數(shù)學(xué)競賽、強(qiáng)基計(jì)劃中不定方程解法探究

徐小花 李麗榮 楊 平 (北京市日壇中學(xué) 100020)

1 因式分解法

例1

(2021全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽第2題)方程的正整數(shù)解的組數(shù)為

．解析 由得(

x

-2 021)(

y

-2 021)=43·47，因?yàn)?3·47共有9個(gè)正因數(shù)，即

因此方程有9組正整數(shù)解．

點(diǎn)評

對分式方程先通分再因式分解，這里的因式分解的含義和通常的有些不同，我們進(jìn)行的不是徹底分解．然后將2 021分解為素?cái)?shù)43,47的乘積．利用排列組合知識(shí)可以知道2 021有9個(gè)正因數(shù)．再利用整數(shù)唯一分解定理可以將問題解決．整數(shù)唯一分解定理：設(shè)

a

>1，則必有其中

p

(1≤

i

≤

k

)是素?cái)?shù)，在不計(jì)素?cái)?shù)乘積的次序的意義下，表達(dá)式(*)是唯一的．

例2

(2021清華大學(xué)領(lǐng)軍計(jì)劃第1題)已知

a

,

b

,

c

,

d

都是正整數(shù)，且

a

=

b

，

c

=

d

，

c

-

a

=77，求

d

-

b

．解析 設(shè)

a

=

x

，

b

=

x

，

c

=

y

，

d

=

y

，其中

x

,

y

均為正整數(shù)，則

c

-

a

=

y

-

x

=(

y

+

x

)(

y

-

x

)=77=11×7，故或于是可得或(舍)，所以

例3

(2021北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生寒假學(xué)堂第4題)若

m

+

n

+99

mn

=33，且

m

,

n

∈

N

，則(

m

,

n

)有

組．解析 對式子進(jìn)行因式分解，即(

m

+

n

-33)(

m

+

n

+33-

mn

+33

m

+33

n

)=0，顯然故

m

+

n

-33=0，則符合題意的(

m

,

n

)有32組．

點(diǎn)評

通過例2和例3可以看出，運(yùn)用因式分解法求解不定方程的最大困難點(diǎn)就是對所給條件進(jìn)行因式分解，而且是通過利用整數(shù)分解的有限性和唯一性來解決的，不是徹底分解，也就是常常將因式分解法與整除結(jié)合起來．下面給出的幾道小題供讀者練習(xí)因式分解法．練習(xí)1 (2020北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃第7題)方程19

x

+93

y

=4

xy

的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為( )．

A．4 B．8 C．16 D．前三個(gè)答案都不對

提示 19

x

+93

y

=4

xy

?(4

x

-93)(4

y

-19)=19×93=3×19×31．(參考答案：B)練習(xí)2 (2020中國科技大學(xué)創(chuàng)新班初試第5題)

x

-

y

=4

p

，

x

,

y

為正整數(shù)，

p

為素?cái)?shù)，則

x

-

y

=

．提示

x

-

y

=4

p

?(

x

-

y

)(

x

+

y

)=4

p

=2·

p

．(參考答案：6

p

+2)練習(xí)3 (2020上海交通大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃第14題)方程

x

(

x

+1)-1=

y

的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為

．

提示(參考答案：1)

2 取模同余法

例4

(2020復(fù)旦大學(xué)自主招生第21題)方程3

x

+4

y

+12

z

=2 020的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為

．解析 由于4

y

≡0(mod 4)，12

z

≡0(mod 4)， 2 020≡0(mod 4)，所以3

x

≡0(mod 4)．不妨設(shè)

x

=4

m

(

m

≥0,

m

∈

N

)．由題可知3×4

m

+4

y

+12

z

=2 020，即3

m

+

y

+3

z

=505．由3

m

+

y

+ 3

z

=505可知，3(

m

+

z

)≡505-

y

≡0(mod 3)，即

y

≡1(mod 3)．不妨設(shè)

y

=3

n

+1(

n

≥0,

n

∈

N

)．將

x

=4

m

(

m

≥0,

m

∈

N

)和

y

=3

n

+1(

n

≥0,

n

∈

N

)代入方程，化簡可得

m

+

n

+

z

=168．于是可知滿足條件的非負(fù)整數(shù)(

m

,

n

,

z

)有組，故方程3

x

+4

y

+12

z

=2 020的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為

點(diǎn)評

對于多元一次不定方程，我們常常借助取模同余轉(zhuǎn)化為可以用隔板法的問題，隔板是求解多元一次不定方程的常用方法．在例4中對于不定方程

m

+

n

+

z

=168，滿足條件的非負(fù)整數(shù)(

m

,

n

,

z

)有組，就是利用隔板得出的．首先將不定方程等價(jià)轉(zhuǎn)化(

m

+1)+(

n

+1)+(

z

+1)=168+3=171，我們將171看成是171個(gè)1，將這些1排成一排，形成170個(gè)空格，插入兩塊板，將171個(gè)1分為三堆，每一堆就對應(yīng)著一個(gè)數(shù)．當(dāng)然隔板法和取模同余法不是萬能的，更加一般的方法其實(shí)是格點(diǎn)法(因?yàn)槲恼缕脑蛟诒疚牟慌e例介紹)．很多問題先取模同余再利用隔板法或格點(diǎn)法可以大大降低運(yùn)算的難易程度．

例5

(2021北京大學(xué)語言類保送試題第11題)設(shè)

a

,

b

是正整數(shù)

n

的正因素，使得(

a

-1)(

b

+2)=

n

-2，則

n

可以等于( )．

A．2 020B．2×2 020

C．3×2 020D．前三個(gè)答案都不對

解析 由(

a

-1)(

b

+2)=

n

-2展開化簡得

ab

+2

a

-

b

=

n

，注意到

a

,

b

是正整數(shù)

n

的正因素，即

n

≡0(mod

a

)，

n

≡0(mod

b

)，對式子

ab

+2

a

-

b

=

n

進(jìn)行同余運(yùn)算

.

因?yàn)?p>ab

≡0(mod

a

)，2

a

≡0(mod

a

)，

n

≡0(mod

a

)，故

b

≡0(mod

a

)．同理2

a

≡0(mod

b

)，不妨設(shè)

b

=

xa

，2

a

=

yb

，

x

,

y

∈

N

，于是可得2

ab

=

xyab

，即

xy

=2，所以或進(jìn)一步可知

b

=

a

或者

b

=2

a

，從而

n

=

a

·

a

+2

a

-

a

=

a

(

a

+1)或者

n

=

a

·2

a

+2

a

-2

a

=2

a

．依次檢驗(yàn)，

n

=2×2 020滿足題意，此時(shí)

a

=2 020，

b

=2×2 020．

點(diǎn)評

充分利用條件“

a

,

b

是正整數(shù)

n

的正因素”，等價(jià)轉(zhuǎn)換為

n

≡0(mod

a

)，

n

≡0(mod

b

)，再利用同余定理可以進(jìn)一步獲得

a

與

b

之間的數(shù)量關(guān)系，在問題的解決過程中也用到了因式分解法．同樣我們給出兩道小題供讀者練習(xí)取模同余法．練習(xí)4 (2016清華大學(xué)領(lǐng)軍計(jì)劃第13題)關(guān)于

x

,

y

的不定方程

x

+615=2的正整數(shù)解的組數(shù)為

．提示 由于615=3×5×41，615≡0(mod 3)，可得

x

≡2(mod 3)．又因?yàn)?≠0(mod 3)，故

x

≡1(mod 3)，于是2≡1(mod 3)，則

y

為偶數(shù)

.

設(shè)

y

=2

m

，

m

∈

Z

，即22-

x

=615?(2-

x

)(2+

x

)=3×5×41，再利用因式分解法可知(參考答案：1)練習(xí)5 (2020北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生暑假體驗(yàn)營第1題)已知正整數(shù)

a

,

b

,

n

滿足

a

!+

b

!=5，求(

a

,

b

,

n

)．提示 由奇偶性原則可以判斷出

a

=1，

b

為偶或

b

=1，

a

為偶

.

不妨設(shè)

a

=1，再由5≡0(mod 5)，可知當(dāng)

b

≥5時(shí)，

a

!+

b

!≡1(mod 5)不符合題意，對

b

=1,2,3,4逐一檢驗(yàn)．(參考答案：(1,4,2)或(4,1,2))

3 分類討論法

例6

(2021全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題第10題)若整數(shù)

a

,

b

,

c

滿足0≤

a

≤10，0≤

b

≤10，0≤

c

≤10，10≤

a

+

b

+

c

≤20，則滿足條件的有序數(shù)組(

a

,

b

,

c

)共有

組．方法1 設(shè)

a

+

b

=

t

，則0≤

t

≤20．當(dāng)0≤

t

≤10時(shí)，滿足條件的(

a

,

b

)有對，即(

t

+1)對，此時(shí)10-

t

≤

c

≤10，

c

的取值有[10-(10-

t

)]+1種，即(

t

+1)種．此時(shí)滿足條件的有序數(shù)組(

a

,

b

,

c

)共有(

t

+1)組；當(dāng)11≤

t

≤20時(shí)，滿足條件的(

a

,

b

)有(21-

t

)對，此時(shí)0≤

c

≤20-

t

，

c

的取值有[(20-

t

)-0]+1種，即(21-

t

)種．此時(shí)滿足條件的有序數(shù)組(

a

,

b

,

c

)共有(21-

t

)組．綜上所述，滿足題意的有序數(shù)組(

a

,

b

,

c

)共有方法2 設(shè)

a

+

b

+

c

=

k

，則10≤

k

≤20．當(dāng)

k

=10時(shí)，滿足條件的(

a

,

b

,

c

)有組；當(dāng)11≤

k

≤20時(shí)，滿足條件的(

a

,

b

,

c

)有組．綜上所述，滿足題意的有序數(shù)組(

a

,

b

,

c

)共有

點(diǎn)評

例4用分類討論法將問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)比較熟悉的不定方程問題，如方法1中當(dāng)0≤

t

≤10時(shí)，滿足條件的(

a

,

b

)轉(zhuǎn)化為

a

+

b

=

t

的非負(fù)整數(shù)解問題，用隔板法很快就可以解答．同樣的，方法2中當(dāng)

k

=10時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為

a

+

b

+

c

=11的非負(fù)整數(shù)解問題，也是用隔板法解決．在最后的求和部分，方法1用到了平方和公式方法2用到了楊輝三角的斜和性練習(xí)6 (2016清華大學(xué)領(lǐng)軍計(jì)劃第2題)設(shè)正整數(shù)

x

,

y

,

z

滿足則這樣的

x

,

y

,

z

有

組．提示 由

x

≤

y

≤

z

，可知，即3≤

x

≤6．當(dāng)

x

=3時(shí)，通分化簡后6

y

+ 6

z

=

yz

，對其因式分解后得(

y

-6)(

z

-6)=36=2×3，符合題意的

x

,

y

,

z

有5組;當(dāng)

x

=4時(shí)，對其因式分解后得(

y

-4)(

z

-4)=16=2，符合題意的

x

,

y

,

z

有3組;當(dāng)

x

=5時(shí)，對其因式分解后得(3

y

-10)(3

z

-10)=2×5，符合題意的

x

,

y

,

z

有1組;當(dāng)

x

=6時(shí)，對其因式分解后得(

y

-3)(

z

-3)=3，符合題意的

x

,

y

,

z

有1組．

本文僅列舉了求不定方程整數(shù)解的三種常用策略，其實(shí)在求解不定方程問題時(shí)常常還會(huì)用到格點(diǎn)法、枚舉法、奇偶分析法等更加基本的方法．很多問題往往需要先用本文介紹的因式分解法、取模同余法和分類討論法這三種方法轉(zhuǎn)化構(gòu)造后再借助基本方法得到最后結(jié)果．