一類二元最值問題的解法探究

孟偉業(yè)

(江蘇省揚州大學附屬中學 225009)

二元最值問題是指含有兩個變量、以求解最大值或最小值為目標的一類數(shù)學問題.本文對以為約束條件的二元最值問題進行探究，以兩道具體的二元最值問題為例，尋求解決這類問題的方法.

1 問題呈現(xiàn)

問題1

(2018年南通密卷一第13題)已知則的最小值是

.

問題2

(2019屆如皋2.5模第13題)已知正數(shù)

x

,

y

滿足則的最小值為

.

2 分析求解

運用基本不等式求解多元最值的問題中，有一類重要的問題就是“已知

ax

+

by

=

c

，求的最小值(其中

a

,

b

,

c

,

m

,

n

均為正的常數(shù))(*)”.考慮到

x

與與的相對性，這類問題也可以變形為：已知求

mx

+

ny

的最小值；已知求的最小值；已知求的最小值.對于這一類問題，我們常用“1”的代換，問題(*)可用乘“1”的方法加以解決，即當且僅當時，取“=”.

問題1的約束條件是這正是(*)中“條件”和“目標”的和式的結(jié)構(gòu)，本題所求的目標出現(xiàn)在約束條件中，于是約束條件可以“重組”為而當且僅當時，取“=”.于是問題1的解答如下：

設(shè)則

a

+

b

=10.因為當且僅當時取“=”)，所以

a

(10-

a

)≥16，解得2≤

a

≤8，所以的最小值是2.

問題2的約束條件是目標是“求的最小值”，所求目標并未出現(xiàn)在條件中，即使“配湊”得到也無法借鑒問題1中的方法加以解決.但我們可以在目標中加上一個“0”，可以得到的結(jié)構(gòu)，這樣利用兩次基本不等式也可以研究最值，于是問題2的解答如下：

當且僅當時取等號，且滿足條件.

3 深入探究

問題2的解答讓人感覺非常巧妙，一切很和諧.從結(jié)構(gòu)上看，問題2和問題1差不多，約束條件均是的結(jié)構(gòu)，前面我們得出問題1的答案是2.下面我們嘗試用問題2的方法解答問題1，即有當且僅當時，取“=”.但此時故這一方法失效.但是也給我們啟發(fā)，這里失效的原因是最后不能取等號，那么能否用待定系數(shù)法求出具體的系數(shù)，讓等號能夠取到呢？

下面用待定系數(shù)法嘗試解答問題當且僅當時，取“=”.

要使得等號成立的

λ

是多少呢？“回代”到原來的條件，得即即由

λ

>0，解得即所以故的最小值為2.

4 揭示本質(zhì)

在高等數(shù)學中，對于約束條件為

φ

(

x

,

y

)=0的二元函數(shù)

z

=

f

(

x

,

y

)求極值問題，可運用拉格朗日乘數(shù)法，先作拉格朗日函數(shù)

F

(

x

,

y

)=

f

(

x

,

y

)+

λφ

(

x

,

y

)，其中

λ

為拉格朗日常數(shù)，則由方程組解出

x

,

y

及

λ

，其中(

x

,

y

)就是函數(shù)

z

=

f

(

x

,

y

)在約束條件

φ

(

x

,

y

)=0下的可能極值點，進一步即可求出

z

=

f

(

x

,

y

)的最值.用待定系數(shù)法求解問題1，表面上加了“

λ

·0”，實際是構(gòu)造了拉格朗日函數(shù)整理得根據(jù)結(jié)構(gòu)特征，運用兩次基本不等式，將取等的條件再代入約束條件

φ

(

x

,

y

)=0，求出進而求出的最小值為2.問題2實際是取

λ

=1，構(gòu)造了拉格朗日函數(shù)整理得根據(jù)結(jié)構(gòu)特征，運用兩次基本不等式，取等的條件恰好滿足條件

φ

(

x

,

y

)=0.根據(jù)上述的分析，雖然都是構(gòu)造“拉格朗日函數(shù)”，但由于整理后為(

a

,

b

,

c

,

d

∈(0,+∞))”的形式，所以并未采用高等數(shù)學中的求偏導數(shù)的方法，而是運用基本不等式進行求解.

5 方法歸納

解決“約束條件為求或的最小值”這類問題時，若采用構(gòu)造“拉格朗日函數(shù)”，在滿足基本不等式成立的條件下(

a

,

b

,

c

,

d

,

m

,

n

不一定要全為正數(shù))，運用基本不等式即可使得問題求解.但事實上，根據(jù)取等條件，反求待定的

λ

值不是一件容易的事情(常用觀察法確定

λ

的值).但是根據(jù)前面的分析求解、深入探究以及揭示本質(zhì)，我們可以進一步歸納這類問題的解法：①所求的目標在條件中出現(xiàn)時，可以利用求出

X

或

Y

的最值(如或等)；②在①的研究中，計算

XY

時，可能出現(xiàn)形如

xy

或等結(jié)構(gòu)，我們可以由解得或的范圍，類似地，也可以由解得

xy

的范圍；

③所求的目標形如或時，無論是否出現(xiàn)在約束條件中，均可用構(gòu)造“拉格朗日函數(shù)”的方法，在符合基本不等式應用的條件下，利用基本不等式求解.