對一道2022年全國高考試題的探究與思考

張 鵠

(湖北省武漢市第二中學(xué) 430010)

孔 峰

(湖北省武漢市教育科學(xué)研究院 430022)

2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科第21題是一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題．題設(shè)中函數(shù)結(jié)構(gòu)簡潔明了，是由基本的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型整合而成；設(shè)問內(nèi)容更是司空見慣，是師生常見的切線方程求解和已知零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的問題類型．為此，筆者就該題的解答情況對即將進(jìn)入新高三的學(xué)生進(jìn)行了問卷，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生對第(2)問不知從何處入手分析．這讓筆者在思考，如何幫助學(xué)生透過試題表象找準(zhǔn)切入點(diǎn)，進(jìn)而對“冰冷美麗”的試題進(jìn)行一番“火熱”的思考．下面，以美籍匈牙利裔著名數(shù)學(xué)家波利亞的“怎樣解題”表為指引，開啟我們的探究思考過程．

1 基于“怎樣解題”表的試題探究

1.1 理解題目

題目1已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x，其中a∈R．

(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0)和(0,+∞)內(nèi)各恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．

問題1題目1第(2)題是一個什么問題？

預(yù)設(shè) 這是已知函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍的問題．

問題2條件是什么？

預(yù)設(shè)f(x)在(-1,0)和(0,+∞)內(nèi)各有一個零點(diǎn)．

1.2 擬定方案

問題3你以前見過它嗎？或者你見過以稍有不同的形式呈現(xiàn)的類似題目嗎？你知道與它有關(guān)的題目嗎？

預(yù)設(shè) 我們見過一道與它類似的題目，即2017年新高考全國Ⅰ卷理科第21題：

題目2已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍．

問題4題目2的第(2)題與題目1的第(2)題有關(guān)，你能利用題目2的求解方法解答題目1的問題嗎？

預(yù)設(shè) 形式上類似．不過，題目1限定了零點(diǎn)存在的區(qū)間，即兩個斷開的區(qū)間．

問題5為什么不把兩個區(qū)間合成一個區(qū)間(-1,+∞)？

預(yù)設(shè) 合成一個區(qū)間就暴露了與題目2的聯(lián)系．命題者也許為了推陳出新，通常會在問題形式上設(shè)計新意，但萬變不離其宗．

問題6為什么要在x=0處將區(qū)間斷開？這里有沒有命題者想要表達(dá)而又有所隱藏的信息？能否分析一下？

預(yù)設(shè)f(x)在x=0處的函數(shù)值等于0，即0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．若把0放在區(qū)間內(nèi)，那就有3個零點(diǎn)，與題意不符．另外，函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上的圖象穿過原點(diǎn)，意味著滿足題意的圖象特征可能如下面圖1和圖2所示．

圖1 圖2

問題7在上面的圖象中，你能判斷題目1第(2)問對應(yīng)的圖象是哪一個嗎？把握函數(shù)圖象特征一般應(yīng)從哪些方面進(jìn)行分析？

預(yù)設(shè) 就本題而言，可以從定義域、值域、單調(diào)性、極值以及零點(diǎn)等方面分析．由于f(0)=0，f′(0)=1+a均存在，為使f(x)的圖象在區(qū)間(-1,0)及(0,+∞)上各恰好穿過x軸一次，函數(shù)f(x)的變化情況只能如圖1和圖2所示．為了進(jìn)一步找到題設(shè)函數(shù)對應(yīng)的圖象，還可以先動態(tài)定性研究較容易的局部圖象特征：

首先，基于零點(diǎn)附近兩側(cè)的函數(shù)值要么為正，要么為負(fù)．于是，我們不妨先研究x=0右側(cè)的情況．因為當(dāng)x>0時，ln(1+x)>0，xe-x>0，所以，若a≥0，則f(x)>0，與題意不符．從而a<0．

問題8借助圖1，你能分析一下函數(shù)f(x)在(-1,0)及(0,+∞)上各有一個零點(diǎn)的含義嗎？

預(yù)設(shè) 函數(shù)f(x)在(-1,0)上先增后減，在(0,+∞)上先減后增．這需要函數(shù)f(x)在兩個區(qū)間上各有一個極值點(diǎn)．這樣，把零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)來討論，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想．

問題9你能找到這兩個極值點(diǎn)嗎？又準(zhǔn)備采用什么工具和方法？你之前有過這方面的經(jīng)驗嗎？

預(yù)設(shè) 記得之前是這樣做的，先對函數(shù)求導(dǎo)，若導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)可以直接求出，就接著討論這些零點(diǎn)附近兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)符號；若不能，則利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理將零點(diǎn)限定在適當(dāng)區(qū)間，有時為找到這樣的區(qū)間，可能還會用到找點(diǎn)技巧如借助函數(shù)不等式進(jìn)行放縮的方法．

分析到這里，我們就可以著手解決問題了．

1.3 實施方案

若a≥0，則當(dāng)x>0時，ln(1+x)>0，axe-x≥0，從而f(x)>0，與題意不符．

若a<0，則對φ(x)求導(dǎo)得，φ′(x)=ex-2ax，當(dāng)x>0時，因為ex單調(diào)遞增，2ax遞減，所以φ′(x)遞增，從而φ′(x)>φ′(0)=1>0，因此φ(x)在(0,+∞)上遞增，φ(x)>φ(0)=1+a．

若-1≤a<0，則φ(x)≥0，f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上遞增，f(x)>f(0)=0，也與題意不符．

綜上可得，a<-1．

1.4 回顧

問題10你能檢驗一下這個結(jié)果嗎？有沒有直觀的驗證方法？

預(yù)設(shè) 能．畫出函數(shù)f(x),φ(x),φ′(x)的圖象，并結(jié)合圖3～圖5進(jìn)行分析驗證發(fā)現(xiàn)上述過程正確．

圖3 圖4 圖5

問題11你能結(jié)合圖象給出新的方法嗎？

預(yù)設(shè) 解法2，仍然對a進(jìn)行分類討論．

若a≥0，則當(dāng)x∈(-1,0)時，φ(x)>0，f′(x)>0，f(x)遞增，f(x)

若-1≤a<0，則當(dāng)x>0時，φ′(x)>0，φ(x)遞增，φ(x)>φ(0)=1+a≥0，即f′(x)>0，f(x)遞增，從而f(x)>f(0)=0，f(x)在(0,+∞)內(nèi)無零點(diǎn)，不符合題意．

綜上，a<-1．

問題12你能借助圖象從新的角度解釋題設(shè)條件的含義嗎？

預(yù)設(shè) 所謂函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．有時為便于利用圖象尋找交點(diǎn)，也可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象之間的交點(diǎn)問題．因此，分別構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(1+x)，h(x)=-axe-x，再畫出這兩個函數(shù)的圖象(圖6)．可以看出，除原點(diǎn)外，這兩個函數(shù)圖象若還能再有兩個交點(diǎn)，需要考慮原點(diǎn)附近圖象特征及變化趨勢．從而又轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)在原點(diǎn)處的切線斜率-a與1的大小比較，結(jié)合圖象不難得到，當(dāng)-a>1即a<-1時，滿足題意．

圖6 圖7

問題13你還能借助圖象從切線的角度再次給出恰有兩個零點(diǎn)的新的解釋嗎？

預(yù)設(shè) 構(gòu)造兩個新的函數(shù)m(x)=exln(1+x)及y=-ax．f(x)在(-1,0)和(0,+∞)上各有一個零點(diǎn)?方程exln(1+x)=-ax在區(qū)間在(-1,0)和(0,+∞)內(nèi)各有一個實根(圖7)．

問題14你能對上面的探究過程作個總結(jié)嗎？

預(yù)設(shè) 借助函數(shù)圖象進(jìn)行直觀分析，從局部入手，把握特殊點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)處函數(shù)性態(tài)的刻畫，然后再拓展到整體全面的分析判斷．

2 若干思考

2.1 借助波利亞“怎樣解題表”解題

“怎樣解題表”的4個步驟和程序組成了一個完整的解題教學(xué)系統(tǒng)．當(dāng)我們對一個比較難的高考導(dǎo)數(shù)壓軸題按照波利亞“怎樣解題表”進(jìn)行解答時，會發(fā)現(xiàn)在由淺入深的問題串引導(dǎo)下，能夠讓分析逐漸進(jìn)行下去直至順利完成解答過程．因此，我們需要加深對波利亞“怎樣解題表”的理解和掌握．

2.2 多角度深入研究高考試題

高考全國卷導(dǎo)數(shù)壓軸題盡管年年求新求異，但我們透過近幾年試題仍然可以發(fā)現(xiàn)，高考命題的原則是整體穩(wěn)定，適度創(chuàng)新．命題始終圍繞導(dǎo)數(shù)部分的主線內(nèi)容，聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性；注重數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧，突出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查．

在高三復(fù)習(xí)備考教學(xué)中，要深入研究近幾年高考試題，并對其作系統(tǒng)全面的梳理與研究，把握試題的變化趨勢，挖掘高考試題的潛在功能價值；積極引導(dǎo)學(xué)生從知識的本質(zhì)出發(fā)，對導(dǎo)數(shù)壓軸題進(jìn)行多角度剖析；運(yùn)用函數(shù)圖象等直觀想象分析工具，對定義區(qū)間邊界點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)特殊點(diǎn)附近的圖象進(jìn)行微觀分析，利用局部到整體、特殊到一般等思想方法多角度領(lǐng)悟題目的隱含條件，充分暴露命題意圖，簡化思維過程，優(yōu)化解題方法，降低運(yùn)算難度．從而在分析問題的過程中提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等學(xué)科核心素養(yǎng)．