高中數(shù)學(xué)多項選擇題命制研究及啟示
——以2020～2022年新高考Ⅱ卷試題為例

◎海南省農(nóng)墾中學(xué) 劉國海 郭嬋娟

2018年1月頒布的2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》具有基礎(chǔ)性、選擇性、發(fā)展性，明確了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“四基”與“四能”，提煉了發(fā)展能力內(nèi)涵的六大“核心素養(yǎng)”。在2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的指導(dǎo)下，新高考Ⅱ卷試題繼承了傳統(tǒng)高考的命題風(fēng)格，同時穩(wěn)中有變。內(nèi)容上除了注重邏輯思維能力、空間想象能力和運算求解能力考查外，逐漸加大了對數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力和動手實踐能力的考查，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。題型上凸顯2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對考試評價的引領(lǐng)作用，較傳統(tǒng)高考進(jìn)行改革創(chuàng)新，增加了多選題。本文通過對2020～2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷多選題命制的研究，談幾點解題建議及教學(xué)啟示。

一、應(yīng)用背景

縱觀2020～2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷，較傳統(tǒng)高考試題增設(shè)了4道多選題：每道試題所給的4個選項中，有二至三項符合題意，完全選對得5分，選對部分得2分，錯選不得分。多選題的“橫空出世”，實際上是在不分文理科的新形勢下，在考試形式與內(nèi)容持續(xù)改革的同時進(jìn)行題型創(chuàng)新以致于適應(yīng)教育時代性的一項舉措。另外，多選題也更能突出數(shù)學(xué)核心概念，重視“雙基”的有效落實，利用跨學(xué)科和多維度知識顯現(xiàn)學(xué)科和能力融合的效果，從多個角度對學(xué)生的綜合能力進(jìn)行考查，提升考試的信度與效度，體現(xiàn)對學(xué)科素養(yǎng)和創(chuàng)新精神的需求。

二、命制分析

從立意上，多選題集中展示數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，可直接考查學(xué)生“雙基”的掌握情況，也可以考查基本思想和活動經(jīng)驗。從命制上，多選題設(shè)有恰當(dāng)?shù)那榫常皇呛唵蔚匕褑芜x題改成多選題，更不是直接否定原有的單選題，將其拼湊成多選題。筆者認(rèn)真研究了2020～2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷的多選題，認(rèn)為多選題命制的形式有以下幾種類型：

1.“一干多支”型。

例1：我國新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，圖1是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是（）。

圖1

A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加

B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過80%

D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

本題引自2020年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷第9題，試題以折線圖為情境，考查對折線圖表示的函數(shù)的認(rèn)知與理解。這類多選題屬于“一干多支”型：在同一情境下，需要對4個選項呈現(xiàn)的不同結(jié)論做出判斷；或者是給定一個數(shù)學(xué)對象，設(shè)置不同性質(zhì)以判斷其真假。這種類型的多選題并不是簡單地聚集一些知識點，也不是單純地把幾個根本沒有任何關(guān)聯(lián)的命題拼湊在一起，類似于大雜燴。再如2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷的第9題：

例2：函數(shù)f(x) = sin ( 2x+φ) (0 ＜φ＜π)的圖像以中心對稱，則（）。

本題考查函數(shù)(f)x=Asin(xω+φ)圖像與性質(zhì)。根據(jù)題干所給條件，可以求得函數(shù)解析式題目設(shè)置的4個選項均是在此基礎(chǔ)上，對該函數(shù)的單調(diào)性、極值點、對稱軸、切線等不同結(jié)論做出判斷，同樣屬于多選題中的“一干多支”型試題。

2.“盤根錯節(jié)”型。

例3：已知a＞0，b＞0，且a+b=1，則（）。

本題引自2020年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷第12題，主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了均值不等式、指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。A、B選項用已知關(guān)系消元，C、D選項考查均值不等式，所有選項又同時用到了函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。這類多選題屬于“盤根錯節(jié)”型：每一個選項都經(jīng)過精心設(shè)計，相互之間又具有知識的內(nèi)在聯(lián)系或者方法的相通性。再如2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷的第10題：

例4：已知O是坐標(biāo)原點，過拋物線C:y2=2 2px(p＞0)焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，M(p，0)，若AF=AM,則（）。

本題考查拋物線C:y2= 2px(p＞0)的圖像與性質(zhì)。4個選項涉及焦點弦的斜率、弦長、焦半徑、直線夾角等問題，選項相關(guān)知識點錯綜復(fù)雜，“你”中有“我”，“我”中有“你”，相互之間聯(lián)系密切，同樣屬于多選題中的“盤根錯節(jié)”型試題。

3.“如出一轍”型。

例5：如圖2，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M、N為正方體的頂點，則滿足MN⊥OP的是（）。

圖2

本題引自2021年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷第10題，以正方體為載體，考查異面直線垂直關(guān)系的判定。這類問題屬于“如出一轍”型：題目考查內(nèi)容、條件或選項指向同一知識模塊，甚至是某一具體的知識點，只需通過精準(zhǔn)定位即可完成題目解答，解題難度相對較低，試題區(qū)分度相對較小。再如2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷的第12題：

例6：對實數(shù)x、y，滿足x2+y2-xy=1，則（）。

4.“殊途同歸”型。

例7：下列統(tǒng)計量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的是（）。

A.樣本x1，x2，…，xn的 標(biāo)準(zhǔn)差

B.樣本x1，x2，…，xn的 中位數(shù)

C.樣本x1，x2，…xn的 極差

D.樣本x1，x2，…xn的平均數(shù)

本題引自2021年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷第9題，考查標(biāo)準(zhǔn)差、極差等兩個不同的指標(biāo)均可以衡量樣本數(shù)據(jù)的離散程度。這類試題屬于“殊途同歸”型：題目是針對某一數(shù)學(xué)對象的一個屬性，設(shè)置不同角度的問題達(dá)到深度研究該數(shù)學(xué)對象的作用。再如2022年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷的第11題：

例8：如圖3，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD,FB‖ED，AB=ED= 2FB， 記三棱錐E-ACD、F-ABC、F-ACE的體積分別為V1、V2、V3，則（）。

圖3

本題是通過分別求三棱錐E-ACD、F-ABC、F-ACE的體積，進(jìn)而判斷1V、2V、3V的關(guān)系。其中三棱錐E-ACD、F-ABC的體積均可采用常規(guī)體積公式求解，而三棱錐F-ACE的體積則需要采用割補(bǔ)法求解。由此可見，該題目主要是通過幾個不同類型的幾何體，研究體積的不同求法，達(dá)到深度研究該知識點的目的，屬于多選題中的“殊途同歸”型試題。

5.“同源異流”型。

例9：已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2，點A(a，b)，則下列說法正確的是（）。

A.若點A在圓C上，則直線l:與圓C相切

B.若點A在圓C內(nèi)，則直線l:與圓C相離

C.若點A在圓C外，則直線l:與圓C相離

D.若點A在直線l:上，則直線l:與圓C相切

本題引自2021年新高考Ⅱ卷第11題，考查直線與圓的位置關(guān)系。這類問題屬于“同源異流”型：試題題設(shè)條件不確定，各選項分別展示不同條件下產(chǎn)生的相異結(jié)論。再如2020年新高考Ⅱ卷的第10題：

例10：已知曲線C:mx2+ny2=1，則（）。

A.若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上

B.若m=n＞0，則C是圓，其半徑為

C.若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為

D.若m=0，n＞0，則C是兩條直線

試題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。屬于不同條件下產(chǎn)生不同的結(jié)論，是多選題中的“同源異流”型試題。

由此可見，多選題與單選題在命制上有頗多相通之處，也有較大的差異性。多選題的命制，無論是從試題立意、背景材料的選擇、情境任務(wù)的設(shè)置，還是選項的擬定，都是以落實高考評價體系、強(qiáng)化素養(yǎng)為指導(dǎo)，既考慮其功能性、基礎(chǔ)性、可行性，又關(guān)注試題的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性，充分發(fā)揮多選題區(qū)分度好的功能。

三、答題建議

多選題的設(shè)計一般突出一個主題，設(shè)置多個正確選項供考生選擇，具有知識容量大，涉及面廣，思路方法多，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想比較豐富的特點，其解答方法上與解單選題有相通之處，也有區(qū)別。

1.延用單選解法尋突破。解答多選題既要用到常規(guī)題的解題方法，也要看到多選題的特殊性。跟單選題一樣，基本策略同樣是認(rèn)真審題、深入細(xì)致分析、嚴(yán)密推演、謹(jǐn)防疏漏，做到“快狠準(zhǔn)”。當(dāng)然，解答單選題常用的直接法、排除法、特例法、逆推法、構(gòu)造法、極限法、數(shù)形結(jié)合法等技巧同樣適用于多選題的解答。

例11：設(shè)正整數(shù)n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2 2k-1+ak·2k，其 中ai∈ { 0，1}，記ω(n) =a0+a1+…+ak，則（）。

這是2021年新高考Ⅱ卷第12題，選取特殊值法：令n=1，則

顯然，ACD選項正確。利用特殊值法同樣可以實現(xiàn)化繁為簡，達(dá)到事半功倍的效果。

2.分析題設(shè)條件抓本質(zhì)。解答多選題同樣需要認(rèn)真分析題干提供的已知條件，尤其是找出隱含信息，抓住問題的本質(zhì)，力爭“一招制敵”。不能僅僅看到表層信息就直接解答，更要避免小題大做，應(yīng)根據(jù)題意選擇巧妙方法隨機(jī)應(yīng)變地處理，多些角度去思考、探索，達(dá)到盡量少算，能不算就不算的高效目標(biāo)。

例12：圖4是函數(shù)y= sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin (ωx+φ)=（）。

圖4

這是2020年新高考Ⅱ卷第11題：主要是考查函數(shù)y=Asin (ωx+φ)的圖像。通過所給圖像，易得最小正周期T=π，于是ω= 2，排除A選項，代入特殊點的坐標(biāo)可知B選項正確。根據(jù)正、余弦曲線的關(guān)系，y=Acos(ωx+φ0)的圖像是由y=Asin (ωx+φ)的圖像通過平移得到，ωx+φ0與ωx+φ應(yīng)是相差的奇數(shù)倍關(guān)系，故排除D選項，即C選項正確。顯然，充分理解正、余弦曲線的關(guān)系及解析式特點，抓住問題的本質(zhì)，可以精準(zhǔn)切入，提高解題效率。

3.依據(jù)個人能力定策略。從概率的角度來看，多選題得5分的概率較單選題有所降低，得2分的概率明顯加大。解題時考生可根據(jù)個人實際情況，準(zhǔn)確定位得分目標(biāo)。若部分選項無法確定正確與否,那就當(dāng)作單選題來做，選擇一個自己拿得準(zhǔn)的選項，不冒險搏5分，同時避免得0分的風(fēng)險。而對于有一定把握的問題，可以采取“搏一搏”的積極策略，選擇多個選項爭取拿到5分。

四、教學(xué)啟示

1.整合新教材提高閱讀能力。新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷閱讀量較傳統(tǒng)高考試卷明顯增加，學(xué)生在文字、信息較多的多選題閱讀上存在障礙，提取信息能力不強(qiáng)，導(dǎo)致解題時間不足、效率不高。新形勢下，教師要利用新教材的特點，以教材中閱讀與思考、建模與探究活動等材料為載體，整合知識性、方法性、趣味性的閱讀材料，創(chuàng)設(shè)閱讀環(huán)境，加大對學(xué)生閱讀能力的培養(yǎng)。

2.重視傳統(tǒng)文化教育的價值。新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷試題更加密切地聯(lián)系現(xiàn)實社會，重視文化與數(shù)學(xué)相融、生活與數(shù)學(xué)相通，更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)以致用。數(shù)學(xué)教學(xué)要從聯(lián)系數(shù)學(xué)與生活上升到關(guān)注數(shù)學(xué)與社會、經(jīng)濟(jì)、文化的關(guān)系，讓學(xué)生善用數(shù)學(xué)的眼光看世界。同時將數(shù)學(xué)文化引入課堂，以數(shù)學(xué)思想為脈絡(luò)，浸潤學(xué)生的數(shù)學(xué)欣賞能力，指向立德樹人的育人目標(biāo)，提升理性思維與認(rèn)知能力。

3.開展經(jīng)典例題的課堂教學(xué)。開展多選題解題方法教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生站在命題老師的角度思考每一個問題，拓寬學(xué)生思考問題的視野，把思維引向更深處。比如如何命題？會選擇什么載體作為題設(shè)？選項如何設(shè)置？要考查什么能力和核心素養(yǎng)？同時多鼓勵學(xué)生揭示命題視角，進(jìn)而嘗試命制多選題，提升解題的深刻性，讓解題做到有的放矢。

4.提升夯實“雙基”的解題效能。從多選題對知識方法的考查方面來看，多選題仍重視主干知識考查，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性，強(qiáng)化從學(xué)科整體高度考慮問題，因此做好多選題仍需夯實雙基。有效落實雙基的訓(xùn)練，不是簡單地重復(fù)和記憶，而是要抓住本質(zhì)認(rèn)識知識體系，把模塊、主題、章節(jié)里的典型問題進(jìn)行分類、歸納、綜合，收集豐富的課堂解題教學(xué)素材，提高訓(xùn)練的針對性，提升多選題的解題教學(xué)效能。

5.建立體系實現(xiàn)關(guān)鍵能力提升。加強(qiáng)基礎(chǔ)知識和基本技能的訓(xùn)練，不是簡單地重復(fù)訓(xùn)練，而是深化認(rèn)識，從本質(zhì)上發(fā)現(xiàn)知識之間的關(guān)系和聯(lián)系，從而加以分析、整理、綜合，形成一個知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，使數(shù)學(xué)知識排列有序，相互關(guān)系清晰分明。因此在教學(xué)中，要加強(qiáng)圍繞教學(xué)內(nèi)容，通過思維導(dǎo)圖、網(wǎng)絡(luò)圖、表格等工具，引領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建基礎(chǔ)知識框架，將基礎(chǔ)知識網(wǎng)絡(luò)化，關(guān)注學(xué)生語言表達(dá)準(zhǔn)確化、分析問題程序化等方面的培養(yǎng)。

6.發(fā)展創(chuàng)新應(yīng)用的數(shù)學(xué)能力。近三年的新高考Ⅱ卷試題更加強(qiáng)調(diào)能力立意，尤其是對多選題的設(shè)置提出了從問題切入，整體把握數(shù)學(xué)知識體系結(jié)構(gòu)，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)思想組織材料的新要求。這就需要中學(xué)數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)和解題訓(xùn)練中重視培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中潛意識地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。