基于Kalman濾波的改進(jìn)灰色模型在基坑變形監(jiān)測中的應(yīng)用

劉國超，彭衛(wèi)平，朱曉強(qiáng)

(1.廣州市城市規(guī)劃勘測設(shè)計(jì)研究院，廣東 廣州 510060； 2.廣東省城市感知與監(jiān)測預(yù)警企業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510060)

1 引 言

隨著城市化進(jìn)程的快速推進(jìn)，大城市人口規(guī)模的快速增加，使得城市土地愈發(fā)緊張，建筑設(shè)計(jì)向上要空間，使得樓層越來越高，基坑越挖越深，建筑規(guī)模越來越大，隨之而來的工程沉降、工程塌陷問題愈發(fā)突出。高層建筑一般位于城市核心地帶，基坑規(guī)模大，周邊環(huán)境復(fù)雜，施工引起的沉降問題不容忽視，如果發(fā)生險(xiǎn)情可能引發(fā)投資增加、工程安全或人員傷亡等一系列問題?；颖O(jiān)測作為驗(yàn)證基坑設(shè)計(jì)、保護(hù)基坑施工的主要手段，可以直觀反映基坑在各種施工工況、巖土體卸荷載狀態(tài)下的變化情況，通過對(duì)監(jiān)測數(shù)據(jù)的分析和預(yù)測，可以為后續(xù)設(shè)計(jì)和施工提供有益指導(dǎo)[1]。

基坑監(jiān)測數(shù)據(jù)由于其離散性、高噪聲等特點(diǎn)，使得監(jiān)測數(shù)據(jù)呈現(xiàn)一定的波動(dòng)性、隨機(jī)性，為了對(duì)基坑的穩(wěn)定狀態(tài)及變形趨勢做出更加準(zhǔn)確的分析，國內(nèi)外學(xué)者做了很多有益嘗試。文獻(xiàn)2中介紹了新陳代謝GM(1，1)模型在建筑物沉降數(shù)據(jù)預(yù)測中的應(yīng)用，相比于傳統(tǒng)的GM(1，1)模型和多項(xiàng)式擬合模型，精度提高明顯[2]；文獻(xiàn)3中建立了基于卡爾曼濾波的灰色理論預(yù)測模型，利用迭代濾波理論和LevenbergMarquardt優(yōu)化濾波，有效提高了預(yù)測精度[3]；文獻(xiàn)4中系統(tǒng)闡述了自適應(yīng)卡爾曼濾波在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用，并探討了不同自適應(yīng)卡爾曼濾波模型的不同應(yīng)用領(lǐng)域[4]；文獻(xiàn)5中詳細(xì)討論了離散線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波模型建立及精度評(píng)定，并將其應(yīng)用于大壩動(dòng)態(tài)變形監(jiān)測中[5]。以上探索和嘗試，為變形監(jiān)測分析和預(yù)測提供了豐富工具，本文擬采用Kalman濾波+新陳代謝GM(1，1)模型組合方式，利用Kalman濾波對(duì)原始監(jiān)測數(shù)據(jù)濾波消噪，并結(jié)合新陳代謝GM(1，1)模型對(duì)變形趨勢項(xiàng)進(jìn)行建模分析，來預(yù)測變形趨勢。結(jié)合實(shí)際案例分析，基于Kalman濾波的新陳代謝GM(1，1)相比于傳統(tǒng)的單一GM(1，1)、ARMA模型[6-7]，有效降低了觀測噪聲影響，并具有更高的預(yù)測精度。

2 基于Kalman濾波的新陳代謝GM(1，1)模型

2.1 Kalman濾波模型

Kalman濾波是一種利用線性系統(tǒng)狀態(tài)方程，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的一種算法，能有效剔除測量數(shù)據(jù)中隨機(jī)擾動(dòng)誤差，得到接近真實(shí)情況的測量數(shù)據(jù)。其數(shù)學(xué)模型包括狀態(tài)方程(也稱動(dòng)態(tài)方程)和觀測方程兩部分：

Xk=Φk/k-1Xk-1+Wk-1

(1)

Lk=HkXk+Vk

(2)

式中，Xk是tk時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量；Lk為tk時(shí)刻系統(tǒng)的觀測向量；Φk/k-1為時(shí)間tk-1至tk的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Wk-1為tk-1時(shí)刻的動(dòng)態(tài)噪聲；Hk為tk時(shí)刻的觀測矩陣；Vk為tk時(shí)刻的觀測噪聲。

離散的線性系統(tǒng)Kalman濾波遞推公式為：

狀態(tài)預(yù)報(bào)：

(3)

狀態(tài)協(xié)方差陣預(yù)報(bào)：

Pk/k-1=Φk/k-1Pk-1+Qk-1

(4)

狀態(tài)估計(jì)：

(5)

狀態(tài)協(xié)方差陣估計(jì)：

Pk=(I-KkHk)Pk/k-1(6)

其中，Kk為濾波增益矩陣，其具體形式為

(7)

2.2 GM(1，1)模型

灰色模型是通過少量的、不完全的信息，建立數(shù)學(xué)模型并做出預(yù)測的一種方法，是黑箱概念的推廣，通過分析系統(tǒng)各因素之間是否具有確定關(guān)系來區(qū)別白色與黑色系統(tǒng)，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，并做出預(yù)測。

設(shè)觀測原始序列：

x(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(N)}

對(duì)x(0)作一次累加生成(1-AGO)，得到：

(8)

從而獲得生成序列：

x(1)={x(1)(1)，x(1)(2)，x(1)(3)，…，x(1)(N)}

設(shè)x(1)滿足：

(9)

其中，常數(shù)u稱為發(fā)展灰數(shù)，a為內(nèi)生控制灰數(shù)，是對(duì)系統(tǒng)的常定輸入。通過最小二乘估計(jì)可得：

(10)

(11)

2.3 Kalman濾波與GM(1，1)模型組合及算法實(shí)現(xiàn)

Kalman濾波能有效剔除測量數(shù)據(jù)的隨機(jī)項(xiàng)，得到接近真實(shí)情況的測量數(shù)據(jù)；新陳代謝GM(1，1)模型可以對(duì)監(jiān)測數(shù)據(jù)趨勢項(xiàng)進(jìn)行建模，以預(yù)測變形趨勢。本文擬采用Kalman濾波+新陳代謝GM(1，1)模型組合方式，利用Kalman濾波對(duì)原始監(jiān)測數(shù)據(jù)濾波消噪，并結(jié)合新陳代謝GM(1，1)模型對(duì)變形趨勢項(xiàng)進(jìn)行建模分析，來預(yù)測變形趨勢。

首先采用Kalman濾波對(duì)監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，剔除監(jiān)測數(shù)據(jù)中的隨機(jī)擾動(dòng)誤差，然后對(duì)剔除了隨機(jī)項(xiàng)的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行GM(1，1)建模。針對(duì)灰色系統(tǒng)隨時(shí)間推移，預(yù)測精度與可靠度不斷下降的問題，本文擬通過將已經(jīng)獲取的最新已知信息引入模型，淘汰作用弱的信息，淡化灰平面的灰度，以降低模型精度的損失，準(zhǔn)確反映系統(tǒng)狀態(tài)。

圖1 基于Kalman濾波的改進(jìn)灰色模型算法流程

3 算例分析

廣州城區(qū)某高層建筑，基坑周長約 600 m，開挖深度 16 m，基坑等級(jí)為一級(jí)。為監(jiān)測基坑施工過程中的變形情況及周邊影響，在基坑及周邊建筑布設(shè)若干監(jiān)測點(diǎn)，本文選取基坑樁頂某豎向位移監(jiān)測點(diǎn)14期數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過前10期數(shù)據(jù)建立模型，預(yù)測后4期數(shù)據(jù)，并與實(shí)際監(jiān)測數(shù)據(jù)對(duì)比，其中每期監(jiān)測間隔為7天，監(jiān)測數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 某監(jiān)測點(diǎn)部分沉降數(shù)據(jù)

這里選取前4個(gè)數(shù)據(jù)為觀測值，定△t=1，組成法方程進(jìn)行動(dòng)態(tài)平差，采用線性擬合y=a0+a1x+ε，得到狀態(tài)協(xié)方差陣和狀態(tài)估計(jì)參數(shù)。利用上面的遞推預(yù)報(bào)與濾波公式可得到監(jiān)測點(diǎn)的濾波值，如表2所示：

由表2可知，卡爾曼濾波通過建立狀態(tài)方程和觀測方程來描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程，依據(jù)濾波增益矩陣的變化，從監(jiān)測數(shù)據(jù)中定量提取有效信息，修正狀態(tài)參量，從而補(bǔ)償噪聲對(duì)數(shù)據(jù)的影響，有效提高數(shù)據(jù)處理精度。以濾波值為基礎(chǔ)，建立新陳代謝GM(1，1)模型，并預(yù)測后4期數(shù)據(jù)，并分別對(duì)于傳統(tǒng)GM(1，1)模型、ARMA模型進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表3所示。

表2 Kalman濾波值與預(yù)測值

表3 基于Kalman濾波的改進(jìn)GM(1，1)與傳統(tǒng)GM(1，1)、ARMA預(yù)測值比較

由表3，圖2可知，經(jīng)卡爾曼濾波處理后的改進(jìn)GM(1，1)模型具有更高的預(yù)測精度，能更好地反映變形趨勢，相比于單純GM(1，1)模型和ARMA模型精度更高。

圖2 基于Kalman濾波的改進(jìn)GM(1，1)與傳統(tǒng)GM(1，1)、ARMA預(yù)測值比較

由表4可知，對(duì)比三種模型的預(yù)測值、殘差值的均方差及中誤差，基于Kalman濾波的新陳代謝GM(1，1)相比于傳統(tǒng)的單一GM(1，1)、ARMA模型，有效降低了觀測噪聲影響，并具有更高的預(yù)測精度。

表4 三種模型預(yù)測精度對(duì)比

4 結(jié) 論

卡爾曼濾波通過建立狀態(tài)方程和觀測方程來描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程，依據(jù)濾波增益矩陣的變化，從監(jiān)測數(shù)據(jù)中定量提取有效信息，修正狀態(tài)參量，從而補(bǔ)償噪聲對(duì)數(shù)據(jù)的影響，有效地提高數(shù)據(jù)處理精度，結(jié)合新陳代謝GM(1，1)模型對(duì)變形趨勢項(xiàng)進(jìn)行建模分析，來預(yù)測變形趨勢。相比于傳統(tǒng)的單一GM(1，1)、ARMA模型，有效降低了觀測噪聲影響，并具有更高的預(yù)測精度。但是在使用上述模型時(shí)，也要注意以下幾點(diǎn)：

(1)Kalman濾波初始值的選取很關(guān)鍵，錯(cuò)誤的初始值不能很好反映數(shù)據(jù)變化趨勢；

(2)Kalman濾波的優(yōu)勢在于能實(shí)時(shí)反映數(shù)據(jù)變化狀態(tài)，并通過新數(shù)據(jù)來更新狀態(tài)方程，通過增益矩陣來控制觀察數(shù)據(jù)噪聲的影響，對(duì)提高數(shù)據(jù)預(yù)測精度有很好的效果；

(3)新陳代謝的GM(1，1)模型通過加入新的已知信息，剔除舊的無效信息，來提高預(yù)測精度，但也易受到突變信息、粗差信息干擾，導(dǎo)致預(yù)測不準(zhǔn)。使用模型時(shí)，需對(duì)新加入的數(shù)據(jù)做一定的判別和分析。