2021年以色列秋令營一道不等式試題的探究

鄧學(xué)忠

(山東省東營市第二中學(xué) 257000)

2021年以色列秋令營數(shù)學(xué)競賽中有如下一道不等式試題：設(shè)

a

,

b

,

c

≥0，

a

+

bc

=2，求證：

①．

不等式①的左邊含有三個(gè)變量，右邊只含有一個(gè)變量，兩邊極不對稱.對此可考慮將左邊第一項(xiàng)移到右邊，使相同的變量在同一邊，由此可以打開解題思路．

證明

不等式①等價(jià)于②．

由于=

由已知條件易知0≤

bc

≤2，則有(2-

bc

)(

b

+

c

-2

bc

)≥0，整理得所以所以欲證不等式②，只需證兩邊去分母后整理得

a

-6

a

+17

a

-28

a

+24

a

-8≤0，分解因式得(

a

-2)(

a

-1)[(

a

-1)+3]≤0 ③．

點(diǎn)評

對不等式②的處理，按照減元策略，容易想到從左邊入手，通過“先通分，再變形，后放縮”的方法，使左邊含有兩個(gè)變量的式子放縮為只含有一個(gè)與右邊相同變量的式子，從而將三元不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式，實(shí)現(xiàn)了問題的根本性轉(zhuǎn)變．

將上述賽題推廣，可得到

推廣

設(shè)求證：

④．

證明

由于由已知條件易知0≤

bc

≤

m

，則有(

m

-

bc

)(

b

+

c

-2

bc

)≥0，整理得所以所以欲證不等式④，只需證兩邊去分母后整理得

a

+(2-4

m

)

a

+(5

m

-3

m

+3)

a

-(2

m

+2

m

+2

m

)

a

+(5

m

-5

m

+2

m

)

a

-2

m

+4

m

-2

m

≤0，分解因式得(

a

-

m

)[

a

+(2-3

m

)

a

+(2

m

-

m

+3)

a

+(

m

-3

m

)

a

+2

m

-4

m

+2

m

]≤0 ⑤．

(3)差價(jià)補(bǔ)貼提高14.67%，政府支出增加16.6%。由于目標(biāo)價(jià)格提高而市場價(jià)格下降，價(jià)差擴(kuò)大導(dǎo)致單位產(chǎn)品補(bǔ)貼增加14.67%，同時(shí)由于試點(diǎn)區(qū)大豆產(chǎn)量增加，政府補(bǔ)貼資金支出將增加16.6%，約10億元，從目前的60億增加到70億。

由已知易知0≤

a

≤

m

，則不等式⑤可轉(zhuǎn)化為

a

+(2-3

m

)

a

+(2

m

-

m

+3)

a

+(

m

-3

m

)

a

+2

m

-4

m

+2

m

≥0，等價(jià)于(

a

-

m

+1)(

a

-

ma

-

m

+3

m

+2)+(-

m

+3

m

-4)

a

+

m

-3

m

+

m

+3

m

-2≥0，等價(jià)于⑥．由可知由

a

及

m

的取值范圍得(2-

m

)

a

+(

m

-1)≥(2-

m

)

m

+(

m

-1)=1>0．于是不等式⑥成立，從而不等式④成立．

當(dāng)我們將目光再次聚焦到不等式①，考慮將左邊各個(gè)分母去平方項(xiàng)后進(jìn)行放縮，并與右邊加以比較，就會產(chǎn)生如下新的問題．

問題1

設(shè)

a

,

b

,

c

>0，

a

+

bc

=2，求證：

⑦．

證明

由于由三元均值不等式，得≥3，等價(jià)于3

bc

≤

bc

(

b

+

c

)+1，等價(jià)于4

bc

-1≤

bc

(

b

+

c

+1)，整理得所以所以欲證不等式⑦，只需證去分母，整理得2

a

-11

a

+24

a

-23

a

+8≥0，分解因式得(

a

-1)[2(

a

-1)+3(2-

a

)]≥0 ⑧．由已知條件易知0≤

a

≤2，由此可知不等式⑧成立，從而不等式⑦成立．

點(diǎn)評

將變形為之后，由于判斷與

bc

的大小比較困難，因此繼續(xù)變形為判斷與

bc

的大小就容易多了.所以，適當(dāng)?shù)刈冃斡欣诮忸}思路的順暢．

考慮到不等式①的下界問題，經(jīng)過探究得到：

問題2

設(shè)

a

≥1，

b

,

c

≥0，

a

+

b

+

c

=3，求證：

⑨．

證明

由已知條件及柯西不等式得則欲證不等式⑨，只需證⑩.78)≥0?(

a

-1)(

a

-3)(3

a

-13

a

-26)≥0?3(

a

-1)(

a

-3)-(

a

+35)(

a

-1)(

a

-3)≥0．由已知條件易知1≤

a

≤3，由此可知不等式成立，從而不等式⑨成立．

點(diǎn)評

不等式⑨看似復(fù)雜，但是根據(jù)已知條件，容易想到利用柯西不等式對左邊后兩項(xiàng)的和進(jìn)行放縮，由此轉(zhuǎn)化為一元不等式問題，再通過合理的去分母與分解因式，轉(zhuǎn)化為不等式就水落石出了．

由賽題可知，在已知條件下，不等式①的左邊小于等于1是不可能的，如果改變已知條件，這種結(jié)果會成立嗎？由此得到：

問題3

正實(shí)數(shù)

a

,

b

,

c

滿足

abc

(

a

+

b

+

c

)≥3，求證：

證明

去分母后，不等式等價(jià)于

a

b

c

+

a

b

+

c

a

+

b

c

≥4，等價(jià)于(

ab

+

bc

+

ca

)+

a

b

c

≥4+2

abc

(

a

+

b

+

c

)．由=2

abc

(

a

+

b

+

c

)可知，不等式可轉(zhuǎn)化為+

bc

+

ca

)+

a

b

c

≥4，等價(jià)于(

ab

+

bc

+

ca

)+3

a

b

c

(

ab

+

bc

+

ca

)≥12(

ab

+

bc

+

ca

).由舒爾不等式可知，(

ab

+

bc

+

ca

)+9

a

b

c

≥4

abc

(

a

+

b

+

c

)(

ab

+

bc

+

ca

)，所以不等式可轉(zhuǎn)化為4

abc

(

a

+

b

+

c

)(

ab

+

bc

+

ca

)+3

a

b

c

(

ab

+

bc

+

ca

)≥12(

ab

+

bc

+

ca

)+9

a

b

c

．

由可知不等式成立，從而不等式成立．

點(diǎn)評

與賽題比較，問題3的條件變復(fù)雜了，而要證明的不等式卻變簡單了，但是由于條件發(fā)生了改變，因此不能將不等式左邊第二、三項(xiàng)的和進(jìn)行放縮了，只能采用“笨辦法”去分母轉(zhuǎn)化為整式不等式，因?yàn)槭绞且粋€(gè)非齊次的不等式，轉(zhuǎn)化為不等式后利用舒爾不等式則是一種較為有效的解決途徑，否則思路會就此擱淺．

數(shù)學(xué)問題的探究，是一個(gè)知識和方法不斷深化的過程.因?yàn)樗伎疾庞辛诵聠栴}，因?yàn)閯邮肿霾庞辛私鉀Q問題的途徑，所以我們在數(shù)學(xué)解題的過程中，要不忘思考的初心，方得做題的始終，才能切實(shí)提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力．