文/姜國生
數(shù)軸是一種重要的工具,盡顯數(shù)形結(jié)合的魅力。數(shù)軸與有理數(shù)的相關(guān)概念有著廣泛聯(lián)系,有的同學(xué)可能還不清楚,下面我們來做一些簡單梳理。
聯(lián)系之一:任何一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到唯一的一個點(diǎn)與之對應(yīng)
例1 (1)畫出數(shù)軸并標(biāo)出表示下列各數(shù)的點(diǎn):-1,-3.5,2,0.5。
(2)如圖1所示,根據(jù)數(shù)軸上各點(diǎn)的位置,寫出它們所表示的數(shù)。
圖1
【解析】(1)依據(jù)題意,我們可建立如圖2 所示的數(shù)軸。在數(shù)軸上分別標(biāo)出表示-3.5,-1,0.5,2的點(diǎn)。
圖2
任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示,但是,數(shù)軸上的任何一個點(diǎn)則不一定表示一個有理數(shù)。這個問題我們以后會接觸到。
聯(lián)系之二:利用數(shù)軸可以更充分地理解相反數(shù)
例2 若A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是相反數(shù),且這兩點(diǎn)相距8個單位長度,請?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出A、B兩點(diǎn),并指出A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)。
【解析】因?yàn)锳、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是相反數(shù),且這兩點(diǎn)相距8個單位長度,而表示相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等、符號相反,所以點(diǎn)A和點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離相等且距離都等于4 個單位長度,由此我們就可以在數(shù)軸上標(biāo)出A、B兩點(diǎn)了。如圖3 所示,A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是-4和4,或4和-4。
圖3
互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩旁,并且這兩個數(shù)到原點(diǎn)的距離相等??梢?,互為相反數(shù)的兩個數(shù)總是成對出現(xiàn)的。
聯(lián)系之三:利用數(shù)軸可以說明絕對值的幾何意義
例3 有兩個點(diǎn),它們到原點(diǎn)的距離分別是2 和3,請問,這兩點(diǎn)之間的距離是多少?并說明理由。
【解析】設(shè)點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為2,點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為3。若這兩點(diǎn)在原點(diǎn)同側(cè),如圖4、圖5,則|OA|=2,|OB|=3,所以|AB|=1;若這兩點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè),如圖6、圖7,則|OA|=2,|OB|=3,所以|AB|=5。
圖4
圖5
圖6
圖7
所以,這兩點(diǎn)之間的距離是1或5。
絕對值的幾何意義可以由數(shù)軸直接知道:數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,記作 |a|。
聯(lián)系之四:借助數(shù)軸可以比較有理數(shù)的大小
圖8
在數(shù)軸上表示兩個數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。