耦合腔系統(tǒng)中Bose-Hubbard模型與穩(wěn)態(tài)制備的理論研究

平一凡，楊 青，劉忠菊

（沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，沈陽 110870）

量子信息是量子力學(xué)與信息學(xué)相結(jié)合的交叉性學(xué)科，充當(dāng)著擴展與完善經(jīng)典信息的角色[1]。近年來，國內(nèi)外學(xué)者以“量子編碼”為切入點，逐步擴展到對量子隱形傳態(tài)[2]、量子計算、量子度量學(xué)和量子模擬等熱點分支的研究中。從“激光冷卻和捕獲原子”到“墨子號-星地雙向糾纏”[2-3]與“遠距離量子隱形傳送”，再到2021年的九章量子模擬原型機，量子信息在實現(xiàn)信息傳輸更安全、計算模擬更快速和微弱測量更精密等方面已展現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景，正引領(lǐng)著全球的科技革命。當(dāng)然，該領(lǐng)域飛速發(fā)展離不開量子力學(xué)和量子光學(xué)等理論體系的支撐[4-5]，如在量子信息背景下，進行量子隱形傳態(tài)實驗的前提正是建立在利用量子光學(xué)中參量下轉(zhuǎn)換非線性光學(xué)過程這一基礎(chǔ)之上。

量子光學(xué)與原子分子物理領(lǐng)域碰撞衍生出腔量子電動力學(xué)（即腔QED系統(tǒng)），其工作原理是將束縛在高品質(zhì)腔中的原子或離子與腔中光場相互作用，從而實現(xiàn)量子信息處理的過程[6]。實驗中，因受較小的格點距離和較短的相干時間等因素的限制，致使很多微觀的量子現(xiàn)象難以觀測，腔QED系統(tǒng)因其優(yōu)越的量子相干性，恰能有效解決這一問題，因此被用作量子模擬現(xiàn)象的有效平臺。另一方面，為了實現(xiàn)分布式量子計算[7]，以及在強關(guān)聯(lián)多體系統(tǒng)的研究中對多個量子比特的操控模擬，1997年P(guān)ellizzari T首次建立了耦合腔模型（即將多個分離的腔系統(tǒng)耦合起來）。研究發(fā)現(xiàn)，以玻色為媒介耦合兩光腔系統(tǒng)[8]可分別使被囚禁在2個腔中的原子產(chǎn)生糾纏及實現(xiàn)量子態(tài)的轉(zhuǎn)移，因此，耦合腔系統(tǒng)可為模擬強關(guān)聯(lián)多體系統(tǒng)提供有效的資源平臺。Ye等[9]提出了利用光纖耦合腔系統(tǒng)產(chǎn)生兩原子糾纏態(tài)的方案；Zheng等[10]提出了產(chǎn)生雙模壓縮態(tài)的方案；Zhong等[11]提出了利用兩維耦合腔系統(tǒng)實現(xiàn)多原子相干耦合的理論方案等。作為量子計算和量子模擬最具前景的物理系統(tǒng)之一，耦合腔系統(tǒng)已經(jīng)成功應(yīng)用于多量子體系等信息傳輸及處理中，實現(xiàn)了量子信息網(wǎng)絡(luò)化。

近年來，腔QED系統(tǒng)中Bose-Hubbard模型表現(xiàn)出空前的實用性。如耦合腔列系統(tǒng)的Bose-Hubbard模型展現(xiàn)出絕緣相到超流相的量子過程，顯示出獨特的量子特性。本文也將運用Bose-Hubbard模型，通過絕熱剔除方法得到光子的有效哈密頓，研究在兩腔耦合系統(tǒng)中的量子性質(zhì)及穩(wěn)態(tài)制備過程。

1 模型

本文選取單模光腔系統(tǒng)。如圖1所示，在腔內(nèi)放置一個四能級原子，原子與光場發(fā)生相互作用，系統(tǒng)存在2種耗散情況，即原子能級躍遷可能產(chǎn)生自發(fā)輻射耗散，以及腔內(nèi)光子也會發(fā)生泄露耗散。圖中κ為腔模的泄露率，γ為原子處于激發(fā)態(tài)的衰減率，本文后面在處理有效哈密頓時，絕熱剔除掉原子的自由度，因此，對于原子能級的衰減不予考慮了，只討論了腔模泄露對穩(wěn)態(tài)輸出的影響。四能級原子具有電磁誘導(dǎo)透明效應(yīng)，原子與腔場之間的耦合及原子的躍遷行為如下：|a>表示原子的基態(tài)，|c>為亞穩(wěn)態(tài)，|b>和|d>表示原子的激發(fā)態(tài)；腔模分別與|b>?|a>與|d>?|c>之間的躍遷產(chǎn)生耦合，耦合系數(shù)分別為g1、g2，|c>?|b>的躍遷為經(jīng)典泵浦場驅(qū)動原子的躍遷，Ω表示泵浦場的Rabi頻率，Δ和δ表示失諧量。

圖1 單模光腔系統(tǒng)示意圖與四能級原子結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)的哈密頓由自由哈密頓和相互作用哈密頓組成，在旋波近似的條件下，可以寫出該模型中系統(tǒng)的自由哈密頓量為

此時腔中相互作用哈密頓量可以寫作HI＝H1+H2，

其中

式中：a+、a表示腔場的產(chǎn)生、湮滅算符，在強場驅(qū)動的情況下，也就是當(dāng)兩態(tài)被外場以較大的強度耦合在一起，組成了綴飾態(tài)，利用H1作用在|b>和|c>兩態(tài)上，得到綴飾態(tài)哈密頓的矩陣形式，很容易得出綴飾態(tài)H1的本征態(tài)和本征值

將式（4）代入到式（2）中可得

接下來，把變換后的哈密頓作幺正變換到綴飾態(tài)繪景下，即H3＝eiH1tH2e-iH1t，同時考慮＞＞g2的情況，可以利用絕熱剔除方法，將上式中的綴飾態(tài)剔除掉，得到

令原子的初態(tài)不處于綴飾態(tài)中的2個態(tài)上，同時觀察到式（6）中的前2項是基態(tài)和激發(fā)態(tài)的斯塔克位移，后2項則表示原子在基態(tài)和激發(fā)態(tài)之間的躍遷。因為則可以令原子的初態(tài)處于基態(tài)上，再次利用有效哈密頓的方法進行絕熱剔除掉激發(fā)態(tài)，得到最終有效哈密頓量的表達形式為

圖2 在位勢U關(guān)于經(jīng)典場的變化

2 數(shù)值模擬

為了研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)的制備，考慮兩腔耦合系統(tǒng)模型如圖3所示，兩腔之間的耦合通過光子的跳變來實現(xiàn)，J為相鄰兩腔耦合的跳變強度，同時唯象地加入2個光腔中A模光場的泄露項根據(jù)已經(jīng)得出的單腔中的有效哈密頓，耦合腔系統(tǒng)的哈密頓可以寫為

圖3 耦合腔系統(tǒng)。因相鄰腔光模重疊而發(fā)生光子跳變

接下來，通過數(shù)值模擬來考察系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)制備過程，同樣控制隨時間的變化時，系統(tǒng)參數(shù)Rabi頻率發(fā)生變化，通過Rabi頻率的變化，系統(tǒng)的平均光子數(shù)N＝。由圖4可知，實線顯示的是無耗散的情況下，平均光子數(shù)隨時間的演化，可以看出，當(dāng)經(jīng)典場Rabi頻率較大時，原子處于綴飾態(tài)上，光子與原子的耦合較弱，光子的行為體現(xiàn)再腔與腔之間的跳變。隨著Rabi頻率的減下，光子則更多參與到再單個腔內(nèi)，與原子躍遷相耦合的工作中去，這正與之前討論的在位勢隨經(jīng)典場Rabi頻率變化的物理過程和意義相吻合。同時，隨著時間演化，平均光子數(shù)還體現(xiàn)出系統(tǒng)從真空態(tài)項穩(wěn)態(tài)的制備過程，因此，再腔經(jīng)典場的驅(qū)動下，Rabi頻率越小，越能夠獲得穩(wěn)態(tài)。再考慮腔場存在泄露的情況下，令κ1=κ2=κ=0.3g/0.4g/0.5g，很明顯，光腔泄露情況的存在，不但減慢了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的制備過程，同時也減小了穩(wěn)態(tài)制備的保真度。

圖4 平均光子數(shù)N隨時間的變化

為了討論兩腔之間的非局域特性，接下來討論兩腔之間的量子糾纏，在耦合腔哈密頓的基態(tài)下，選用Von Neumann熵作為量子糾纏的度量，兩體之間的熵的定義式為

式中：ρA=TrB（ρAB）為系統(tǒng)的約化密度矩陣。

繪制了兩腔之間的基態(tài)糾纏熵關(guān)于失諧量Δ的變化圖像，如圖5所示，可以看出，當(dāng)失諧量較小時，熵隨著Δ的增大而陡增，在Δ=2g附近達到最大值，然后隨著Δ的增大開始減??；同時，又改變經(jīng)典場Rabi頻率為Ω，顯然，在相同失諧量Δ的狀態(tài)下，Ω越大，糾纏越大。這是由于當(dāng)Ω增大時，單個光腔中的在位勢減小，光子在單個光腔中體現(xiàn)出較弱的非線性，也就是說單個光腔中局域性變得越來越弱，同時，光子在兩腔之間非局域行為越來越明顯，即基態(tài)糾纏熵增大。

圖5 兩腔之間的糾纏熵隨失諧量Δ的變化

3 結(jié)論

本文對耦合腔QED系統(tǒng)進行了理論研究，在大失諧的情況下，利用絕熱剔除法，在單腔中得到關(guān)于光子的非線性有效Bose-Hubbard哈密頓量，通過對在位勢隨拉比頻率變化的研究，分析了所得哈密頓的有效性。

通過改變經(jīng)典場拉比頻率進行量子操控，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，令系統(tǒng)的初態(tài)是真空態(tài)，在拉比頻率由小變大的過程中，系統(tǒng)經(jīng)歷了由真空態(tài)向穩(wěn)態(tài)的制備過程，并分析了拉比頻率和在位勢在穩(wěn)態(tài)輸出過程中扮演的角色，同時，還唯象地加入系統(tǒng)的耗散，觀察到腔場泄露率是影響穩(wěn)態(tài)輸出的不利因素，目前高Q腔可以解決這一問題；同時又研究了兩腔之間的非局域特性，數(shù)值解析結(jié)果給出了兩腔之間基態(tài)量子糾纏何時達到最大值，并分析了經(jīng)典場Rabi頻率在控制糾纏輸出中起到的作用，以上結(jié)論可以為量子信息過程提供有效的模擬平臺。