意一點(diǎn)和D，E分別是三角形兩邊延長線上的情況.

師：從D，E是三角形兩邊的中點(diǎn)的特殊情況出發(fā)，再引發(fā)D，E在三角形兩邊上任意位置的一般情況的討論與證明，從猜想到嚴(yán)格的演繹推理論證，在這個過程中我們體會了從特殊到一般以及類比歸納的數(shù)學(xué)思想.(進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透)

在考慮點(diǎn)D和E的位置移動的一般情況時，學(xué)生獨(dú)立分析思考，畫出不同的圖形，體會用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)看待問題，然后對不同圖形進(jìn)行分類，最后分情況證明結(jié)論.在分情況證明中將幾何圖形分解得到基本圖形，再根據(jù)基本圖形的性質(zhì)解決問題，學(xué)生體會分類討論及化歸的數(shù)學(xué)思想.

在探索推論的過程中，先由特殊情況(D，E是三角形兩邊中點(diǎn))猜想哪幾種圖形結(jié)論成立，隨后通過證明驗(yàn)證之前的猜想，歸納總結(jié)三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論，并對證明方法進(jìn)行分析評估，體會幾何演繹的思想和邏輯推理的方法.這也是探究性研究經(jīng)歷的一般過程.

二、 分析與思考

(一)以實(shí)際問題導(dǎo)入引發(fā)思考

本節(jié)課以實(shí)際問題導(dǎo)入，問題滿足三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的條件，但是運(yùn)用性質(zhì)定理卻不能解決，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引起學(xué)生的求知欲.學(xué)生體會到問題的起源，找到新知識與原有知識的聯(lián)系.同時復(fù)習(xí)舊知，并歸類基本圖形，為性質(zhì)定理推論的導(dǎo)出和證明提供途徑，便于將已有的知識和經(jīng)驗(yàn)遷移到新的知識及研究過程，為本節(jié)課的研究奠定基礎(chǔ).

(二)推導(dǎo)過程中培養(yǎng)學(xué)生分析、評價的高階思維能力

本節(jié)課在性質(zhì)定理的推導(dǎo)過程中著重培養(yǎng)學(xué)生分析、評價問題的能力.引導(dǎo)學(xué)生抓住問題中關(guān)鍵信息“點(diǎn)的位置”，以此為突破口進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)看待問題，變化出更多樣的圖形，嘗試綜合全面地思考問題.在獨(dú)立畫圖、分析思考的過程中，學(xué)生分析出可能存在的圖形，教師引導(dǎo)學(xué)生將圖形進(jìn)行分類，分別考察圖形的可行性，這也是分析問題必須具備的技能.

在推導(dǎo)完成后，引導(dǎo)學(xué)生思考、評價不同的證明過程，提升學(xué)生分析和評價能力，學(xué)生經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—分析論證—評估—結(jié)論決策”這一探究性研究的完整過程.由猜想到驗(yàn)證，思維反復(fù)調(diào)整.

最后，學(xué)生體驗(yàn)歸納結(jié)論，從自己的語言提煉成書面語言的過程，思維不斷完善，有利于思維的整合，培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性.

(三)在應(yīng)用性質(zhì)定理的過程中培養(yǎng)學(xué)生分析、創(chuàng)造的高階思維能力

在性質(zhì)定理的運(yùn)用環(huán)節(jié)中，著重培養(yǎng)學(xué)生的分析、創(chuàng)造的思維能力.在性質(zhì)定理應(yīng)用中提出的實(shí)際問題正是開頭情境導(dǎo)入環(huán)節(jié)的問題.在情境導(dǎo)入環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生嘗試從數(shù)學(xué)角度分析實(shí)際問題，抽象出數(shù)學(xué)圖形，引發(fā)認(rèn)知沖突，在應(yīng)用性質(zhì)定理的推論這一環(huán)節(jié)，學(xué)生再次分析問題，結(jié)合已學(xué)知識解決該問題，學(xué)生分析問題的能力得到培養(yǎng).

在關(guān)于性質(zhì)定理應(yīng)用的幾何問題中，引導(dǎo)學(xué)生分析題目的條件和結(jié)論，讓學(xué)生經(jīng)歷再創(chuàng)造的過程，發(fā)現(xiàn)三角形重心的性質(zhì).

在自主編題環(huán)節(jié)中，學(xué)生具有更大的主動性，這一環(huán)節(jié)是學(xué)生對問題分析再創(chuàng)造的過程.學(xué)生需要思考身邊的實(shí)際問題，運(yùn)用已學(xué)數(shù)學(xué)知識分析實(shí)際問題，并創(chuàng)造性地解決實(shí)際問題.這一過程也能培養(yǎng)學(xué)生分析和創(chuàng)造的高階能力，并讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活、服務(wù)于生活.

(四)課堂小結(jié)，反思思維過程，延伸高階思維

課堂小結(jié)從數(shù)學(xué)知識、方法和思想方面概括本節(jié)課的內(nèi)容.引導(dǎo)學(xué)生在知識方面從模糊走向清晰，從片面到全面.注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透，提高學(xué)生分析評價的能力.

反思的過程是對自身研究問題的思維過程，是對結(jié)果和思維方法等進(jìn)行再認(rèn)識、再評價的過程，教師培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，使思維變得越來越成熟.