新教材中的數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)研究

劉燕

1 研究背景

2022年的高考剛剛結束，一時間，全國高考數(shù)學試卷成為史上最難數(shù)學試卷的喊聲一片，作為一線高中數(shù)學教師，引起教師們思考的是2017年《普通高中數(shù)學課程標準》頒布實施，明確提出了高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)，并且指出：“教材編寫要以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為宗旨”，“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”，“教材各個章節(jié)的設計要體現(xiàn)三個關注：關注同一主線內容的邏輯關系，關注不同主線內容之間的邏輯關系，關注不同數(shù)學知識所蘊含的通性通法、數(shù)學思想．數(shù)學內容的展開應循序漸進、螺旋上升，使教材成為一個有機的整體．”2019年人教A版高中數(shù)學教材首次進入高中，2022年是第一次使用這套教材的高中生參加高考，這中間是否有著密切聯(lián)系？基于此，本文試圖通過教材中滲透的高中數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)情況，給出數(shù)據(jù)分析報告．

2 研究方法

“教材編寫應遵循‘教與學的規(guī)律，要有利于教師的教，要有利于學生的學”．因此，對高中生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)，必須要滲透到高中數(shù)學課程的四條主線與各個主題，滲透到每個章節(jié)的概念教學、命題教學和例題教學中，真正做到“通過高中數(shù)學課程的學習，學生能掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題；能夠在比較復雜的情境中把握事物之間的關聯(lián)，把握事物發(fā)展的脈絡；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神，增強交流能力．”“必修課程為學生發(fā)展提供共同基礎．是高中畢業(yè)的數(shù)學學業(yè)水平考試的內容要求，也是高考的內容要求．選擇性必修課程是供學生選擇的課程，也是高考的內容要求．”為方便高中數(shù)學邏輯推理核心素養(yǎng)的教材分析研究，本文根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準》（2017版）劃分的必修課程內容范圍，從“預備知識”、“函數(shù)”、“幾何與代數(shù)”和“概率與統(tǒng)計”四個主題出發(fā)，選擇2019年秋季開始使用的高中數(shù)學新教材人教A版必修教材（即必修一、必修二）為研究對象，將新教材各個主題涉及“概念”的產(chǎn)生由來、“命題”的推出方式以及“例題”的解題方法所呈現(xiàn)的數(shù)學邏輯推理形式進行統(tǒng)計分析．

3 研究數(shù)據(jù)

高中數(shù)學邏輯推理包括合情推理和演繹推理，其中合情推理還分為歸納推理和類比推理．因此，為了研究的更加準確到位，本文重點關注三個維度的數(shù)據(jù)，第一個維度是教材中通過歸納推理的方式得到的概念、推出的命題，通過歸納推理的方法解答的例題；第二個維度是教材中通過類比推理的方式得到的概念、推出的命題，通過類比推理的方法解答的例題；第三維度是教材中通過演繹推理的方式得到的概念、推出的命題，通過演繹推理的方法解答的例題．并將數(shù)據(jù)匯總成表格（限于篇幅，略去），同時將各種數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，得到如下統(tǒng)計表1．表1 四個主題中的概念、命題、例題所涉及的邏輯推理統(tǒng)計

表1比較直觀地展現(xiàn)“預備知識”、“函數(shù)”、“幾何與代數(shù)”、“概率與統(tǒng)計”的概念、命題和例題中所蘊含的高中數(shù)學邏輯推理的基本情況．

（一）表1數(shù)據(jù)顯示，“預備知識”主題中絕大多數(shù)“概念”的提出方式是歸納推理，類比推理第二；“命題”的提出方式以類比推理為主，歸納推理為輔；“例題”的解題方法卻是以演繹推理占絕對優(yōu)勢．而從百分比的數(shù)據(jù)說明，歸納推理的推理形式在“概念”的學習過程中被廣泛使用，而類比推理的推理形式在“命題”的提出方面得到一致認同，當然也可以看出，人教A版新教材的編寫過程中，普遍采用類比的方法，通過學生已經(jīng)掌握的性質和定理來推出類似的沒有學過的命題，從而應用知識的遷移，很好地解決了學生學習新知識的難點問題；而對于“例題”的解題方法卻全部采用了演繹推理，也說明“預備知識”主題的“例題”運用邏輯推理解題過程中，運用演繹推理的解題方法占絕對優(yōu)勢．

（二）表1數(shù)據(jù)還顯示，“函數(shù)”主題“概念”的提出方式以歸納推理占絕對優(yōu)勢；“命題”的推出方式卻是以歸納推理、類比推理和演繹推理并重的方式呈現(xiàn)；而“例題”的解題方法又是以演繹推理為主，類比推理為輔的方式．另外，從百分比的數(shù)據(jù)說明，歸納推理確實是“概念”由來的最為重要的推理方式；但是，歸納推理、演繹推理和類比推理在“命題”的推出方式中基本上不相上下；而演繹推理依然是“函數(shù)”主題中重要的解題方法，類比推理占據(jù)第二位．這些數(shù)據(jù)也可以說明，“函數(shù)”主題中的數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)得到均衡的發(fā)展．

（三）表1數(shù)據(jù)還顯示，“幾何與代數(shù)”主題中“概念”的提出方式也是以歸納推理為主，類比推理為輔；而“命題”的推出卻是以歸納推理方式占據(jù)絕對的強勢地位；“例題”的解題方法以演繹推理方式占著絕大多數(shù)，這應該與“幾何與代數(shù)”主題證明題所占比例較多有關．從百分比的數(shù)據(jù)說明，“幾何與代數(shù)”主題中“命題”的推出方式以歸納推理占絕對優(yōu)勢（94.12%），“例題”的解題方法以演繹推理占主導地位（93.02%），因此，“幾何與代數(shù)”主題是培養(yǎng)數(shù)學邏輯推理核心素養(yǎng)的重要載體．

（四）表1數(shù)據(jù)還顯示，“概率與統(tǒng)計”主題中“概念”的提出是以歸納推理為唯一方式，“命題”的推出方式也是以歸納推理為唯一方式，而“例題”的解題方法卻是以演繹推理為唯一方式．從百分比的數(shù)據(jù)說明，歸納推理是“概率與統(tǒng)計”主題中“概念”和“命題”最佳選項，演繹推理是“例題”解答的唯一方法．細細品位，這樣的統(tǒng)計分析結果應該也是理所當然的，是與“概率與統(tǒng)計”主題的內容特征相吻合的．

4 研究結論

4.1 比較分析

將四個主題中涉及到的概念的由來、命題的推出、例題的解題方法所包含的邏輯推理方式的梳理情況進行比較分析，繪制成表2和圖1，如下所示：

通過上面圖表可以看出兩個特點：首先，四個主題在提出“概念”時采用最多的、最主要的數(shù)學邏輯推理方式是歸納推理，其使用率遠遠高于其他兩種邏輯推理方式之和，這應該是人教A版新教材的一大特色，這一點應該說與舊教材有著顯著的差異．其次，“概念”提出的輔助邏輯推理方式是類比推理，這一點與舊教材中大量采用演繹推理的方式也有著明顯的差異．

通過上面圖表可以看出：歸納推理也是四個主題中“命題”推出的主要邏輯推理方式，其中“幾何與代數(shù)”、“概率與統(tǒng)計”中的“命題”以歸納推理推出的方式更是達到絕對優(yōu)勢．當然，也應當注意到，“預備知識”主題的“命題”提出應用類比推理最多，究其原因，分析新教材可以看出，“預備知識”主題中主要知識點是以義務教育階段的課程內容為基礎，類比學生在初中已經(jīng)學過的數(shù)學知識推出高中要學習的新知識，重點突出了知識的遷移性，從而為初高中數(shù)學知識銜接做好了知識儲備和方法儲備．

通過上面圖表可以看出：演繹推理在四個主題的“例題”解題方法上占有絕對優(yōu)勢，尤其在“概率與統(tǒng)計”、“預備知識”、“幾何與代數(shù)”主題中的表現(xiàn)尤為突出，應該說，這個結論與“例題”的解題特性還是相符合的．而“函數(shù)”主題中的“例題”同樣也以演繹推理為主，但以類比推理為輔．

4.2 主要結論

通過對人教A版新教材中四個主題中所蘊含的數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的統(tǒng)計分析，可以得到如下結論：

4.2.1 凸顯深度融合

凸顯數(shù)學邏輯推理核心素養(yǎng)的內容與人教A版高中數(shù)學必修新教材的各個主題深度融合．通過上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，數(shù)學邏輯推理核心素養(yǎng)的內容滲透在必修教材的四個主題中，四個主題中概念的由來、命題的推出和例題的解題方法都必須使用數(shù)學邏輯推理．從這個維度看，這些數(shù)據(jù)分析也充分體現(xiàn)了人教A版新教材展現(xiàn)出來的一個新的教學理念，即：當進入高中數(shù)學學習，就必須立即著手培養(yǎng)學生的數(shù)學邏輯推理概念、方法、語言和能力，培養(yǎng)數(shù)學邏輯推理核心素養(yǎng)，符合課標中“數(shù)學教材為‘教與‘學活動提供學習主題、基本線索和具體內容，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)重要的教學資源．”達到了“教材編寫要以發(fā)展學習數(shù)學學科核心素養(yǎng)為宗旨”的目的，當然，這也體現(xiàn)了數(shù)學邏輯推理核心素養(yǎng)對高中學生全面發(fā)展的重要性．2022年全國新高考Ⅰ卷第4題以我國的重大建設成就“南水北調”工程為背景、全國甲卷文理科第2題以社區(qū)環(huán)境建設中的“垃圾分類”為背景、全國乙卷文理科第19題以生態(tài)環(huán)境建設為背景、全國新高考Ⅱ卷第19題以流行疾病調查為背景、全國乙卷理科第4題以嫦娥二號衛(wèi)星深空探測為背景，都充分體現(xiàn)了多學科、多知識點深度融合的高考命題趨勢． 4.2.2 凸顯學科特點

凸顯人教A版新教材中歸納推理和類比推理的占比明顯放大的趨勢，回歸數(shù)學本質．作為一線高中數(shù)學教師都可以深切感受到，在原有的高中數(shù)學教材中，采用演繹推理方式引入概念和命題是隨處可見的，但在教學過程中也可以明顯知道，這種引入方式與學生的認知規(guī)律是有一定的沖突的，因此，對教師的課堂教學和學生的自主學習帶來不少困擾，也導致了不利于教師教學和學生自學的現(xiàn)象．人教A版新教材中，在提出新概念和推出新命題之前，新教材都精心挑選了大量的案例來展現(xiàn)這個新的知識點，揭示知識的產(chǎn)生背景和形成過程，體現(xiàn)數(shù)學的創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)和發(fā)展特點，可以讓學生應用歸納推理和類比推理的方式就可以推出這個新概念或新命題．正是這種不同以往的數(shù)學新知識、新內容的呈現(xiàn)方式，為學生提供了數(shù)學學習和探究的一般方法和有效途徑，并以數(shù)學知識為載體，滲透著學生縝密思維、嚴格推理的數(shù)學邏輯推理核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，縱觀2022年的數(shù)學高考試題，全國數(shù)學新高考Ⅱ卷第3題以中國古代建筑中的舉架結構為背景，全國甲卷理科第8題取材于我國古代科學家沈括的名著《夢溪筆談》，讓學生直觀感受我國古代科學家探究問題和解決問題的過程，也讓學生領略中華民族的智慧和數(shù)學研究成果，進一步樹立民族自信心和自豪感，培育愛國主義情感，其實都是對數(shù)學學科特點的再呈現(xiàn)． 4.2.3 凸顯協(xié)調發(fā)展凸顯歸納推理、類比推理和演繹推理協(xié)調發(fā)展的態(tài)勢．通過上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，可以發(fā)現(xiàn)，新教材中“概念”的提出方式是以歸納推理所占比例最高，類比推理第二，當然也有部分以演繹推理的方式呈現(xiàn)，從而體現(xiàn)出新“概念”的提出方式的層次性；新教材中“命題”的推出方式仍然是以歸納推理所占比例最高，類比推理第二，也有少部分以演繹推理的方式推出，從而體現(xiàn)出新“命題”推出的思想性；“例題”因為本身的特點就是計算題和證明題的類型為主，所以解題方法中演繹推理占據(jù)主導地位，部分題目類比推理為輔，歸納推理只有在很少的“例題”中使用，從而體現(xiàn)出“例題”解題方法的思維的縝密性，同樣研究2022年數(shù)學高考試卷可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的考查隨處可見，可以說歸納推理、類比推理、演繹推理的考查得到了淋漓盡致的展現(xiàn)．

綜上所述，數(shù)學邏輯推理在人教A版新教材中的內容呈現(xiàn)方式上，出現(xiàn)了數(shù)學邏輯推理核心素養(yǎng)的內容與高中數(shù)學必修教材的四個主題深度融合的現(xiàn)象，凸顯歸納推理、類比推理占比明顯放大，歸納推理、類比推理和演繹推理協(xié)調發(fā)展的良好態(tài)勢．從這個角度上看，新教材的這種變化其實正體現(xiàn)了新課標的要求，也對一線數(shù)學教師的教學方法、教學水平、教學手段、教學設計提出了更新的要求，2022年全國高考數(shù)學試卷的難度、命題的角度也對一線數(shù)學教師指明了方向，唯有適應新課標、新教材、新高考，迎接新挑戰(zhàn)，才能為學生提升數(shù)學核心素養(yǎng)，應對高校選拔打開一片新天地．