撥云見日，一探高中數(shù)學(xué)多項(xiàng)選擇題

◎海南省農(nóng)墾中學(xué) 吳春霞

習(xí)近平總書記在2018年全國(guó)教育大會(huì)中指出：“要在增強(qiáng)綜合素質(zhì)上下功夫，教育引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)綜合能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維”。高考考試內(nèi)容改革要落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，從“考知識(shí)”“考能力”轉(zhuǎn)向“考素養(yǎng)”，從“解答題目”轉(zhuǎn)向“解決問(wèn)題”，促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)、服務(wù)國(guó)家人才選拔。高考試題要突出綜合性，注重更加豐富的試題呈現(xiàn)方式，在考查必備知識(shí)和關(guān)鍵能力的基礎(chǔ)上更加強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通，聯(lián)系、發(fā)展、辯證地處理主干知識(shí)內(nèi)容，培養(yǎng)關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)，著重體現(xiàn)學(xué)生的思維品質(zhì)。

多項(xiàng)選擇題相較于單項(xiàng)選擇題而言，降低了學(xué)生做題蒙對(duì)的概率：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題蒙對(duì)的概率是四分之一，多選題（四個(gè)選項(xiàng)中至少兩個(gè)正確）蒙對(duì)的概率是十一分之一，更能體現(xiàn)考生的真實(shí)水平。而對(duì)于做題不是靠蒙的考生，多選題的多級(jí)得分模式有利于提高低水平考生的得分，也有利于區(qū)分出高能力考生。多項(xiàng)選擇題相對(duì)于單項(xiàng)選擇題更能考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的真實(shí)掌握程度，體現(xiàn)選拔功能。

一、考查意義

1.數(shù)學(xué)學(xué)科概念豐富，只有對(duì)概念的內(nèi)涵與外延理解到位才能避開易錯(cuò)點(diǎn)，真正掌握概念。多項(xiàng)選擇題可以包含更多的信息，可以從不同的角度設(shè)計(jì)選擇支，從而更能考查學(xué)生對(duì)基本概念、基本方法的掌握程度與應(yīng)用水平。

2.與單項(xiàng)選擇題一樣，多項(xiàng)選擇題題型靈活。多項(xiàng)選擇題能夠覆蓋更多的知識(shí)，對(duì)學(xué)生的答題過(guò)程不做要求，從而減少解答時(shí)間。在限時(shí)考試中，有利于學(xué)生“熟、快、準(zhǔn)”地求解，既考記憶又考理解，既考演算又考論證。

3.與單項(xiàng)選擇題一樣，多項(xiàng)選擇題利于機(jī)器閱卷，評(píng)分客觀，能夠提高閱卷效率。這樣能減少因?yàn)槿斯づ芯順?biāo)準(zhǔn)差異而造成評(píng)分不均，增加試卷的考查信度。

二、命題角度

1.一枝多葉型。在一個(gè)問(wèn)題的情境下，通過(guò)設(shè)置其從屬關(guān)系下的結(jié)論為選擇支的題稱為“一枝多葉”型。這樣的命題有利于考查學(xué)生知識(shí)體系的系統(tǒng)性，增加試卷的知識(shí)覆蓋面。

A．f(x)的一個(gè)周期為2π

B．f(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱

C．f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為π

D．f(x)在上單調(diào)遞減

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）（或f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0））的 圖 像 及性質(zhì)，包括五點(diǎn)作圖法、圖像的變換、函數(shù)的單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心等，是“三角函數(shù)”這一模塊的重要知識(shí)點(diǎn)。這道題在給出一個(gè)具體的函數(shù)的情境下，以其周期、對(duì)稱軸、零點(diǎn)、單調(diào)性作為選擇支，很好地綜合考查了f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的性質(zhì)。

2.同氣連枝型?！巴瑲膺B枝”出自南朝梁·周興嗣《千字文》：“孔懷兄弟，同氣連枝”，釋義為：有血統(tǒng)關(guān)系的親屬，指兄弟姊妹。在這里，筆者將在一個(gè)問(wèn)題情境下，通過(guò)設(shè)置同一知識(shí)模塊中幾個(gè)相關(guān)單元知識(shí)為選擇支的題稱為“同氣連枝”型。這樣的命題相比較“一枝多葉”型，對(duì)學(xué)生的要求更高：通過(guò)對(duì)比相關(guān)聯(lián)的幾個(gè)知識(shí)的聯(lián)系和區(qū)別，辨識(shí)其本質(zhì)，如橢圓與雙曲線，等差數(shù)列與等比數(shù)列等，增加了知識(shí)橫向聯(lián)系的考查。從2020年與2021年新高考卷的考題來(lái)看，這種類型的多項(xiàng)選擇題最受青睞。

例2：（2020年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第9題，Ⅱ卷第10題）已知曲線C:mx2+ny2=1（）。

A.若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若m＞n＞0，則C是圓，其半徑為

C.若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為

D.若m= 0，n＞0，則C是兩條直線

“解析幾何”是高中數(shù)學(xué)的一大重要知識(shí)模塊，包含：直線、圓、橢圓、雙曲線與拋物線。這道題通過(guò)四個(gè)選擇支的設(shè)置，考查了橢圓、圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的相關(guān)量：焦點(diǎn)、半徑、漸近線，還有特殊的直線方程。直線、圓、橢圓和雙曲線作為解析幾何模塊的重要構(gòu)成，它們從定義、標(biāo)準(zhǔn)方程到簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)都很類似，如橢圓和雙曲線定義中只有“距離之和”和“距離的差的絕對(duì)值”的不同，其他描述完全一樣；如橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程從結(jié)果僅有一個(gè)“+”和一個(gè)“-”的區(qū)別，但是其中的a、b的含義卻不同……要掌握它們，即要理解它們的聯(lián)系，又要理解它們的不同。這樣的命題，對(duì)學(xué)生的知識(shí)面和關(guān)鍵能力要求更高，更能區(qū)分出學(xué)生的水平，體現(xiàn)試卷的選拔功能。

例3：（2021年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第10題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1( cosα， sinα)，P2(cosβ，-s sinβ)，P3(cos(α+β) ， sin (α+β))，A( 1，0)，則（）。

這道題在已知相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)的情境下，設(shè)置了向量的4個(gè)選擇支，A、B兩個(gè)選擇支考查的是向量的模，C、D兩個(gè)分支考查數(shù)量積的運(yùn)算。在進(jìn)行相關(guān)項(xiàng)的運(yùn)算時(shí)，需要運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中的平方和關(guān)系，以及兩角和的余弦公式。要完成這道題，學(xué)生對(duì)平面向量坐標(biāo)形式下的模的運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算，以及三角恒等變換中的公式都需要完全掌握。綜合考查了學(xué)生對(duì)三角運(yùn)算、平面向量運(yùn)算兩個(gè)相對(duì)獨(dú)立又有著關(guān)系的知識(shí)模塊的掌握情況。

3.百川朝海型。“百川朝?！敝形尼屃x為眾水奔流趨向大海，比喻無(wú)數(shù)分散的事物匯集到一處。在這里，我將4個(gè)選擇支設(shè)置成獲得題干結(jié)論的充分條件的多項(xiàng)選擇題稱為“百川朝?！毙?，例如在新定義問(wèn)題中，將4個(gè)選擇支設(shè)置成符合（或者不符合）新定義的模型。這種類型類似“一枝多葉”和“同氣連枝”型的逆命題。這種類型與“一枝多葉”“同氣連枝”型共存，更能考查學(xué)生的逆向思維以及思維的靈活度。

例4：已知a、b表示直線，α、、β、γ表示平面．定義：若把命題P中的直線改為平面，平面改為直線，得到的命題為真命題，則命題P叫做對(duì)偶命題．下列命題為對(duì)偶命題的是（）。A．α、∥、β，γ∥、β，則α、∥γB．α、∥、β、，b∥、β，則a、∥、bC．a(chǎn)、⊥、b，γ⊥、b，則α、∥γD．α、∥、β，α、⊥a、，則、β⊥a、

這道題中新定義了“對(duì)偶命題”，4個(gè)選擇支都滿足題干新定義中的條件，也可能不滿足，需要逐一檢查才能獲解。既考查了學(xué)生對(duì)選擇支中直線與平面平行、垂直的論證判斷，又考查學(xué)生對(duì)新定義的理解及運(yùn)用能力，對(duì)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)提出更高要求。

4.霧集云合型。將4個(gè)選擇支完全來(lái)自不同知識(shí)點(diǎn)的多項(xiàng)選擇題稱為“霧集云合”型。這種類型的顯著作用是增加試卷的知識(shí)覆蓋面，可以將其他題型中沒(méi)有考查到又不想漏查的知識(shí)匯集在一起進(jìn)行考查。這種“大雜燴型”的命題方式，因?yàn)橹黝}不突出，應(yīng)該不會(huì)在高考試卷中出現(xiàn)。

例5：下列說(shuō)法正確的是（）。

B．冪 函 數(shù)f（x） =mxm2-2m-3（m∈R）在 區(qū) 間（0，+∞）上單調(diào)遞減

C．拋物線y= 4x2的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合

D．函數(shù)f（x）= sin|x|+ |sinx|的最大值為2

這道題目的4個(gè)選擇支依次考查的是向量相等的定義、冪函數(shù)的一般形式及其單調(diào)性、拋物線與橢圓的焦點(diǎn)、函數(shù)的最值。這4個(gè)知識(shí)點(diǎn)來(lái)自不同的知識(shí)模塊，選擇支之間相互獨(dú)立。

無(wú)論是哪種類型的命題角度，都要求學(xué)生“熟、快、準(zhǔn)”地求解，因此一般不會(huì)設(shè)計(jì)4個(gè)選擇支都需要大量演算或者復(fù)雜推理的題目，更多的是直接考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握情況，如例1、例2、例3；或者考查基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，測(cè)評(píng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，如例4、例5。通過(guò)合理設(shè)置選擇支，增強(qiáng)試題的靈活性和開放性，多角度的提問(wèn)、不唯一的答案，讓題海戰(zhàn)術(shù)、機(jī)械刷題不被推崇，從而起到減負(fù)的作用，考查出學(xué)生的真實(shí)水平，體現(xiàn)選拔功能。

三、解答方法

1.直接法。就是直接從題目的條件出發(fā)，利用概念、定理、公式、法則等基本知識(shí)來(lái)判斷4個(gè)選擇支是否正確。如例3，直接代入向量坐標(biāo)表示下的模的計(jì)算公式就能判斷選項(xiàng)A和B,把相關(guān)的坐標(biāo)代入數(shù)量積的公式來(lái)判斷C和D選項(xiàng)。直接法類似解答題的解法，但是因?yàn)椴恍枰獣鴮戇^(guò)程，所以可以不要逐步求解，可以將心算和手寫結(jié)合，大跨度前進(jìn)，以達(dá)到快速求解的目的。高考試題強(qiáng)調(diào)雙基的考查，而多項(xiàng)選擇題又能很好地滿足雙基知識(shí)覆蓋的題型，所以直接法是其主要解決方法。

2.特例法。特例法是根據(jù)題設(shè)和各選項(xiàng)的具體情況和特點(diǎn)，選取滿足條件的特殊的數(shù)值、特殊的點(diǎn)、特殊的例子、特殊的圖形、特殊的位置、特殊的函數(shù)、特殊的方程、特殊的數(shù)列等，針對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行代入對(duì)照，從而得到正確答案的方法。特例法是解決數(shù)學(xué)客觀題（選擇或填空題）的常用方法，選取得當(dāng)可以大大減少解題時(shí)間。如例3，可以取可以結(jié)合向量的模與數(shù)量積的運(yùn)算法則，快速排除選項(xiàng)B、D，再結(jié)合多項(xiàng)選擇題的特點(diǎn)就知道可以選A、C。

3.數(shù)形結(jié)合法。華羅庚曾說(shuō)過(guò)“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事非”。數(shù)形結(jié)合作為一個(gè)重要思想方法，在高中數(shù)學(xué)中廣泛運(yùn)用，利用圖形的直觀性，可以使得代數(shù)問(wèn)題一目了然，所以經(jīng)常是有圖用圖，沒(méi)圖想圖進(jìn)行求解。而對(duì)于“一枝多葉”型多項(xiàng)選擇題，如果選擇支考查的是函數(shù)的不同性質(zhì)，就可以利用函數(shù)的圖像快速判斷幾個(gè)選擇支，如例2，只需要作出的簡(jiǎn)圖，就能同時(shí)快速地對(duì)選項(xiàng)A、B、D進(jìn)行判斷，再結(jié)合圖像的變換就能判斷選項(xiàng)C。

4.矛盾對(duì)立分析法。在多項(xiàng)選擇題中如果存在一對(duì)選項(xiàng)在數(shù)學(xué)邏輯上互相對(duì)立或者互相矛盾，那么在此對(duì)立兩對(duì)選項(xiàng)中會(huì)有一個(gè)正確項(xiàng)；若存在兩對(duì)內(nèi)容互相對(duì)立或矛盾的選項(xiàng)，則應(yīng)該從兩對(duì)對(duì)立項(xiàng)中分別選擇一個(gè)選項(xiàng)作為正確選項(xiàng)；再或者可根據(jù)選項(xiàng)中互相矛盾的選項(xiàng)做出對(duì)正確答案的基本判斷，即相互矛盾的選項(xiàng)不可同選。

例6：（2022年全國(guó)新高考II卷11題）如圖1，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB=ED=2FB,記三棱錐E-ACD,F-ABC,F-ABE的體積分別為V1、V2、V3、則（）。

圖1

A．V3＝2V2B．V2＝V1

C．V2＝V1＋V2D．2V3＝3V1

注意此題4個(gè)選項(xiàng)中出現(xiàn)的矛盾情況，如B正確，CD選項(xiàng)中就會(huì)出現(xiàn)體積為0的情況，根據(jù)題意這是明顯不可能的，所以B、C、D選項(xiàng)不能同選，此時(shí)要么選A、B，要么選C、D；若B是錯(cuò)誤的，那答案將在A、C、D中產(chǎn)生，且已知A、C、D不能同為正確選項(xiàng)，所以此題不用算就知道只有2個(gè)選項(xiàng)是正確的，所以此題正確選項(xiàng)可能是A、B，A、C，A、D，C、D四種可能，雖然這樣不能完全確定準(zhǔn)確答案，但是已經(jīng)大大縮小了此題的難度，或者可以輕易驗(yàn)證自己的選擇是不是有正確的可能。

5.等價(jià)選項(xiàng)辨析法。在多項(xiàng)選擇題中，如果存在兩對(duì)等價(jià)選項(xiàng)或類似選項(xiàng)，則其中一對(duì)等價(jià)或類似選項(xiàng)應(yīng)該為正確選項(xiàng)，此種題目較少，但在高考題中也有呈現(xiàn)。

例7：（2020年全國(guó)新高考II卷11題）圖2是函數(shù)y= sin（ωx+φ）的部分圖像，則 sin（ωx+φ）＝( )。

圖2

此題用等價(jià)選項(xiàng)選擇進(jìn)行求解法會(huì)非常簡(jiǎn)單，此題沒(méi)有給出φ的取值范圍，所以4個(gè)選項(xiàng)均有可能符合條件，但注意到只有B、C選項(xiàng)屬于等價(jià)選項(xiàng)，A和D都和B、C不等價(jià)，所以此題選B、C或A、D，又因?yàn)锳和D不是等價(jià)選項(xiàng)，不可能同選A、D，所以此題不需要計(jì)算即可選B、C。

6.保分法。根據(jù)多選題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，選對(duì)部分選項(xiàng)得2分，而有選錯(cuò)選項(xiàng)的得0分。當(dāng)我們對(duì)4個(gè)選項(xiàng)中的部分選項(xiàng)很難判斷對(duì)錯(cuò)或是時(shí)間不允許進(jìn)行驗(yàn)算時(shí)，采用只選對(duì)的個(gè)別選項(xiàng)保2分，而不是去對(duì)無(wú)把握的選項(xiàng)作出判斷，避免得0分的風(fēng)險(xiǎn)。

四、教學(xué)建議

1.新高考評(píng)價(jià)體系提出“一核四層四翼”?！八膶印敝械牡谝粚泳褪恰氨貍渲R(shí)”，“四翼”中的一翼是“基礎(chǔ)性”，多項(xiàng)選擇題能更好地增加試卷的覆蓋面，因此在實(shí)現(xiàn)這“一層一翼”中發(fā)揮著重要的作用，要做好多項(xiàng)選擇題，就需要教師在教學(xué)中注重主干知識(shí)體系的建立，在“概念、公式、定理”等基本知識(shí)的教學(xué)中抓住知識(shí)的發(fā)生點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)等知識(shí)的內(nèi)涵與外延。

2.基于素養(yǎng)導(dǎo)向的新高考除了考查學(xué)生的基本知識(shí)外，還注重學(xué)生關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的體現(xiàn)。在教學(xué)中，在覆蓋知識(shí)面的基礎(chǔ)上需要通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，使得學(xué)生在運(yùn)用基本知識(shí)來(lái)解決情境問(wèn)題中提高提取信息的能力，并能夠轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解決，提高轉(zhuǎn)化的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活度和廣度。只有在平常教學(xué)中提供促成學(xué)生關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)養(yǎng)成的情境，才能夠?qū)崿F(xiàn)能力和素養(yǎng)的養(yǎng)成。

3.在日常教學(xué)中，要滲透多項(xiàng)選擇題等新題型的訓(xùn)練，才能讓學(xué)生弄清楚新題型的命題角度及其解決方法。