方程組有解問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題的思考*

俞杏明

(江蘇省興化中學(xué) 225700)

數(shù)學(xué)問題解決過程中，經(jīng)常需要把方程組有解問題，轉(zhuǎn)化為方程有解問題，這必須考慮轉(zhuǎn)化是否等價.

1 解答質(zhì)疑引發(fā)思考

例1

已知橢圓

C

的方程為直線

l

的方程為

y

=

x

+

m.

若直線

l

與橢圓

C

有公共點，求實數(shù)

m

的取值范圍.

解

聯(lián)立整理得7

x

+8

mx

+4(

m

-3)=0(*). 因為橢圓

C

與直線

l

有公共點，所以(*)式有解，所以所以實數(shù)

m

的取值范圍為

一次教研活動中有教師指出，上述解答中只能保證(*)式在(-∞，+∞)上有解，而題意的要求是(*)式在[-2,2]上有解.

2 溯源而上挖掘隱含

把(*)式7

x

+8

mx

+4(

m

-3)=0溯源至再將變形為因為所以所以-2≤

x

≤2.所以方程7

x

+8

mx

+4(

m

-3)=0若有解，則解一定在[-2,2]內(nèi).

3 提煉升華生成結(jié)論

剛才探究的實質(zhì)是：方程組有解問題與方程有解問題是否等價.

下面探究一般的情形：方程組有解問題，與方程有解問題是否等價?

由得所以

x

∈[-

a

,

a

].因此方程組有解問題，與方程=1有解問題等價.

注意到代入消元沒有改變被代入方程的結(jié)構(gòu)，因而對于一般的二元方程組有如下結(jié)論：

結(jié)論1

方程組有解問題，與

F

(

x

,

kx

+

m

)=0有解問題等價.

同理有：

結(jié)論2

方程組有解問題，與

F

(

py

+

q

,

y

)=0有解問題等價.

例2

若2

x

-2

xy

+

y

=1，求

x

+2

y

的最小值與最大值.分析 令

x

+2

y

=

t

，則有解，所以2(

t

-2

y

)-2(

t

-2

y

)

y

+

y

=1即13

y

-10

ty

+2

t

-1=0在

y

∈

R

上有解.此時無需限定13

y

-10

ty

+2

t

-1=0在上有解(在2

x

-2

xy

+

y

=1中，有略解 因為13

y

-10

ty

+2

t

-1=0在

y

∈

R

上有解,所以

Δ

=100

t

-4×13×(2

t

-1)≥0，解得所以

x

+2

y

的最小值為最大值為既然代入消元沒有改變被代入方程的結(jié)構(gòu)，因此在更一般的

y

=

f

(

x

)(

x

∈

D

)與

F

(

x

,

y

)=0組成的方程組中有如下結(jié)論：

結(jié)論3

方程組有解問題，與

F

(

x

,

f

(

x

))=0在

x

∈

D

上有解問題等價.

類似地，

結(jié)論4

方程組有解問題，與

F

(

g

(

y

),

y

)=0在

y

∈

E

上有解問題等價.

例3

已知正數(shù)

x

,

y

滿足求

xy

的取值范圍.

解

令

xy

=

t

，則有解.所以即在(0,+∞)上有解.令因為

f

(

x

)的對稱軸且

f

(0)=3

t

+2>0，要使在

x

∈(0,+∞)有解，則解得所以

xy

的取值范圍為

4 隱含對應(yīng)一一兼顧

方程組有解問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題時，有時會出現(xiàn)意想不到的錯誤.

例4

若曲線

C

：

y

=2

x

與曲線

C

：(

x

-

m

)+

y

=2有交點，求

m

的取值范圍.錯解 因為兩曲線有交點，所以有解，所以

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2=0有解，所以

Δ

=4(

m

-1)-4(

m

-2)≥0，解得所以

m

的取值范圍為這個答案顯然是錯誤的，當(dāng)

m

取較小負數(shù)時，兩曲線處于相離狀態(tài)，沒有交點.那么，錯誤的根源是什么？如何避免這樣的錯誤？下面先從簡單事例入手進行探討.在

x

+

y

=3與

y

=2

x

組成的方程組**)中，把

y

=2

x

代入

x

+

y

=3,得

x

+2

x

=3.解方程

x

+2

x

=3,得

x

=1或

x

=-3.可其中

x

=-3不滿足方程組**)比較

x

+2

x

=3與

x

+

y

=3會發(fā)現(xiàn)，方程

x

+2

x

=3中缺失方程組**)隱含的制約2

x

=

y

≥0.對方程

x

+2

x

=3加上制約

x

≥0，則既保持著方程組(**)中

x

+

y

=3的結(jié)構(gòu)，又保留了

y

=2

x

隱含的對

x

的制約.同時還發(fā)現(xiàn)，的解

x

=1，對應(yīng)著**)中兩組解或

對剛才的例子進行一般化，有如下結(jié)論：

結(jié)論5

設(shè)

y

=

f

(

x

)中隱含的

x

取值范圍為

D

，

y

=

f

(

x

)代入

F

(

x

,

y

)=0得到的方程為

u

(

x

)=0，則是否有解與

u

(

x

)=0在

x

∈

D

上是否有解等價，且的解的組數(shù)等于

u

(

x

)=0(

x

∈

D

)每一個解代入得到的解組數(shù)之和.

同理有：

結(jié)論6

設(shè)

x

=

f

(

y

)中隱含的

y

取值范圍為

E

，

x

=

f

(

y

)代入

F

(

x

,

y

)=0得到的方程為

v

(

y

)=0，則是否有解與

v

(

y

)=0在

y

∈

E

上是否有解等價，且解的組數(shù)等于

v

(

y

)=0(

y

∈

E

)每一個解代入得到的解組數(shù)之和.

更一般地，有以下結(jié)論：

結(jié)論7

設(shè)

A

(

x

,

y

)=0中隱含的

x

取值范圍為

D

，

A

(

x

,

y

)=0代入

F

(

x

,

y

)=0得到的方程為

u

(

x

)=0，則是否有解與

u

(

x

)=0在

x

∈

D

上是否有解等價，且解的組數(shù)等于

u

(

x

)=0(

x

∈

D

)每一個解代入得到的解組數(shù)之和.

結(jié)論8

設(shè)

A

(

x

,

y

)=0中隱含的

y

取值范圍為

E

，

A

(

x

,

y

)=0代入

F

(

x

,

y

)=0得到的方程為

v

(

y

)=0，則是否有解與

v

(

y

)=0在

y

∈

E

上是否有解等價,且解的組數(shù)等于

v

(

y

)=0(

y

∈

E

)每一個解代入得到的解組數(shù)之和.

下面我們重新求解例4.

正解

因為兩曲線有交點，所以有解，由結(jié)論5知(

x

-

m

)+2

x

=2即

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2=0在

x

∈[0,+∞)上有解.令

f

(

x

)=

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2，則

f

(0)=

m

-2≤0，或解得所以

m

的取值范圍為

把例4改編為下面兩道例題，體現(xiàn)推導(dǎo)出的結(jié)論的效力.

例5

若曲線

C

：

y

=2

x

與曲線

C

：(

x

-

m

)+

y

=2有四個交點，求

m

的取值范圍.分析 方程

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2=0在

x

∈[0,+∞)上每一個正解，對應(yīng)著中兩組解.要使有四組解，則

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2=0在

x

∈[0,+∞)上有且僅有兩個不同的正解.略解 令

f

(

x

)=

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2，則解得所以

m

的取值范圍為

例6

已知曲線

C

：

y

+4

y

=2

x

與曲線

C

：(

x

-

m

)+

y

+4

y

=2有且僅有兩個公共點，求

m

的取值范圍.分析 由結(jié)論7知，方程組有且僅有兩解等價于(

x

-

m

)+2

x

=2即

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2=0在

x

∈(-2,+∞)上有且僅有一解.(由

y

+4

y

=2

x

?(

y

+2)=2

x

+4≥0?

x

≥-2，但

x

=-2時(

y

+2)=0，不符題意中兩個公共點的要求.)略解 令

f

(

x

)=

x

-2(

m

-1)

x

+

m

-2，則

f

(-2)=

m

+4

m

-2<0或解得或所以

m

的取值范圍為

5 一點說明

代入消元法是處理方程組最基本、最常用的辦法.有些方程組盡管需要特殊技巧整理，但最終仍回歸到代入消元法軌道上.至于更多元(二元以上)的方程組，可以在文中理念下等價轉(zhuǎn)化為二元方程組，進而用文中結(jié)論求解.