巧用軸對稱性探求線段最值問題

文／袁國富

軸對稱圖形是一種常見的平面圖形。本章從生活中的圖形入手，探究了軸對稱圖形的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探索線段、角、等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)判定，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考考查的熱點(diǎn)。其中，借助軸對稱思想解決線段最值，即“將軍飲馬”問題，同學(xué)們往往因不會構(gòu)造軸對稱模型而無從下手。其實(shí)這類問題的本質(zhì)是利用軸對稱思想，將幾條線段轉(zhuǎn)化到同一直線上，利用兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短來解決。下面，就開啟我們的探究之旅吧。

例古希臘有一位數(shù)學(xué)家，名叫海倫。有一天，一位將軍向他請教一個(gè)問題：從A地出發(fā)到河邊飲馬，然后回到B地，如何確定飲馬點(diǎn)P，使得路程最短呢？

【分析】我們可以把這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，如圖1，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA＋PB最小。

圖1

我們不妨分析點(diǎn)P滿足的條件，條件1是點(diǎn)P在直線l上，條件2是PA＋PB最短。若直接連接AB，線段AB與直線l沒有交點(diǎn)，要有交點(diǎn)則需將點(diǎn)A和點(diǎn)B轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)。如何轉(zhuǎn)化呢？我們不妨固定點(diǎn)B，此時(shí)在直線l的下方找到點(diǎn)A關(guān)于直線l的軸對稱點(diǎn)A′。如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，與l的交點(diǎn)P即為所求。

圖2

為什么“PA＋PB”是最小的呢？如圖3，在直線l上任取一點(diǎn)P′（不與點(diǎn)P重合），連接P′A′、P′B。因?yàn)镻′A′＋P′B＞PA′＋PB，再由軸對稱性可知PA=PA′，所以P′A′＋P′B＞PA＋PB，所以PA＋PB最小。

圖3

上述的最值問題源于著名的“將軍飲馬”問題，解決此問題的思想就是利用軸對稱的性質(zhì)化折線為直線，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小值。攻略是先找一條定線，再確定兩個(gè)定點(diǎn)，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于這條定線的對稱點(diǎn)，最后連接對稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)，和直線的交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)位置。此類問題可歸納為以下步驟：定線、定點(diǎn)、對稱、連線、找交點(diǎn)。掌握了上面的最值模型，我們就來大展身手吧。

變式訓(xùn)練如圖4，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AD=4，點(diǎn)E和F分別是AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，求CE＋EF的最小值。

圖4

【分析】求CE＋EF最小值，參照“將軍飲馬”模型，通過軸對稱轉(zhuǎn)化的方式來實(shí)現(xiàn)共線，確定最小值。根據(jù)等腰三角形的軸對稱性可知，點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于直線AD對稱，連接BE、BF，如圖5。當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，BE+EF最小，即CE＋EF最小，最小值為線段BF的長。根據(jù)“垂線段最短”，即當(dāng)BF⊥AC時(shí)，BF最小，所以求出AC邊上的高BF，即為CE＋EF的最小值。

圖5

幾何學(xué)習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)結(jié)構(gòu)簡單、內(nèi)涵豐富的基本圖形，我們可將其作為解題的基本模型，如本文所講的“將軍飲馬”最值模型。在學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們不僅要能知模和用模，更重要的是理解模型背后的數(shù)學(xué)原理。“將軍飲馬”模型實(shí)際上是軸對稱性質(zhì)、“兩點(diǎn)之間線段最短”和“垂線段最短”定理的綜合運(yùn)用，本質(zhì)是運(yùn)用軸對稱進(jìn)行等線段變換，再根據(jù)兩個(gè)最值的知識源將折線化為直線，即可順利破解。