基于三維彎曲激波的寬域變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)分析

尤延鋮，鄭曉剛，丁曉婷，湯祎麒，朱呈祥

（廈門大學(xué)航空航天學(xué)院，廈門 361005）

人類對于速度的追求是永無止境的。高超聲速飛行器（飛行速度大于5 倍聲速）具備全球?qū)崟r(shí)偵察、快速部署和遠(yuǎn)程精確打擊能力，是臨近空間力量部署的重要載體，對國家戰(zhàn)略安全產(chǎn)生重要影響，受到各國的廣泛關(guān)注［1-5］。目前，高超聲速飛行器的氣動布局主要包括升力體、軸對稱旋成體、翼身融合體和乘波體等幾種方案［6］。這其中，乘波體布局巧妙利用前緣附體激波防止高壓氣體向上翻洗，被認(rèn)為是高升阻比飛行器的最佳選擇之一。而美國X-51A 乘波體飛行器的試飛成功更是將乘波原理及其應(yīng)用研究迅速提升為高超聲速業(yè)界密切關(guān)注的熱點(diǎn)學(xué)術(shù)問題［7］。

乘波體又名“導(dǎo)波體”，因其下表面完全“騎乘”在前緣附體激波之上而得名。在設(shè)計(jì)狀態(tài)下，乘波體就像是在水面上打水漂，其形成的前緣附體激波便是乘波體在空中“沖浪”的載體。這一概念最早由Nonweiler 提出，其以斜激波流動為基本流場提出 了“Λ”形 乘 波 體 的 設(shè) 計(jì) 方 案［8］。Jones 等［9］和Rasmussen 等［10］將基準(zhǔn)流場由斜激波流動推廣至軸對稱圓錐流動，提出了錐導(dǎo)乘波理論，有效提高了乘波體的容積率。進(jìn)一步地，Sobieczky 等［11-12］和Rodi［13］為加強(qiáng)對激波形狀的控制，考慮展向激波曲率的可控設(shè)計(jì)，發(fā)展了吻切錐、吻切軸對稱和吻切流場3 類吻切乘波理論。國內(nèi)外學(xué)者以此為基礎(chǔ)，獲得了構(gòu)型更為復(fù)雜，具有特定目的的一系列新型吻切類乘波構(gòu)型［14-18］。隨著激波求解技術(shù)的發(fā)展，一些學(xué)者開始嘗試基于全三維非軸對稱激波的乘波設(shè)計(jì)［19-21］。例如，廈門大學(xué)Zheng 等在吻切錐理論的基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展了局部偏轉(zhuǎn)吻切（Local-turning osculating cones， LTOCs） 方法［22-23］，實(shí)現(xiàn)了基于單/多道非軸對稱激波的快速逆向求解［24］，極大拓寬了乘波體的設(shè)計(jì)空間。

然而，上述方法仍主要集中在特定來流馬赫數(shù)條件下進(jìn)行設(shè)計(jì)，無法兼顧寬速域、泛空域條件下的氣動特性。為改善乘波體在亞聲速時(shí)的氣動性能，Rodi 在吻切理論基礎(chǔ)上推導(dǎo)了激波與乘波體特征曲線之間的幾何關(guān)系，首次提出了渦升力乘波體的概念［25-26］。核心是利用特定后掠角度的前緣型線在大迎角下產(chǎn)生上表面分離渦，進(jìn)而提升乘波體在低速時(shí)的升阻特性。國內(nèi)學(xué)者段焰輝等［27］、Liu等［16，28］、Zhao 等［29］對渦升力乘波體的優(yōu)化設(shè)計(jì)及其在高/低速時(shí)的氣動特性開展了大量研究，加深了對渦升力乘波體的認(rèn)知。而為改善乘波體在高速范圍內(nèi)的寬域性能，Wang 等［30］提出將高馬赫乘波體與低馬赫數(shù)乘波“前后串聯(lián)”組合的設(shè)計(jì)概念。借鑒該組合設(shè)計(jì)概念，Li 等［31］提出了“左右并聯(lián)”組合的乘波體設(shè)計(jì)概念，其本質(zhì)是將多個(gè)不同設(shè)計(jì)馬赫數(shù)的乘波體沿展向按照一定的規(guī)律進(jìn)行組合。但是，上述組合乘波體構(gòu)型在設(shè)計(jì)選型時(shí)更多依賴于設(shè)計(jì)人員的經(jīng)驗(yàn)，在對應(yīng)設(shè)計(jì)馬赫數(shù)下難以保障優(yōu)良的“乘波”特性。為此，Zhang 等［32］在“并聯(lián)式”組合乘波體的基礎(chǔ)之上，首次提出了錐導(dǎo)變馬赫數(shù)乘波體的設(shè)計(jì)概念。核心是基于錐導(dǎo)乘波理論，改變各吻切平面內(nèi)的設(shè)計(jì)馬赫數(shù)。Li 等［33］進(jìn)一步對錐導(dǎo)變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)方法進(jìn)行拓展，提出了等錐角變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)方法。隨后，Zhao 等［34］將變馬赫數(shù)乘波概念與吻切錐理論相結(jié)合，提出了吻切錐變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)方法，并探討了不同馬赫數(shù)離散方式對此類乘波體性能的影響［35］。類似地，Liu 等［36］進(jìn)一步利用吻切流場理論對變馬赫數(shù)乘波概念進(jìn)行了相關(guān)的研究。上述變馬赫數(shù)乘波設(shè)計(jì)方法的研究，在不同程度上提高了乘波體飛行器在非設(shè)計(jì)條件下的氣動性能，使其能更好地適應(yīng)從起飛爬升到高空高速巡航的寬域飛行環(huán)境［37］。

不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)階段有關(guān)變馬赫數(shù)乘波體的設(shè)計(jì)方法都是基于錐導(dǎo)或吻切乘波理論開展的，其對應(yīng)激波面仍局限于圓錐激波或圓錐激波的掃掠面，形狀相對單一，難以同日益復(fù)雜的進(jìn)氣道唇口相匹配，極大地限制了此類乘波體的設(shè)計(jì)自由度。針對這一問題，本文將變馬赫數(shù)乘波概念與LTOCs 方法相結(jié)合，提出了一種基于三維彎曲激波的寬域變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)方法。該方法采用Bezier 曲面形式來指定預(yù)設(shè)計(jì)激波以加強(qiáng)對三維激波面的控制。在接下去的研究內(nèi)容中，將首先詳細(xì)介紹基于三維彎曲激波的寬域變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)方法；隨后，通過數(shù)值仿真研究驗(yàn)證該方法的有效性，并探討不同馬赫數(shù)離散單調(diào)性對此類乘波體構(gòu)型和氣動性能的影響；最后，在相同約束條件下，將基于三維彎曲激波設(shè)計(jì)的變馬赫數(shù)乘波體與常規(guī)吻切錐變馬赫數(shù)乘波體進(jìn)行對比，以證明本文所提出設(shè)計(jì)方法的優(yōu)越性。

1 寬域變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)方法

1.1 局部偏轉(zhuǎn)吻切方法概述

為了更好地介紹本文所提出的基于三維彎曲激波面的變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)方法，下面將首先對LTOCs 方法的原理進(jìn)行簡單的回顧。受吻切錐導(dǎo)理論離散流場的啟發(fā)，LTOCs 方法首先將三維曲面激波在橫向上進(jìn)行離散，隨后結(jié)合當(dāng)?shù)丶げㄇ恃亓飨蜻M(jìn)一步離散，在各微元吻切平面內(nèi)進(jìn)行二維求解以此實(shí)現(xiàn)三維流動的簡化。由于以當(dāng)?shù)丶げㄇ实姆绞揭肓藱M向流動所帶來的影響，各微元吻切平面會隨著流向不斷發(fā)生偏轉(zhuǎn)，這一方法也因此特點(diǎn)而得名?？梢?，LTOCs 方法同樣采用了降維求解思路，將復(fù)雜的三維流動降階為一系列切片內(nèi)的二維流動進(jìn)行求解。不同之處在于，LTOCs方法中的切片不再是單一的平面，而是由一系列微元吻切平面組成的曲面，其完整包含了當(dāng)?shù)亓骶€，本質(zhì)上是一張流面。有關(guān)LTOCs 方法求解復(fù)雜三維彎曲激波的步驟在文獻(xiàn)［23］中已詳細(xì)介紹，在此不再贅述。

通過上述離散降維方式，LTOCs 方法能夠?qū)崿F(xiàn)基于復(fù)雜三維彎曲激波面的逆向乘波設(shè)計(jì)。圖1給出了基于LTOCs 方法設(shè)計(jì)外流乘波體的原理圖，圖中FCT 代表設(shè)計(jì)平面的流量捕獲曲線（Flow capture tube）。進(jìn)一步地，在利用LTOCs 方法進(jìn)行逆向設(shè)計(jì)時(shí)，乘波體上下表面上各點(diǎn)處的壓力均是可求的，這便為計(jì)算乘波體的升阻力特性提供了可能。如圖2 所示，乘波體下表面各網(wǎng)格點(diǎn)的壓力值均可通過LTOCs 法方法求得，通過積分下表面上每個(gè)四邊形微元所受到的壓力便可求得該表面的受力情況。上表面通常被指定為平行來流的自由流面，其上壓力實(shí)際上便是自由來流的壓力。由此，在不考慮底阻的情況下，整個(gè)乘波體所受到的升力和阻力便是上下表面的受力之和，具體求解過程詳見文獻(xiàn)［23］。

圖1 基于LTOCs 方法的乘波體設(shè)計(jì)示意圖[23]Fig.1 Schematic of waverider design based on the LTOCs method[23]

圖2 乘波體下表面升阻力求解示意圖[23]Fig.2 Schematic of lifting resistance solution on lower surface of waverider[23]

1.2 基于三維彎曲激波的變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)步驟

如前所述，本文提出的基于三維彎曲激波的變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)方法的核心是將變馬赫數(shù)乘波概念與LTOCs 方法相結(jié)合，在前緣離散點(diǎn)對應(yīng)的流面內(nèi)按需指定不同的設(shè)計(jì)馬赫數(shù)。圖3 給出了基于三維彎曲激波的變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)原理圖，圖中SWPC 為設(shè)計(jì)平面內(nèi)的激波輪廓線（Shock wave profile curve），其本質(zhì)是三維激波面與設(shè)計(jì)平面的交線?；谌S彎曲激波的變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)大致可分為3 步。

圖3 基于三維彎曲激波的變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)原理圖Fig.3 Design schematic diagram of variable Mach number waverider based on 3D curved shock wave

（1）指定變馬赫數(shù)乘波體所“騎乘”的三維彎曲激波面。不同于現(xiàn)有吻切錐變馬赫數(shù)乘波體，本文對于激波的設(shè)計(jì)不再僅限于設(shè)計(jì)平面內(nèi)SWPC 曲線的調(diào)節(jié)，而是對全流場所具有的三維激波形狀進(jìn)行設(shè)計(jì)（即圖3 中紅色曲面Shock wave），理論上任意滿足設(shè)計(jì)的三維曲面方程均可作為預(yù)設(shè)計(jì)三維彎曲激波面。為加強(qiáng)對激波形狀的控制，本文采用Bezier 曲面形式來指定三維彎曲激波面，相關(guān)概念及設(shè)計(jì)參數(shù)在下文給出。

（2）設(shè)計(jì)生成乘波體前緣型線的三維構(gòu)型及相應(yīng)上表面。為保證乘波體邊緣不產(chǎn)生溢流以提供較高的升阻比，在前緣型線的設(shè)計(jì)中需保證前緣型線與三維激波曲面相交。因此，本文采用在設(shè)計(jì)平面內(nèi)指定FCT 曲線、水平向前投影至三維彎曲激波面的形式來生成所需乘波體前緣型線。由于FCT 曲線對乘波體性能的影響并不是本文的研究重點(diǎn)，指定變馬赫數(shù)乘波體的FCT 曲線方程為二次曲線

式中A和R為無量綱常數(shù)。變馬赫數(shù)乘波體的上表面則是將FCT 曲線水平向前投影所形成的自由流面。

（3）引入變馬赫數(shù)概念，利用LTOCs 方法求得各流面內(nèi)的流線以組合形成變馬赫數(shù)乘波體下表面。將前述得到的前緣型線離散成n個(gè)點(diǎn)，基于LTOCs 方法沿流面追蹤這些離散點(diǎn)發(fā)出的流線，并對其進(jìn)行三維組合形成變馬赫數(shù)乘波體的下表面。本文的創(chuàng)新之處在于，利用LTOCs 方法進(jìn)行流線追蹤時(shí)，各流面內(nèi)的設(shè)計(jì)馬赫數(shù)不再固定，可適當(dāng)調(diào)整以滿足寬域飛行需求。文獻(xiàn)［29］詳細(xì)對比了線性函數(shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)等不同設(shè)計(jì)馬赫數(shù)離散方式對吻切錐變馬赫數(shù)乘波體構(gòu)型與氣動性能的影響，并指出設(shè)計(jì)馬赫的離散單調(diào)性影響最大。參照該文獻(xiàn)，本文選取線性函數(shù)來定義各流面內(nèi)的馬赫數(shù)離散方式。

具體而言，如圖3 所示，根據(jù)所給定的設(shè)計(jì)馬赫數(shù)區(qū)間［Ma1，Ma2］，以等差數(shù)列的分布規(guī)律為每一前緣離散點(diǎn)所對應(yīng)的流面配置相應(yīng)的設(shè)計(jì)馬赫數(shù)，圖中彩色虛線代表不同流面內(nèi)的乘波體下表面流線，不同顏色對應(yīng)不同的設(shè)計(jì)馬赫數(shù)。具體為：定義變馬赫數(shù)乘波體最外緣流面內(nèi)的設(shè)計(jì)馬赫數(shù)為Ma1，對稱面內(nèi)的設(shè)計(jì)馬赫數(shù)為Ma2，則前緣型線第i個(gè)離散點(diǎn)對應(yīng)流面內(nèi)的設(shè)計(jì)馬赫數(shù)為

需要特別說明的是，變馬赫數(shù)乘波體最外緣處的坐標(biāo)由三維彎曲激波面與FCT 曲線唯一確定，此流面內(nèi)設(shè)計(jì)馬赫數(shù)的變化并不會對其坐標(biāo)產(chǎn)生影響。

1.3 基于Bezier 曲面的三維彎曲激波面定義

激波作為高超聲速流動中最為顯著的物理特征，其在很大程度上影響著乘波飛行器的氣動性能。得益于LTOCs 方法求解三維激波的便捷性，本文提出的寬域變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)方法能夠?qū)崿F(xiàn)針對復(fù)雜三維彎曲激波的變馬赫數(shù)乘波設(shè)計(jì)。為加強(qiáng)對激波的控制，本文采用Bezier 曲面來定義預(yù)設(shè)計(jì)激波。在介紹Bezier 曲面之前，首先對Bezier 曲線的基本原理進(jìn)行簡單介紹。常規(guī)的曲線表示方式存在諸多不足，例如無法精確表示所有曲線、不易求法向量和對舍入誤差較為敏感等。Bezier 曲線的概念由此而生，幾何學(xué)中Bezier 曲線是多個(gè)控制點(diǎn)決定的光滑矢量曲線，由可移動節(jié)點(diǎn)與可伸縮線段共同組成，其具體表達(dá)式為

而Bezier 曲面本質(zhì)上是通過張量積分法將一元Bernstein 多項(xiàng)式基推廣至二元Bernstein 多項(xiàng)式基，以此實(shí)現(xiàn)Bezier 曲線向Bezier 曲面的推廣。換言之，Berzier 曲面可看作是兩條不同方向上Bezier曲線的張量積。考慮到矩陣計(jì)算的簡潔性，Bezier曲面對應(yīng)的參數(shù)化方程可以用如下矩陣形式進(jìn)行表達(dá)

式中：h、t分別表 示m、n兩個(gè)方 向上Bezier 曲線的控制點(diǎn)數(shù)目，Pij為控制點(diǎn)坐標(biāo)矩陣，M1和N1分別為向量M和N對應(yīng)的系數(shù)矩陣。在實(shí)際應(yīng)用中，兩個(gè)方向上Bezier 曲線的控制點(diǎn)數(shù)目h、t值均應(yīng)不大于4。因此在后續(xù)內(nèi)容中，考慮可操縱性，本文選用3×4 個(gè)點(diǎn)控制的Bezier 曲面作為變馬赫數(shù)乘波體所“騎乘”的預(yù)設(shè)計(jì)三維激波面，其表達(dá)式為

圖4 進(jìn)一步給出了上述3×4 個(gè)點(diǎn)控制的Bezier 曲面示意圖，藍(lán)色空心節(jié)點(diǎn)代表控制節(jié)點(diǎn)，用線段逐次連接相鄰控制點(diǎn)所形成的空間網(wǎng)格被稱作控制網(wǎng)格，即圖中藍(lán)色虛線網(wǎng)?？刂凭W(wǎng)格中邊緣控制點(diǎn)用于定義Bezier 曲面邊緣曲線的形狀，而控制網(wǎng)格內(nèi)部點(diǎn)則主要用于控制該曲面內(nèi)部的形狀。如 圖4 所 示，P20至P23四 點(diǎn) 控 制 的Bezier 曲 線實(shí)際上便是設(shè)計(jì)截面內(nèi)的激波曲線SWPC。利用方程（5）只需指定曲面控制點(diǎn)的坐標(biāo)矩陣Pij，便可實(shí)現(xiàn)對三維激波面的調(diào)控。需要注意的是，激波曲面的曲率方向決定著氣流的壓縮方式（向內(nèi)壓縮或向外壓縮），不同壓縮方式的求解過程顯然是不同的?？紤]到求解的復(fù)雜性，在指定控制點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)應(yīng)避免出現(xiàn)激波曲率方向變化的情況且應(yīng)確保該激波面在物理上是正確的。

圖4 3×4 階Bezier 曲面及其控制網(wǎng)格示意圖Fig.4 Schematic of 3×4-order Bezier surface and its control grid

2 寬域變馬赫數(shù)方案與計(jì)算條件

2.1 寬域變馬赫數(shù)乘波體方案

為驗(yàn)證上述基于三維彎曲激波的變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)方法的有效性，同時(shí)研究設(shè)計(jì)馬赫數(shù)的離散單調(diào)性對此類乘波體性能的影響，本文共設(shè)計(jì)了4 個(gè)不同馬赫數(shù)分布的變馬赫數(shù)乘波體構(gòu)型，分別命名為Case 1 至Case 4?；诳刂谱兞康乃枷?，乘波體對應(yīng)的預(yù)設(shè)計(jì)激波形狀以及FCT 曲線均完全相同。同時(shí)，為兼顧容積特性與氣動特性，取FCT曲線方程為

表1 給出了4 個(gè)乘波體對應(yīng)的設(shè)計(jì)馬赫數(shù)離散分布特征，表中Ma1和Ma2分別對應(yīng)乘波體最外緣流面與對稱面內(nèi)設(shè)計(jì)馬赫數(shù)（見圖3）。Case 1 和Case 4 分別為設(shè)計(jì)馬赫數(shù)為7 和12 的定馬赫數(shù)乘波體，而Case 2 和Case 3 則對應(yīng)不同馬赫數(shù)離散單調(diào)性的變馬赫數(shù)乘波體。

表1 乘波體設(shè)計(jì)馬赫數(shù)分布特性對比Table 1 Comparion of Mach number distribution characteristics for waverider design

由于4 個(gè)乘波體對應(yīng)的預(yù)設(shè)計(jì)激波形狀與FCT 曲線相同，其三維前緣型線完全一致，四者在構(gòu)型上的差異主要體現(xiàn)在橫向截面內(nèi)。圖5 給出了上述4 個(gè)乘波體尾緣形狀（Trailing edge，TE）的對比圖。如前所述，LTOCs 方法中各流面內(nèi)的基本流場實(shí)際上是多個(gè)局部圓錐流動的耦合。參照圓錐流動特性可合理預(yù)測，在相同激波下，基于LTOCs 方法求得的壓縮型線尾緣點(diǎn)至SWPC 線的距離會隨著馬赫數(shù)增加而逐漸減小。換言之，設(shè)計(jì)馬赫數(shù)越高，對應(yīng)的乘波體越厚。因此，如圖5所示，4 個(gè)乘波體中Case 4 的尾緣線最厚，Case 1 最薄，而兩變馬赫數(shù)乘波體Case 2 與Case 3 的尾緣線介于兩定馬赫數(shù)之間。在對稱面上，Case 1 與Case 2 的尾緣線重合，Case 3 與Case 4 的尾緣線重合，這主要是因?yàn)樗鼈冊趯ΨQ面內(nèi)的設(shè)計(jì)馬赫數(shù)相同。除此之外，從圖中可以看到兩變馬赫數(shù)乘波體Case 2 和Case 4 的尾緣線在靠近邊緣的D點(diǎn)相交，Case 3 的尾緣形狀在大部分區(qū)域內(nèi)均要厚于Case 2。這表明在D點(diǎn)所對應(yīng)的流面內(nèi)，兩者的設(shè)計(jì)馬赫數(shù)相同，且Case 3 的容積整體要大于Case 2。

圖5 基于三維彎曲激波設(shè)計(jì)的變馬赫數(shù)乘波體后緣形狀對比Fig.5 Comparison of trailing edges for four variable Ma number waveriders based on 3D shock waves

圖6 進(jìn)一步給出了上述乘波體詳細(xì)的幾何參數(shù)對比，圖中Lw、W和H分別表示乘波體的長度、寬度以及高度，Sw為迎風(fēng)面積，Sp為乘波體在水平面上的投影面積，Sb為設(shè)計(jì)截面投影面積，而V則表示乘波體的容積。如前所述，4 個(gè)乘波體具有完全相同的三維前緣型線，其在長度、寬度以及水平投影面積方面是一致的。Case 1 與Case 2 的迎風(fēng)面積差異不大，Case 3 與Case 4 也幾乎相同，而高馬赫數(shù)設(shè)計(jì)的Case 4 的迎風(fēng)面積則相較于低馬赫數(shù)設(shè)計(jì)的Case 1 提升約1.25%。四者幾何參數(shù)的差異主要體現(xiàn)在垂直投影面積與容積上。在垂直投影面積方面，Case 4 面積最大，Case 1 最小，而變馬赫數(shù)乘波體Case 2 和Case 3 介于兩者之間，且Case 3 的垂直投影面積要大于Case 2。相較于Case 1，Case 2、Case 3 和Case 4 的垂直投影面積分別增加約13.42%、22.79%和27.92%。4 個(gè)乘波體在容積方面也表現(xiàn)出了相同的規(guī)律。Case 2、Case 3 和Case 4 的容積相較于Case 1 分別增長了約12.22%、23.79% 和28.75%。此外，在容積率方面，相較于Case 1，Case 2、Case 3 和Case 4 的容積率分別增長約8.25%、15.53%和18.45%。

圖6 基于三維彎曲激波設(shè)計(jì)的變馬赫數(shù)乘波體幾何參數(shù)對比Fig.6 Comparison of geometric parameters for four variable Ma number waveriders based on 3D shock waves

2.2 數(shù)值方法概述及網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證

參照文獻(xiàn)［27］，本文采用商用軟件Fluent 對上述4 個(gè)基于三維彎曲激波面的定/變馬赫數(shù)乘波體在設(shè)計(jì)馬赫數(shù)區(qū)間內(nèi)的7、8、9、10、11、12 等6 個(gè)馬赫數(shù)，高度27 km，不考慮迎角與側(cè)滑角的條件下開展無黏數(shù)值模擬。選用密度基求解器，對流通量采取二階AUSM 迎風(fēng)差分格式，來流假定為理想氣體。計(jì)算時(shí)監(jiān)測殘差變化、計(jì)算域進(jìn)出口質(zhì)量流量差以及乘波體表面的平均靜壓。當(dāng)殘差曲線至少下降3 個(gè)數(shù)量級、進(jìn)出口流量差值與進(jìn)口流量之比小于0.01 且乘波體表面的平均靜壓保持不變時(shí)即判定計(jì)算收斂。上述數(shù)值方法設(shè)置在文獻(xiàn)［22-24］中已得到驗(yàn)證，便不再贅述。

本文以Case 2 為例進(jìn)行了網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證。為保證激波的精確模擬，采用分區(qū)結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，同時(shí)考慮模型的對稱性，僅對半模進(jìn)行劃分。在乘波體表面布置有C 形網(wǎng)格，并對壁面附近及乘波體前緣進(jìn)行了加密處理。本文共劃分了3 種疏密程度的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，即粗網(wǎng)格（網(wǎng)格量3 780 740 個(gè)）、中網(wǎng)格（網(wǎng)格量5 880 630 個(gè)）和細(xì)網(wǎng)格（網(wǎng)格量7 621 030個(gè)），并利用上述數(shù)值方法對3 種網(wǎng)格在馬赫8，高度27 km 的條件下進(jìn)行無黏數(shù)值模擬。圖7 給出了中等尺度網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的示意圖，其他尺度網(wǎng)格與之類似。3 種尺度網(wǎng)格在X/Lw=0.75 截面內(nèi)的上下壁面壓力對比結(jié)果如圖8 所示?？梢钥吹剑? 種尺度網(wǎng)格求得的上下壁面壓力具有良好的吻合度，特別是中等尺度與細(xì)尺度網(wǎng)格，其最大誤差僅為0.213%左右。這種誤差在實(shí)際的數(shù)值模擬過程中是完全可以接受的。因此，在后續(xù)的數(shù)值計(jì)算中均采用中等尺度網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值計(jì)算以節(jié)約計(jì)算資源。

圖7 Case 2 中等尺度結(jié)構(gòu)網(wǎng)格示意圖Fig.7 Schematic of the medium structured grid for Case 2

圖8 Case 2 中X/Lw=0.75 截面上下壁面壓力對比Fig.8 Pressure distribution on X/Lw=0.75 plane of Case 2 in grid independence analysis

3 變馬赫數(shù)乘波體性能驗(yàn)證分析

3.1 波系結(jié)構(gòu)驗(yàn)證分析

為驗(yàn)證基于三維彎曲激波的變馬赫數(shù)乘波體概念的可靠性，本節(jié)將首先對上述4 個(gè)乘波體的波系結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。圖9 給出了定馬赫數(shù)乘波體（Case 1 和Case 4）在各自設(shè)計(jì)點(diǎn)時(shí)的波系結(jié)構(gòu)對比圖。圖中淡紅色透明曲面表示預(yù)設(shè)計(jì)的三維彎曲激波面，紅色實(shí)線為不同橫截面內(nèi)的預(yù)設(shè)計(jì)激波曲線。從圖中可以看到，在各自設(shè)計(jì)馬赫數(shù)下，兩個(gè)乘波體均表現(xiàn)出極佳的乘波特性。各橫截面內(nèi)，乘波體前緣線處均未出現(xiàn)明顯的高壓溢流，且無黏CFD 計(jì)算求得的激波形狀與預(yù)設(shè)計(jì)激波形狀基本重合。由此可見，基于LTOCs 方法設(shè)計(jì)的定馬赫數(shù)乘波體在設(shè)計(jì)條件下能夠較為精確地復(fù)現(xiàn)預(yù)先指定的全三維彎曲激波，這一方法在設(shè)計(jì)定馬赫數(shù)乘波體的精度是令人滿意的。

圖9 定馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)馬赫數(shù)下三維激波形狀對比Fig.9 Comparison of 3D shock waves for constant Mach number waveriders under design conditions

圖10 則給出了不同馬赫數(shù)下，兩變馬赫數(shù)乘波體在設(shè)計(jì)截面內(nèi)的波系結(jié)構(gòu)對比圖，圖中紅色虛線代表設(shè)計(jì)平面內(nèi)的預(yù)設(shè)計(jì)激波形狀?？梢钥吹?，對于變馬赫數(shù)乘波體而言，各馬赫數(shù)下無黏CFD計(jì)算求得的激波形狀同設(shè)計(jì)激波之間的差異較大。這主要是因?yàn)樽凂R赫數(shù)乘波體的下表面實(shí)際上是由一系列不同設(shè)計(jì)馬赫數(shù)的流線“并聯(lián)”組合而成，特定條件下必然存在部分流線位于非設(shè)計(jì)狀態(tài)。馬赫7 時(shí)，無黏計(jì)算求得的Case 2 的激波與預(yù)設(shè)計(jì)激波在對稱面處基本重合，而Case 3 對稱面處的激波則要明顯高于預(yù)設(shè)計(jì)激波。在乘波體邊緣，兩乘波體均出現(xiàn)了脫體激波，且Case 2 的溢流現(xiàn)象要明顯大于Case 3。隨著馬赫數(shù)的增加，二者的激波脫體現(xiàn)象均有所改善。馬赫9 時(shí)，Case 3 邊緣處的脫體激波已基本消失，而Case 2 邊緣處仍存在部分溢流，但溢流程度相較于馬赫7 時(shí)下降明顯。馬赫12 時(shí)，Case 3 對稱面處的激波形狀與預(yù)設(shè)計(jì)激波形狀基本重合，而Case 2 對稱面處的激波則要明顯低于預(yù)設(shè)計(jì)激波。對比邊緣處的激波形狀可以看到，此時(shí)Case 2 的激波形狀與預(yù)設(shè)計(jì)激波大致重合，而Case 3 邊緣處的激波則與下表面較為貼近，且存在一定的激波系間的相互干擾現(xiàn)象。綜合來看，即便變馬赫數(shù)乘波體在三維激波形狀的復(fù)現(xiàn)上存在一定的差異，其整體的乘波特性仍是令人滿意的，尤其是高馬赫數(shù)下。這也表明本文提出的基于三維彎曲激波的變馬赫數(shù)乘波體概念是可行的。

圖10 變馬赫數(shù)乘波體變馬赫數(shù)下設(shè)計(jì)截面波系結(jié)構(gòu)對比Fig.10 Comparison of shock structures on the base plane for variable Mach number waveriders under different conditions

3.2 壁面壓力驗(yàn)證分析

對于乘波體而言，其表面的壓力分布是衡量乘波體性能的又一重要參數(shù)。因此，本文將參照文獻(xiàn)［30］，對上述乘波體在不同橫截面內(nèi)的上下壁面壓力進(jìn)行對比分析。圖11 給出了馬赫9 時(shí)，前述乘波體在4 個(gè)不同橫截面內(nèi)（橫截面相對位置如圖9 所示）的壁面壓力對比結(jié)果。各圖片上半部分為上壁面壓力分布，而下部分則為下壁面壓力分布，且均只給出了Y軸負(fù)半軸上的結(jié)果。當(dāng)乘波體的上下壁面之間未出現(xiàn)溢流時(shí)，上壁面的壓比應(yīng)為1。而出現(xiàn)脫體激波時(shí)，上壁面的壓力則會出現(xiàn)一定的壓力波動。因此，上壁面的壓力分布可用于判斷此時(shí)是否有脫體激波的產(chǎn)生。由圖可知，低馬赫數(shù)設(shè)計(jì)的定馬赫數(shù)乘波體Case 1 在各橫截面內(nèi)，上壁面壓力均未出現(xiàn)明顯的壓力波動，并未產(chǎn)生脫體激波。這主要是因?yàn)镃ase 1 的設(shè)計(jì)馬赫數(shù)為7，在馬赫9時(shí)其產(chǎn)生的激波會變得更為貼體。變馬赫數(shù)乘波體Case 3 的上壁面同樣也未觀察到明顯的壓力波動，而變馬赫數(shù)乘波體Case 2 則在X/Lw=0.75 和X/Lw=1 兩截面內(nèi)出現(xiàn)了壓力波動，這一結(jié)果與圖10（b）是一致的。高馬赫數(shù)設(shè)計(jì)的定馬赫數(shù)乘波體Case 4 上下壁面間的溢流現(xiàn)象最為明顯，在3 個(gè)橫截面內(nèi)均出現(xiàn)了壓力波動。總的來看，上述乘波體上壁面的壓力脈動僅占上壁面的極小部分，這表明基于三維彎曲激波面的變馬赫數(shù)乘波體在非設(shè)計(jì)狀態(tài)下仍具有良好的乘波特性。

圖11 Ma=9 時(shí)4 種乘波體不同橫截面內(nèi)上下壁面壓力對比Fig.11 Comparison of static pressure distributions at different cross sections under Ma=9 condition for four waveriders

對于下壁面而言，4個(gè)乘波體的壁面壓力均表現(xiàn)出了由外向內(nèi)逐漸遞增的趨勢。各橫截面內(nèi)，變馬赫數(shù)乘波體Case 2的壁面壓力在邊緣處與Case 4的壁面壓力基本相同，而在對稱面處則同Case 1 的壁面壓力基本重合。與之相反，Case 3 在對稱面處與Case 4 的壓力基本重合，在邊緣處與Case 1 的壁面壓力基本相同。這一壓力分布特性再次證明了本文所提出設(shè)計(jì)方法的正確性。4 個(gè)乘波體下壁面的平均壁面壓力大致關(guān)系為：Case 4＞Case 3＞Case 2＞Case 1，這說明4 個(gè)乘波體中，Case 4 對應(yīng)壓縮效率最高，Case 1 最低，而Case 2 和Case 3 的壓縮效率介于兩者之間。可見，設(shè)計(jì)馬赫數(shù)的離散分布規(guī)律對此類乘波體的壓縮效率有著顯著的影響，可通過調(diào)節(jié)馬赫數(shù)離散分布特性實(shí)現(xiàn)所需的壓縮特性。

3.3 氣動性能驗(yàn)證分析

如前所述，利用LTOCs 方法設(shè)計(jì)定馬赫數(shù)乘波體時(shí)可快速預(yù)估其升阻特性。表2 給出了定馬赫數(shù)乘波體（Case 1 和Case 4）在各自設(shè)計(jì)點(diǎn)時(shí)的無黏氣動力參數(shù)對比結(jié)果。其中，氣動力參數(shù)的相對變化量均是相對于無黏CFD 結(jié)果。由表中數(shù)據(jù)可知，LTOCs 方法求得的氣動力參數(shù)與CFD 結(jié)果基本一致，兩乘波體對應(yīng)的氣動力誤差均小于0.6%。這一結(jié)果再次證明了LTOCs 方法在特定馬赫數(shù)下進(jìn)行外流乘波體設(shè)計(jì)的高精確性。

表2 定馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)馬赫數(shù)下氣動力參數(shù)對比驗(yàn)證Table 2 Comparison of aerodynamic parameters for constant Mach number waveriders

為進(jìn)一步分析變馬赫數(shù)概念對乘波體升阻特性的影響，圖12 給出了4 個(gè)乘波體在不同馬赫數(shù)下的升阻特性對比結(jié)果，其中Xcp表示乘波體壓心的相對位置。從圖12（a）中可以看到，4 個(gè)乘波體的升阻比均隨著馬赫數(shù)的增加而增大。其中，低馬赫數(shù)設(shè)計(jì)的定馬赫數(shù)乘波體Case 1 升阻比最大，高馬赫數(shù)設(shè)計(jì)的定馬赫數(shù)乘波體Case 4 升阻比最小，而變馬赫數(shù)乘波體Case 2 和Case 3 的升阻比則介于兩者之間。在不同馬赫數(shù)下，Case 3 與Case 4 的升阻比較為接近，隨著速度的增加，兩者之間的差距進(jìn)一步縮小。結(jié)合4 個(gè)乘波體間的幾何關(guān)系（見圖6），不難發(fā)現(xiàn)基于三維彎曲激波的變馬赫數(shù)乘波體的升阻比與容積之間同樣存在矛盾關(guān)系，在設(shè)計(jì)過程中需要綜合考慮這些參數(shù)之間的折中處理。如圖12（b）所示，4 個(gè)乘波體的壓心相對位置隨著馬赫數(shù)的增加而后移，但后移幅度相對較小，滿足操穩(wěn)特性的需求。4 個(gè)乘波體中，Case 3 的壓心最靠前，Case 2 的壓心最靠后，而定馬赫數(shù)乘波體Case 1 和Case 4 的壓心位置介于兩者之間?？傮w而言，基于三維彎曲激波面的變馬赫數(shù)乘波體相對于定馬赫數(shù)乘波體而言擁有更為均衡的氣動性能與幾何特性，更適于寬速域飛行，這一結(jié)果與現(xiàn)有錐導(dǎo)/吻切變馬赫數(shù)乘波體基本一致。變馬赫數(shù)概念的引入使得乘波體性能邊界擴(kuò)大，進(jìn)一步拓寬了乘波體的設(shè)計(jì)自由度。

圖12 不同馬赫數(shù)氣動力參數(shù)對比Fig.12 Comparison of aerdynamic perfomances at different Mach numbers

4 與吻切變馬赫數(shù)乘波體對比分析

為進(jìn)一步揭示基于三維彎曲激波的變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)方法的優(yōu)勢，本節(jié)利用現(xiàn)有吻切錐變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)了變馬赫數(shù)乘波體Case 5。設(shè)計(jì)時(shí)，令Case 5 對應(yīng)設(shè)計(jì)截面內(nèi)FCT曲線、SWPC 曲線以及馬赫數(shù)離散分布方式與Case 2 完全相同。設(shè)計(jì)激波角度的選取則是為了保證Case 2 與Case 5 的長度基本一致。兩乘波的幾何構(gòu)型及相應(yīng)幾何參數(shù)對比如圖13 所示，圖中的各參數(shù)相對關(guān)系是相對于Case 5 而言的。從圖中可以看到，兩個(gè)乘波體的長度與寬度基本相同，差異主要體現(xiàn)在前緣型線及各橫截面內(nèi)的輪廓線上。Case 2 的前緣型線相較于Case 5 更寬，而設(shè)計(jì)平面內(nèi)Case 5 的輪廓線整體要厚于Case 2。盡管兩乘波體設(shè)計(jì)截面內(nèi)的SWPC 曲線是一致的，但對應(yīng)的三維激波形狀是完全不同的。Case 2 對應(yīng)三維激波形狀為Bezier 曲面（見圖4），而Case 5 的三維激波形狀則是圓錐激波母線沿SWPC 曲線的掃掠曲面。以對稱面為例，Case 5 在對稱面內(nèi)的激波為一條直線，而Case 2 則為一條曲線，這也就導(dǎo)致了兩者在對稱面內(nèi)構(gòu)型的差異。如圖13（b）所示，兩個(gè)乘波體的高度與容積差異較小，Case 2 相較于Case 5 分別增長了約0.87%與1.03%。在關(guān)鍵面積參數(shù)方面，兩者的差別則較為明顯，Case 2的迎風(fēng)面積與水平投影面積分別增長約12.43%與14.47%，而垂直投影面積則減小約5.06%。由于Case 2 的容積增長幅度要遠(yuǎn)小于水平投影面的增長幅度，Case 2 的容積率要小于Case 5，相對減小約11.86%。

圖13 Case 2 與Case 5 幾何構(gòu)型對比Fig.13 Comparison of geometric characteristics for Case 2 and Case 5

兩乘波體在非設(shè)計(jì)狀態(tài)馬赫9 時(shí)的波系結(jié)構(gòu)與壁面壓力分布對比結(jié)果如圖14 所示。如圖14（a）所示，兩乘波體在對稱面處的激波形狀基本差別不大，且略低于預(yù)設(shè)計(jì)激波，這主要是因?yàn)閮沙瞬w在對稱面處的高度大致相同。在乘波體的外緣處，兩乘波體均出現(xiàn)了高壓溢流，且Case 5 的溢流程度要明顯強(qiáng)于Case 2，這表明Case 2 的乘波特性要優(yōu)于Case 5。圖14（b）則給出了該馬赫數(shù)下，兩乘波體在設(shè)計(jì)截面內(nèi)上下壁面的壓力分布對比結(jié)果?？梢钥吹剑瑑沙瞬w在上表面均出現(xiàn)了壓力波動，并且Case 5 上壁面壓力波動所占的比例要明顯大于Case 2。這也說明馬赫9 時(shí)Case 2 展示出了更佳的乘波特性，這與圖14（a）是一致的。對于乘波體下壁面壓力而言，Case 2 表面的壓力沿外緣向?qū)ΨQ面逐漸增加，而Case 5 的壁面壓力則呈現(xiàn)遞減的趨勢，但下降幅度較小。比較而言，Case 5 下壁面的平均壓力要大于Case 2，這是由Case 5 下壁面總體厚度更大，相應(yīng)激波強(qiáng)度更強(qiáng)導(dǎo)致的。圖15 進(jìn)一步給出了兩乘波體在不同馬赫數(shù)下的升阻比對比結(jié)果，圖中升阻比相對大小關(guān)系是相較于Case 5 的。如 圖15 所 示，各 馬 赫 數(shù) 下，Case 2 的 升阻比均要大于Case 5，且兩者間的差距隨著馬赫數(shù)的增加而略有增加，但增長幅度略有減緩。馬赫12 時(shí)，兩者升阻比差距最大，Case 2 的升阻比提升約13.36%。

圖14 馬赫9 時(shí)Case 2 與Case 5 流場分布對比Fig.14 Comparison of flowfields under Ma=9 condition for Case 2 and Case 5

圖15 各馬赫數(shù)下Case 2 與Case 5 升阻比對比Fig.15 Comparison of lift-to-drag ratio under differnt conditions for Case 2 and Case 5

綜上，基于吻切錐理論設(shè)計(jì)的變馬赫數(shù)乘波體不可避免地存在著與常規(guī)定馬赫數(shù)吻切錐導(dǎo)乘波體一樣的問題，其對應(yīng)的三維激波面僅由設(shè)計(jì)激波角度與設(shè)計(jì)截面內(nèi)SWPC 曲線決定，這也導(dǎo)致了吻切錐變馬赫數(shù)乘波體在設(shè)計(jì)中受到了較大的約束。相比之下，本文提出的設(shè)計(jì)方法可借助Bezier曲面直接指定激波面的全三維形狀，變馬赫數(shù)乘波體的設(shè)計(jì)空間進(jìn)一步擴(kuò)大。上述對比結(jié)果說明，在相同SWPC 曲線及幾何約束下，通過合理指定激波的三維形狀可使得此類變馬赫數(shù)乘波體較現(xiàn)有吻切錐變馬赫數(shù)乘波體擁有更大的升阻比，進(jìn)一步證明了本文提出的基于三維彎曲激波面的變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)方法的靈活性與有效性。

5 結(jié) 論

針對常規(guī)乘波體氣動布局難以滿足寬域飛行需求的問題，本文將LTOCs 方法與變馬赫數(shù)乘波概念相結(jié)合，提出了基于三維彎曲激波的變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)方法，借助Bezier 曲面進(jìn)一步提高了變馬赫數(shù)乘波體所“騎乘”激波的選擇自由度。在相同約束條件下，設(shè)計(jì)了4 個(gè)基于三維彎曲激波的變馬赫數(shù)乘波體和一個(gè)吻切錐變馬赫數(shù)乘波體，分析對比了它們在寬域條件下的氣動特性，得到如下結(jié)論：

（1）利用LTOCs 方法設(shè)計(jì)的定馬赫數(shù)乘波體可在設(shè)計(jì)狀態(tài)下精準(zhǔn)地復(fù)現(xiàn)預(yù)設(shè)計(jì)三維激波形狀，波后高壓氣體被成功限制在乘波體下表面，展現(xiàn)出了極佳的乘波特性。同時(shí)，LTOCs 方法求得的無黏氣動力參數(shù)與CFD 計(jì)算結(jié)果也基本一致，誤差均小于0.6%，證明了LTOCs 方法在設(shè)計(jì)基于三維彎曲激波面的定馬赫數(shù)乘波體時(shí)的高精確性。

（2）利用LTOCs 方法設(shè)計(jì)的變馬赫數(shù)乘波體在設(shè)計(jì)馬赫數(shù)范圍內(nèi)同樣表現(xiàn)出良好的乘波特性。變馬赫數(shù)乘波體Case 2 和Case 3 的綜合性能介于定馬赫數(shù)乘波體Case 1 和Case 4 之間，整體更為均衡，更適合寬速域飛行。這與現(xiàn)有錐導(dǎo)/吻切變馬赫數(shù)乘波體基本一致，變馬赫數(shù)概念的引入使得乘波體設(shè)計(jì)性能邊界擴(kuò)大，拓寬了現(xiàn)有乘波體的設(shè)計(jì)自由度。

（3）各流面內(nèi)設(shè)計(jì)馬赫數(shù)的離散單調(diào)性對此類變馬赫數(shù)體的綜合性能有顯著影響，可通過改變設(shè)計(jì)馬赫數(shù)離散分布進(jìn)行按需設(shè)計(jì)。單調(diào)線性遞減的變馬赫數(shù)乘波體Case 2 擁有更小的容積、更弱的壓縮效率、更大的升阻比以及更靠后的壓心位置。此外，變馬赫數(shù)乘波體的升阻比與容積之間同樣存在矛盾，設(shè)計(jì)時(shí)需要折中考慮。

（4）吻切錐變馬赫數(shù)乘波體對應(yīng)的三維激波面同樣也屬于掃掠曲面，極大限制了變馬赫數(shù)乘波體的設(shè)計(jì)自由度。相比之下，基于三維彎曲激波的變馬赫數(shù)乘波體設(shè)計(jì)方法借助于Bezier 曲面直接指定三維激波形狀，使得激波的選取更為靈活。相同約束下，Case 2 相較于Case 5 擁有更大的容積與更高的升阻比，但容積率有所下降，馬赫12 時(shí)升阻比增加約13.36%。