基于RLM-MC的高速鐵路橋墩沉降曲線預(yù)測方法

龔循強(qiáng)，汪宏宇，魯鐵定，游 為

(1.東華理工大學(xué) 測繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013；2.自然資源部 環(huán)鄱陽湖區(qū)域礦山環(huán)境監(jiān)測與治理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013；3.西南交通大學(xué) 地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院, 四川 成都 611756)

高速鐵路橋墩施工過程中非均勻荷載，以及高速鐵路運(yùn)行后線路周邊的環(huán)境惡化，都有可能引起高速鐵路橋墩發(fā)生不均勻沉降，這勢必導(dǎo)致軌道幾何狀態(tài)惡化，從而對高速鐵路安全運(yùn)營造成威脅[1-2]。因此，對高速鐵路橋墩沉降進(jìn)行嚴(yán)格把控，是高速鐵路平穩(wěn)、安全和高速運(yùn)行的重要保障[3]。對于無砟軌道沉降變形監(jiān)測工程，橋墩在施工后的沉降量不大于20 mm，同時應(yīng)確保相鄰橋墩沉降量相差不超過5 mm[4]。在高速鐵路施工及運(yùn)營時期進(jìn)行高速鐵路橋墩沉降變形監(jiān)測，根據(jù)監(jiān)測所得高速鐵路橋墩沉降觀測值，對橋墩未來沉降量進(jìn)行預(yù)測，判斷高速鐵路橋墩是否滿足規(guī)劃和運(yùn)營要求，為高速鐵路的安全運(yùn)營提供指導(dǎo)。

目前，沉降數(shù)據(jù)預(yù)測主要方法有曲線預(yù)測方法、灰色模型預(yù)測方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方法等[5-6]?？紤]建模復(fù)雜度以及高速鐵路橋墩實(shí)際沉降規(guī)律，實(shí)際工程中主要采用曲線預(yù)測方法。其中，曲線為S形的Logistic模型能較好地反映高速鐵路橋墩沉降的全過程[4,7]。Logistic模型參數(shù)估計(jì)中，通常會根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定增長極限，將Logistic模型轉(zhuǎn)換為線性方程求出參數(shù)的最小二乘估計(jì)。顯然，這種線性化方法缺乏足夠的客觀性[8]。因此，可將Logistic模型參數(shù)估計(jì)看作非線性最小二乘問題，求解參數(shù)的非線性最小二乘估計(jì)，以減少主觀影響。高速鐵路橋墩沉降數(shù)據(jù)中異常值不可避免，而非線性最小二乘方法沒有考慮觀測值中所包含的異常值。因此，減弱異常值在參數(shù)估計(jì)中帶來的負(fù)面影響，是提高模型預(yù)測精度的關(guān)鍵因素之一。

單一Logistic模型雖然能夠較好地在整體上反映高速鐵路橋墩沉降數(shù)據(jù)趨勢，卻不能在細(xì)節(jié)上反映數(shù)據(jù)波動性。

為此，采用非線性最小二乘方法中Levenberg-Marquardt(LM)法，通過引入穩(wěn)健估計(jì)，建立穩(wěn)健的LM(Robust LM，RLM)法，從而優(yōu)化曲線模型參數(shù)和削弱異常值擾動。在此基礎(chǔ)上，利用馬爾可夫鏈(Markov Chain，MC)，構(gòu)建馬爾可夫模型，改善單一曲線模型無法有效反映高速鐵路橋墩沉降數(shù)據(jù)存在隨機(jī)波動的問題，從而提高預(yù)測精度。本文通過組合RLM方法和馬爾可夫鏈，提出一種基于穩(wěn)健Levenberg-Marquardt和馬爾可夫鏈(RLM-MC)的曲線預(yù)測方法，并根據(jù)高速鐵路橋墩沉降實(shí)際觀測值，將本文方法與最小二乘(Least Squares，LS)法、穩(wěn)健最小二乘(Robust Least Squares，RLS)法、LM法和RLM法進(jìn)行比較分析，驗(yàn)證方法的有效性。

1 基于穩(wěn)健Levenberg-Marquardt和馬爾可夫鏈的曲線預(yù)測方法

基于穩(wěn)健Levenberg-Marquardt和馬爾可夫鏈的曲線預(yù)測方法是在曲線預(yù)測方法的基礎(chǔ)上發(fā)展而成的。

1.1 曲線預(yù)測方法

曲線預(yù)測方法是建立在根據(jù)某種曲線函數(shù)建立模型，對預(yù)測對象歷史觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，從而使得模型能夠描述該對象在時間推移下的變化過程。因此，選取符合高速鐵路橋墩沉降規(guī)律的曲線模型和合理的擬合手段是曲線預(yù)測方法的關(guān)鍵。

曲線預(yù)測方法在沉降預(yù)測問題中常用的模型包括指數(shù)曲線模型、雙曲線模型、Logistic模型等[9]。其中，Logistic模型又稱為生長曲線模型，常用于描述事物的發(fā)生、發(fā)展和成熟三個階段[10-11]，這種S形型的生長曲線能夠較好地反映高速鐵路橋墩沉降整個過程。Logistic模型計(jì)算式為

( 1 )

式中：a、b、c為待解算參數(shù)；x、y分別為觀測時間、觀測值。

線性化是曲線擬合的重要手段之一。通過變量代換將曲線方程線性化，依據(jù)最小二乘原理求解變換后的線性方程，再將所得線性方程轉(zhuǎn)換為原曲線方程。

1.2 基于穩(wěn)健Levenberg-Marquardt的參數(shù)估計(jì)

為使參數(shù)估計(jì)結(jié)果更具客觀性，本文將Logistic模型參數(shù)估計(jì)作為一個非線性最小二乘問題。常用的非線性最小二乘方法有最速下降法、高斯-牛頓法、LM法等[12-13]。

LM法是非線性最小二乘問題廣泛應(yīng)用的一種算法，其結(jié)合最速下降法與高斯-牛頓法的優(yōu)勢，優(yōu)化了迭代效率，有效解決矩陣奇異和非正定問題[14-16]。

設(shè)曲線模型f(x)的參數(shù)向量為β，則存在非線性誤差方程

V=f(β)-Z

( 2 )

式中：V為殘差向量；f(β)為參數(shù)β的擬合結(jié)果；Z為實(shí)際觀測值組成的向量。

設(shè)βk為第k次迭代參數(shù)向量，則LM方法第k+1次迭代的參數(shù)向量βk+1為

βk+1=βk-(JTJ+uI)-1JTV

( 3 )

式中：J為V的雅可比矩陣；u為懲罰因子；I為單位矩陣。

當(dāng)殘差向量V中含有異常值時，會導(dǎo)致參數(shù)β偏離預(yù)期值。為抵抗異常值影響，本文引入穩(wěn)健估計(jì)[17]，則相應(yīng)的抗差解為

βk+1=βk-(JTPJ+uI)-1JTPV

( 4 )

式中：權(quán)陣P選擇IGG權(quán)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，IGG權(quán)因子計(jì)算式為[18]

( 5 )

1.3 馬爾可夫模型

若存在一個離散的隨機(jī)過程，其時間參數(shù)是離散的集合T={0,1,2,…,t}，所對應(yīng)的狀態(tài)空間E=(E0,E1,E2,…,Et)，對任意時刻t(t∈T)滿足：pb={pbn+1=En+1|pbn=En}，即未來n+1時刻的狀態(tài)En+1僅與當(dāng)前n時刻的狀態(tài)En相關(guān)，而與過去的狀態(tài)無關(guān)，這稱為馬爾可夫鏈的“無后效性”[19-20]。

時間序列統(tǒng)計(jì)量多數(shù)都具備馬爾可夫性質(zhì)，利用這一性質(zhì)可有效提高模型的預(yù)測精度[21]。馬爾可夫模型修正預(yù)測值主要過程如下所述。

(1)狀態(tài)劃分

根據(jù)曲線模型模擬值的相對誤差大小，采用聚類方法并結(jié)合IGG權(quán)因子結(jié)果剔除異常期數(shù)，將相對誤差區(qū)間分為d個狀態(tài)。其中，d的計(jì)算式為

( 6 )

(2)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

狀態(tài)Si經(jīng)一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj的概率pbij為

( 7 )

式中：Mij為狀態(tài)Si經(jīng)一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj的次數(shù)；Mi為Si發(fā)生一步轉(zhuǎn)移的次數(shù)。

計(jì)算所有狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，則其構(gòu)成的矩陣為

( 8 )

式中：矩陣PB稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。最后根據(jù)矩陣PB和當(dāng)前時刻狀態(tài)Si，則可得下一時刻最可能所處的狀態(tài)Sj。

(3)預(yù)測值修正

( 9 )

式中：δs為預(yù)測值所處狀態(tài)對應(yīng)的相對誤差；x為觀測時間；f(x)為原始預(yù)測值。

1.4 本文提出方法

基于RLM-MC的曲線預(yù)測方法具體流程見圖1，主要步驟為：首先，使用嘗試法結(jié)合黃金分割法確定參數(shù)a的估值[8]，即可利用LS方法估計(jì)曲線模型參數(shù)，再將參數(shù)的LS估值作為RLS方法迭代的初值；然后，將參數(shù)的RLS估值作為RLM方法迭代的初值，完成Logistic曲線擬合；最后，結(jié)合馬爾可夫模型修正Logistic模型預(yù)測值。

圖1 本文方法流程

本文方法具體計(jì)算步驟如下：

Step2計(jì)算權(quán)陣P=pW，再利用式( 2 )計(jì)算觀測值殘差向量。

Step3取k0=1.5、k1=2.5，根據(jù)式( 5 )確定一組新的權(quán)因子，可得權(quán)因子矩陣，進(jìn)而得到新的權(quán)陣P。

Step4利用式( 4 )計(jì)算參數(shù)的穩(wěn)健LM估值。

Step5重復(fù)Step2～Step4，直至JTPV≤10-10或迭代次數(shù)k大于最大迭代次數(shù)kmax(kmax通常在20～50之間選取[22-23]，本文令kmax=30)。滿足條件后退出迭代，則獲取參數(shù)RLM估值及曲線模型預(yù)測值。

Step6計(jì)算曲線模型模擬值相對誤差，根據(jù)式(6)計(jì)算狀態(tài)區(qū)間個數(shù)，通過k-means聚類并結(jié)合IGG權(quán)因子計(jì)算結(jié)果剔除異常期數(shù)，從而確定每個模擬值所處狀態(tài)。

Step7以式( 7 )計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，預(yù)測后續(xù)狀態(tài)。

Step8根據(jù)預(yù)測狀態(tài)，利用式( 9 )修正曲線模型預(yù)測值，得到最終預(yù)測值。

2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

以上闡述了基于RLM-MC的曲線預(yù)測方法，為驗(yàn)證本文方法的有效性，采用兩組高速鐵路橋墩沉降觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)，將所得結(jié)果與LS法、RLS法、LM法和RLM法的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行比較分析。

2.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

試驗(yàn)使用的兩組高速鐵路橋墩沉降觀測數(shù)據(jù)來自西安—成都某高速鐵路，每組沉降觀測數(shù)據(jù)包含2014—2015年20個定期沉降觀測值[24]，見表1、表2。兩組數(shù)據(jù)均設(shè)置1～17期為模擬區(qū)間，18～20期為預(yù)測區(qū)間。

表1 第一組觀測數(shù)據(jù) mm

表2 第二組觀測數(shù)據(jù) mm

2.2 評定指標(biāo)

對于LS、RLS、LM和RLM法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，使用單位權(quán)方差進(jìn)行定量評估，單位權(quán)方差能反映模擬值與實(shí)際值的離散程度，從而體現(xiàn)參數(shù)估計(jì)結(jié)果的優(yōu)劣。單位權(quán)方差越小，離散程度越小，則參數(shù)估計(jì)精度越高，單位權(quán)方差σ02計(jì)算式為

(10)

式中：n為模擬期數(shù)。

預(yù)測精度采用以下三個精度指標(biāo)定量評估。平均絕對誤差MAE為最基本的評定指標(biāo)，概念簡單易于解釋，只衡量預(yù)測值誤差的平均模長，直接反映預(yù)測值與真實(shí)值之間的誤差情況。均方根誤差RMSE相對MAE，易受偏差較大的預(yù)測值影響，導(dǎo)致放大RMSE的結(jié)果，因此可比較不同模型的穩(wěn)定性。平均絕對百分比誤差MAPE考慮了誤差與真實(shí)值之間的比例，可以比較不同尺度下預(yù)測結(jié)果的好壞。

MAE、RMSE和MAPE越小，則預(yù)測結(jié)果準(zhǔn)確度越高，其定義分別為

(11)

式中：[n+1,N]為預(yù)測區(qū)間范圍；i為預(yù)測期數(shù)；zi、f(i)分別為相對應(yīng)的實(shí)際觀測值和預(yù)測值。

3 結(jié)果與分析

采用兩組高速鐵路橋墩沉降觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)，分別利用LS、RLS、LM和RLM法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并通過馬爾可夫模型修正RLM法預(yù)測結(jié)果。模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果，從各方法的模型和單位權(quán)方差等方面進(jìn)行比較分析，并采用MAE、RMSE和MAPE等評定指標(biāo)對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行評估。

3.1 第一組試驗(yàn)

根據(jù)表1數(shù)據(jù)，分別利用LS、RLS、LM和RLM法對曲線預(yù)測模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。結(jié)合嘗試法和黃金分割法計(jì)算參數(shù)a粗略估值，由于試驗(yàn)數(shù)據(jù)沒有明顯地放緩趨勢，黃金分割區(qū)間的選取可略微偏大[8]，本文選取模擬區(qū)間最后一期數(shù)據(jù)設(shè)為黃金分割區(qū)間下限，并將下限值的5倍設(shè)為黃金分割區(qū)間上限，則該區(qū)間為[1.740, 8.700]。對該區(qū)間進(jìn)行一次搜索的結(jié)果作為參數(shù)a的粗略估值，即a=1.74+(8.70-1.74)×0.618 ，即得到參數(shù)a的粗略估值為6.041，接著進(jìn)行LS、RLS、LM和RLM法的參數(shù)估計(jì)。參數(shù)a、b、c和單位權(quán)方差σ02見表3。

表3 第一組試驗(yàn)各方法估計(jì)結(jié)果比較

LS與RLS法的參數(shù)a并未參與迭代運(yùn)算，LS方法在不能迭代調(diào)整參數(shù)的情況下，參數(shù)a在一定程度上直接決定了參數(shù)b、c，這導(dǎo)致LS法b、c參數(shù)估計(jì)結(jié)果相對其他方法偏大，其單位權(quán)方差也大于其他方法。RLS法雖然不能調(diào)整參數(shù)a，但引入穩(wěn)健估計(jì)后能動態(tài)調(diào)整參數(shù)b、c，單位權(quán)方差低于LS法，顯然減少了參數(shù)a帶來的主觀影響。RLM法所得單位權(quán)方差相對LS法減少了54.545%，而RLS和LM法相對LS法僅分別減少了13.636%與6.818%。RLM法單位權(quán)方差遠(yuǎn)小于LS、RLS和LM法，在所有方法中表現(xiàn)最優(yōu)，說明在第一組觀測數(shù)據(jù)中采用RLM法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)精度更高。

得到參數(shù)a、b和c的RLM估值后，即可根據(jù)式( 1 )計(jì)算模擬值，并計(jì)算模擬值的相對誤差。由于第一期沉降值為0無法計(jì)算相對誤差，所以相對誤差和狀態(tài)劃分均從第2期開始計(jì)算。

根據(jù)式( 6 )計(jì)算得出，相對誤差需劃分為4個狀態(tài)，使用k-means聚類將相對誤差分為4類(4個狀態(tài))，即可確定每期模擬值相對誤差的所處狀態(tài)，再結(jié)合RLM計(jì)算的權(quán)因子剔除可疑期的相對誤差對聚類質(zhì)心結(jié)果的影響，將每個狀態(tài)的聚類質(zhì)心作為其對應(yīng)的相對誤差。最后，得到的4個狀態(tài)以及所對應(yīng)的相對誤差為δS1=-6.171%，δS2=14.422%，δS3=-43.387%，δS4=1.927%。每期數(shù)據(jù)的具體模擬值、權(quán)因子w和狀態(tài)S劃分見表4。

表4 RLM方法模擬值、權(quán)因子和狀態(tài)劃分

根據(jù)表4及狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣可知，17期所處狀態(tài)為S1，在狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣中S1最有可能一步轉(zhuǎn)移到S1，其概率為0.75，則可認(rèn)為第18期預(yù)測值所處狀態(tài)最有可能為S1。根據(jù)式( 9 )通過狀態(tài)S1所對應(yīng)的相對誤差修正第18期預(yù)測值，同理依次可得后續(xù)預(yù)測值。各方法模擬值的殘差絕對值見圖2，各方法預(yù)測結(jié)果見表5。

表5 第一組試驗(yàn)各方法預(yù)測值 mm

圖2 第一組試驗(yàn)各方法模擬值的殘差絕對值

由圖2、表5可以看出，LS法相對其他方法在單位權(quán)方差偏大的情況下，預(yù)測結(jié)果整體變差，預(yù)測精度相對較低。RLS法因引入穩(wěn)健估計(jì)，參數(shù)b、c的結(jié)果不會完全取決于參數(shù)a的估值，減少了人為主觀因素影響，提高了參數(shù)估計(jì)精度，因此，預(yù)測精度相比LS方法略微提高。LM法預(yù)測結(jié)果與RLS法相近，引入穩(wěn)健估計(jì)后得到的RLM法預(yù)測結(jié)果比LS法、RLS法和LM法都更接近實(shí)際觀測值，并在使用馬爾可夫模型修正預(yù)測值后，精度得到了進(jìn)一步提高。為更直觀地體現(xiàn)不同方法的精度變化，根據(jù)式(11)計(jì)算預(yù)測值的三個精度指標(biāo)，結(jié)果見表6。

表6 第一組試驗(yàn)各方法預(yù)測精度指標(biāo)

從表6可以看出，每種方法所得的MAE和RMSE均十分接近，這表明在第一組觀測數(shù)據(jù)的試驗(yàn)中，沒有出現(xiàn)相對偏差較大的預(yù)測。進(jìn)一步分析可以得到，LM法比LS法的RMSE減少了37.309%，RLM法比LM法的RMSE減少了37.073%，RLM法經(jīng)過馬爾可夫模型進(jìn)一步修正后，RLM-MC法比RLM法的RMSE減少了76.744%。本文方法相對最小二乘方法的RMSE減少了90.826%，MAPE由16.548%下降到1.339%，預(yù)測精度得到顯著提高。因此，在第一組觀測數(shù)據(jù)的試驗(yàn)中，RLM方法參數(shù)估計(jì)精度最優(yōu)，并在結(jié)合馬爾可夫模型后，RLM-MC法預(yù)測結(jié)果遠(yuǎn)好于其他方法，說明采用RLM-MC法進(jìn)行預(yù)測更加合理。

3.2 第二組試驗(yàn)

根據(jù)表2數(shù)據(jù)，同樣使用嘗試法結(jié)合黃金分割法，確定黃金分割區(qū)間[1.550,7.750]，即得參數(shù)a=5.382。分別利用LS、RLS、LM和RLM方法對曲線預(yù)測模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，求出參數(shù)a、b、c和單位權(quán)方差σ02，其結(jié)果見表7。

表7 第二組試驗(yàn)各方法的估計(jì)結(jié)果比較

在第二組觀測數(shù)據(jù)中，RLS法相對LS法，RLM法相對LM方法，穩(wěn)健估計(jì)均有效削弱了異常值擾動對參數(shù)估計(jì)帶來的影響，其單位權(quán)方差分別減少了30.233%和40.000%。同時，比較LM法與LS、RLS法的單位權(quán)方差可以看出，LM方法單位權(quán)方差小于LS法，接近RLS法，相比LS法單位權(quán)方差減少了18.605%，說明即使未引入穩(wěn)健估計(jì)，非線性最小二乘在參數(shù)估計(jì)中，仍具有一定的優(yōu)越性。

同樣根據(jù)式( 6 )計(jì)算得出，相對誤差需劃分為4個狀態(tài)，使用k-means聚類將相對誤差分為4類(4個狀態(tài))，則得到的4個狀態(tài)以及所對應(yīng)的相對誤差為S1=-28.287%，S2=12.127%，S3=-2.663%，S4=78.883%。每期數(shù)據(jù)的具體模擬值、權(quán)因子和狀態(tài)劃分見表8。

表8 RLM方法模擬值、權(quán)因子和狀態(tài)劃分

根據(jù)表8及狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣可知，17期所處狀態(tài)為S3，在狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣中S3最有可能一步轉(zhuǎn)移到S3，其概率為1。根據(jù)式( 9 )通過狀態(tài)S3所對應(yīng)的相對誤差修正第18期預(yù)測值，同理依次可得后續(xù)預(yù)測值，各方法模擬值的殘差絕對值見圖3。接著對預(yù)測值狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測，并修正預(yù)測值，各方法的預(yù)測結(jié)果見表9，預(yù)測精度指標(biāo)見表10。

圖3 第二組試驗(yàn)各方法模擬值殘差絕對值

表9 第二組試驗(yàn)各方法預(yù)測值 mm

表10 第二組試驗(yàn)各方法預(yù)測精度指標(biāo)

從圖3、表9、表10可知，LS法在第二組試驗(yàn)中預(yù)測結(jié)果偏離實(shí)際觀測值，且預(yù)測時間越長誤差越大，第20期預(yù)測值誤差最為嚴(yán)重，其相對誤差為32.626%。而在引入穩(wěn)健估計(jì)后，RLS法的預(yù)測精度得到了較為明顯的提高，其第20期預(yù)測值相對誤差下降到18.994%。LM法與RLS法預(yù)測結(jié)果相近，精度略優(yōu)于RLS法，在引入穩(wěn)健估計(jì)和馬爾可夫模型修正預(yù)測值后，RLM-MC法第20期預(yù)測值相對誤差為11.173%，本文所提方法在第二組觀測數(shù)據(jù)中同樣體現(xiàn)出顯著的穩(wěn)健性與準(zhǔn)確性。

分析表6、表10可得，在第二組觀測數(shù)據(jù)中，各方法的MAPE均大于表6中相應(yīng)的值。顯然，由于異常值的擾動，各方法的預(yù)測準(zhǔn)確性都相對有所降低，體現(xiàn)出引入穩(wěn)健估計(jì)的必要性。RLS法引入穩(wěn)健估計(jì)后，精度得到顯著提升，RMSE減少了44.902%，證明RLS法有效削弱了異常值對預(yù)測結(jié)果的負(fù)面影響。LM法預(yù)測精度略好于RLS方法，進(jìn)一步表明采用非線性最小二乘參數(shù)估計(jì)的合理性，且LM法在引入穩(wěn)健估計(jì)與馬爾可夫模型后，RLM-MC法的RMSE相對LS法減少了71.150%，證明本文所提方法在高速鐵路橋墩沉降預(yù)測中的有效性和準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

本文在分析高速鐵路橋墩沉降規(guī)律以及實(shí)際工程需求后，提出了一種基于RLM-MC的高速鐵路橋墩沉降曲線預(yù)測方法，并對該方法的預(yù)測效果進(jìn)行了工程實(shí)例分析和評估，主要結(jié)論如下：

(1)RLM法在兩組試驗(yàn)中均能有效提升曲線擬合精度。在第一組試驗(yàn)中RLM法單位權(quán)方差相對LS法、RLS法和LM方法分別減少了54.545%、47.368%和51.220%。在第二組試驗(yàn)中，RLM方法單位權(quán)方差相對LS法、RLS法和LM法分別減少了51.163%、30.000%和40.000%。這一結(jié)果表明RLM方法的參數(shù)估計(jì)精度明顯優(yōu)于其他三種方法。

(2)結(jié)合馬爾可夫模型能夠更加準(zhǔn)確地描述高速鐵路橋墩沉降規(guī)律，提高預(yù)測精度。在兩組試驗(yàn)中，RLM-MC方法的MAE、RMSE和MAPE均明顯小于其他四種方法，表明本文提出方法在高速鐵路橋墩沉降預(yù)測中更為準(zhǔn)確。