與“圖形的密鋪”相會

文／劉佳

如圖1，用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，使圖形之間沒有空隙，也沒有重疊地鋪成一片，叫作圖形的密鋪。這樣的圖案能給我們一種美的享受。

圖1

作為初中生，我們在感受這些美麗圖案的同時，要學(xué)會從中發(fā)現(xiàn)、研究一些數(shù)學(xué)問題。例如，這些美麗的圖形都是由哪些單獨的圖形進(jìn)行拼接而成的呢？為什么這些圖形能進(jìn)行密鋪？是不是所有的圖形都能進(jìn)行密鋪？接下來，我們就去“會一會”這些美麗的圖形。

一、用邊長相同的同一正n邊形密鋪

問題1現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常會看到用正三角形、正方形、正六邊形地磚鋪設(shè)地面的現(xiàn)象，它們能鑲嵌成一個平面，應(yīng)滿足什么條件？全等的正五邊形能否進(jìn)行密鋪？

【思路分析】因為是相同的圖形，所以在拼接的時候只要把相同的邊靠在一起即可，是不是只要考慮這些就可以了呢？其實，我們還需要考慮在每一個頂點處若干個正三角形的內(nèi)角之和或者正方形的內(nèi)角之和或正六邊形的內(nèi)角之和等于360°。

【設(shè)計方案】正三角形和正方形的密鋪很容易想象，因為有公共頂點的若干個正三角形或正方形的內(nèi)角之和等于360°。正六邊形的每個內(nèi)角是120°，因此，我們可以想象在每個頂點處有3個正六邊形的內(nèi)角。

全等的正五邊形的每個內(nèi)角是108°，而不是整數(shù)，所以正五邊形不能進(jìn)行密鋪。

問題2哪種邊長相同的正多邊形地磚能夠密鋪地面？

【思路分析】如果使用同一種正多邊形，那么就要滿足在一個頂點周圍有整數(shù)個正多邊形的角圍成360°。

【設(shè)計方案】正n邊形的每個內(nèi)角等于如果設(shè)在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，而這些角的和應(yīng)為360°，所以有由此可以化為（n-2）（k-2）=4，所以n-2一定是4的因數(shù)。因為4的因數(shù)只有1、2、4，所以n-2=1或n-2=2或n-2=4，解得n=3或n=4或n=6。也就是說，相同的正多邊形作平面鑲嵌，只有三種情況能密鋪：正三角形、正四邊形和正六邊形。

二、用邊長相同的正多邊形組合密鋪

問題3用邊長相同的正三角形、正六邊形兩種地磚組合能夠密鋪地面嗎？

【思路分析】要使這兩種地磚組合能夠密鋪地面，就必須滿足：有公共頂點的若干個正三角形的內(nèi)角與若干個正六邊形的內(nèi)角的和等于360°。

【設(shè)計方案】假設(shè)在公共頂點處有m個正三角形和n個正六邊形，可得方程60°m+120°n=360°。這個二元一次方程的解必須是正整數(shù)，可解得

我們可以拼出如圖2所示的密鋪圖形。

圖2

問題4用邊長相同的正五邊形和正十邊形兩種地磚組合能夠密鋪地面嗎？

【思路分析】參照上面的方法，假設(shè)在公共頂點處有x個正五邊形和y個正十邊形，可得方程108°x+144°y=360°，這個二元一次方程的正整數(shù)解為但能否保證每個頂點處都能拼成360°呢？

【設(shè)計方案】對于正五邊形與正十邊形的組合，盡管其內(nèi)角能夠圍繞一點拼成360°，但不能擴(kuò)展到整個平面。如圖3，當(dāng)在A、B兩點處密鋪時，點C處則無法實現(xiàn)密鋪。

圖3

問題5在邊長相同的正三角形、正方形、正六邊形地磚中，選擇哪些地磚組合能夠密鋪地面？（除去問題3中已經(jīng)研究過的正三角形和正六邊形的組合）

【思路分析】這三種圖形組合，除了已經(jīng)研究過的正三角形與正六邊形組合，還有正三角形與正方形組合，正方形與正六邊形組合，以及正三角形、正方形和正六邊形組合。

【設(shè)計方案】當(dāng)邊長相同的正三角形與正方形地磚組合時，設(shè)在一個頂點周圍有m個正三角形的內(nèi)角和n個正方形的內(nèi)角，那么這些角的和應(yīng)滿足60°m+90°n=360°，這個二元一次方程有正整數(shù)解，即

當(dāng)邊長相同的正方形與正六邊形地磚組合時，設(shè)在一個頂點周圍有x個正方形的內(nèi)角和y個正六邊形的內(nèi)角，那么這些角的和應(yīng)滿足90°x+120°y=360°，這個二元一次方程沒有正整數(shù)解，即邊長相同的正方形與正六邊形地磚組合無法密鋪。

當(dāng)邊長相同的正三角形、正方形、正六邊形地磚組合時，設(shè)在一個頂點處有a個正三角形的內(nèi)角、b個正方形的內(nèi)角和c個正六邊形的內(nèi)角，那么這些角的和應(yīng)滿足條件60°a+90°b+120°c=360°，這個三元一次方程有正整數(shù)解，即