借助幾何直觀構(gòu)建筆算模型
——《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算（不進(jìn)位）》教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析

執(zhí)教|許桂霞 評(píng)析|倪芳華（特級(jí)教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版三年級(jí)下冊(cè)第3～5 頁(yè)例3、“試一試”和“想想做做”第1～6 題。

【教學(xué)過(guò)程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)引入

談話：為了讓同學(xué)們能吃到營(yíng)養(yǎng)又可口的午餐，學(xué)校食堂的叔叔、阿姨們每天都精心挑選食材。你瞧，今天又給我們準(zhǔn)備了新摘的迷你南瓜。

出示主題圖：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，你從圖中知道了什么條件？又能提出什么問(wèn)題呢？

【評(píng)析：新課伊始，教師創(chuàng)設(shè)了配置營(yíng)養(yǎng)午餐情境，傳遞均衡飲食有助于身心健康的理念，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究的熱情。教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷收集信息、發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題的過(guò)程，不僅溫習(xí)了舊知，也為引出新知奠定了基礎(chǔ)?！?/p>

二、自主探究，明理通法

1.鏈接舊知，激活經(jīng)驗(yàn)。

列式：要算一共有多少個(gè)？該怎么列式呢？

估算:能估計(jì)一下24×12 結(jié)果大約是多少嗎？你是怎么估的？

生1：把24 看作20，把12 看作10，20×10 等于200，24×12 的結(jié)果大約是200 多。

生2：把12 看作10，24×10 等于240，24×12 大約是240 多。

談話：24×12 究竟等于多少呢？你想怎樣算？把你的想法圈一圈，把重要的步驟寫下來(lái)。

獨(dú)立完成《①號(hào)學(xué)習(xí)單》。

組織全班交流。

比較：比一比這幾種方法有什么相同的地方和不同的地方？

質(zhì)疑：如果不是24×12，而是24×13，你選擇哪種方法呢？為什么？19×13 呢？

指出：看來(lái)“連乘”的方法，有的題能用，有的題不好用。但是，兩位數(shù)乘兩位數(shù)，都可以將其中一個(gè)兩位數(shù)拆成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)，再分別和另一個(gè)兩位數(shù)相乘，最后把兩個(gè)和相加。

【評(píng)析：重視學(xué)生良好計(jì)算習(xí)慣的培養(yǎng)，讓學(xué)生先估再算，用估算來(lái)判斷計(jì)算結(jié)果的合理性，使學(xué)生體會(huì)到“估”的價(jià)值和魅力。在探究“24×12 究竟等于多少”這一環(huán)節(jié)，教師給予學(xué)生足夠的時(shí)空，學(xué)生結(jié)合主題圖呈現(xiàn)了自己的解法。方法一：轉(zhuǎn)化為連加算式；方法二：轉(zhuǎn)化為兩步連乘；方法三：轉(zhuǎn)化為求兩積之和。追問(wèn)“24×13，19×13 你選擇哪種方法？為什么？”讓學(xué)生在多元算法中進(jìn)一步優(yōu)化，在比較辨析中感悟到，由“連加”變“連乘”的方法寫起來(lái)簡(jiǎn)單，但又不具有普遍性。而唯有第三種算式模型背后具有豐富的意義，可以為理解筆算方法提供支持，并構(gòu)建出筆算初步模型，同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的開放性思維?！?/p>

2.探究算法，明晰算理。

自主探究：你們能根據(jù)以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，試著列豎式計(jì)算24×12 嗎？

獨(dú)立完成《②號(hào)學(xué)習(xí)單》。

提問(wèn)：你們贊同幾號(hào)同學(xué)的寫法？為什么不贊同①號(hào)同學(xué)的計(jì)算過(guò)程？

指名學(xué)生介紹筆算方法：先算2 乘24，用個(gè)位上的2 依次乘24的每一位，得48；再算10 乘24，用十位上的1 依次乘24 的每一位，得240；最后算48 加240，得288。

提問(wèn)：十位上的“1”乘第一個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的4 得到的“4”表示多少，要和哪個(gè)數(shù)位對(duì)齊？

追問(wèn)：結(jié)合例題圖指一指、說(shuō)一說(shuō)，這里的48 表示幾箱的個(gè)數(shù)？240 又表示幾箱的個(gè)數(shù)？288 呢？

指出：先算2×24，表示2 箱的個(gè)數(shù)，再算10×24 表示10 箱的個(gè)數(shù)，最后把兩部分合起來(lái)就是12箱的個(gè)數(shù)。

【評(píng)析：在學(xué)生嘗試列豎式計(jì)算后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧計(jì)算過(guò)程，在橫式與豎式的對(duì)比中理解每一步計(jì)算的意義，使學(xué)生感受和領(lǐng)悟到數(shù)量關(guān)系、分步橫式與豎式結(jié)構(gòu)三者的聯(lián)系，從而找到知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)和發(fā)展點(diǎn)。在經(jīng)歷兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式計(jì)算的過(guò)程中，體會(huì)到口算和筆算雖然寫法不同，但其思路是一致的。豎式就是“站”起來(lái)的橫式，是將這里的三道橫式合在了一道豎式里，讓學(xué)生直觀形象地領(lǐng)悟了豎式原理，有效突破了教學(xué)難點(diǎn)，做到了算法與算理融合?！?/p>

3.數(shù)形結(jié)合，提煉算法。

拓展：24×12 這個(gè)算式還可以表示生活中很多其他的問(wèn)題。例如：一箱礦泉水有24 瓶，有12箱，一共有多少瓶？再如：一排有24 個(gè)小朋友，有12 排，一共有多少個(gè)小朋友等等。

提問(wèn)：看著點(diǎn)子圖，你能說(shuō)說(shuō)先算的是什么？再算的是什么嗎？筆算的每一步都能在點(diǎn)子圖上找到相應(yīng)的部分嗎？

提煉算法：還記得我們剛剛研究的24×12 的豎式是怎么算的嗎？先算什么？再算什么？

根據(jù)學(xué)生敘述規(guī)范板書，并張貼對(duì)應(yīng)的點(diǎn)子圖。

說(shuō)明：為了書寫簡(jiǎn)便，個(gè)位的0 可以省略不寫。想一想，如果把0 省略不寫，在計(jì)算第二步的時(shí)候需要注意什么？

糾錯(cuò)：再幫①號(hào)同學(xué)看看，到底錯(cuò)在哪里呢？應(yīng)該怎樣改呢？

小結(jié)：兩位數(shù)乘兩位數(shù)，先用第二個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)乘第一個(gè)乘數(shù)，再用十位上的數(shù)乘第一個(gè)乘數(shù)；用哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末位就和這一位對(duì)齊；然后把兩次的積相加。

談話：你能試著運(yùn)用剛才的方法來(lái)算一算12×24 嗎？

比較：這兩道算式你發(fā)現(xiàn)了什么？乘法可以怎樣驗(yàn)算呢？

小結(jié)：計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，可以用調(diào)換乘數(shù)的位置再乘一遍的方法進(jìn)行驗(yàn)算。

【評(píng)析：巧妙地借助點(diǎn)子圖，將直觀的算理與抽象的算法緊密聯(lián)系在一起，學(xué)生學(xué)得輕松，理解得通透?！?4×12 這個(gè)算式還可以表示生活中很多其他的問(wèn)題”，學(xué)生對(duì)照課件呈現(xiàn)的點(diǎn)子圖自信地表達(dá)每步的意思，教師相機(jī)在黑板上張貼對(duì)應(yīng)的點(diǎn)子圖，驅(qū)動(dòng)學(xué)生在“變與不變”的思辨中，明晰乘法運(yùn)算在不同情境中的應(yīng)用，借助運(yùn)算的意義建立形與式的關(guān)聯(lián)，同時(shí)感悟到豎式計(jì)算的簡(jiǎn)潔美。由具體而形象的實(shí)例開始，最后賦予“24×12”一般的模型意義，滲透了初步的數(shù)學(xué)建模思想，促進(jìn)學(xué)生思維靈活性的發(fā)展。在交換位置驗(yàn)算時(shí)，教師利用可拆分的“配圖貼”進(jìn)行操作，讓直觀表征有條有理，化靜為動(dòng)，讓學(xué)生看得見、摸得著。在抽象與直觀、豎式與橫式、算理與算法的有效對(duì)接與溝通中，清楚感受到“法中見理，理中得法，原本不可剝離”，有效促進(jìn)了學(xué)生“運(yùn)算能力”核心素養(yǎng)的提升?！?/p>

三、鞏固練習(xí)，深化拓展

1.基本練習(xí)，鞏固內(nèi)化。

（1）“想想做做”第1 小題。

交流算法：選擇一題和同桌交流一下，你是怎么算出來(lái)的？

比較：觀察我們做的五道題，有什么相同的地方？仔細(xì)觀察這幾題的計(jì)算過(guò)程，先想一想是分幾步來(lái)算的，再和同桌交流。

歸納算法：都是分三步來(lái)做，先用個(gè)位上的數(shù)依次去乘第一個(gè)乘數(shù)的每一位，再用十位上的數(shù)依次去乘第一個(gè)乘數(shù)的每一位，最后把兩部分的積加起來(lái)。

（2）“想想做做”第2 小題。

談話：你知道豎式中每一部分的積各是哪兩個(gè)數(shù)相乘得到的嗎？聯(lián)系題意說(shuō)一說(shuō)、填一填。

說(shuō)明：這里的計(jì)算過(guò)程是先求1 個(gè)熱水瓶的價(jià)錢，再求20 個(gè)熱水瓶的價(jià)錢，然后相加得出21個(gè)熱水瓶的價(jià)錢。

2.變式練習(xí)，發(fā)展思維。

激趣：這里有個(gè)小朋友也做了兩道題，他做得對(duì)嗎？把不對(duì)的地方改正。

糾錯(cuò)：指名學(xué)生說(shuō)說(shuō)錯(cuò)在哪里？你覺得兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算有什么要提醒大家注意的？

說(shuō)明：在計(jì)算過(guò)程中，要注意積的數(shù)位，特別是用十位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末位要和十位對(duì)齊。在計(jì)算過(guò)程中，我們可以根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，調(diào)換兩個(gè)乘數(shù)的位置，使我們的計(jì)算更簡(jiǎn)便。

3.拓展練習(xí)，溝通遷移。

采用FLAC3D對(duì)隧道進(jìn)行建模，按照施工開挖順序步對(duì)拱頂測(cè)點(diǎn)位移進(jìn)行計(jì)算，并與預(yù)測(cè)位移進(jìn)行比較，模型如圖6所示。

談話：研究?jī)晌粩?shù)乘兩位數(shù)的筆算是很有用的，可以幫助我們解決生活中的很多實(shí)際問(wèn)題，你能幫李大爺算出一共有多少棵卷心菜嗎？

出示“想想做做”第6 題。

獨(dú)立完成，并全班交流。

遷移：如果把每壟32 棵改成每壟38 棵，38×13 該怎樣計(jì)算呢？如果改成321 呢？計(jì)算的過(guò)程中又會(huì)遇到什么新的問(wèn)題呢？我們將在后面的課中繼續(xù)研究。

四、回顧梳理，總結(jié)提升

回顧：我們是怎么研究?jī)晌粩?shù)乘兩位數(shù)的筆算的？

小結(jié)：我們?cè)谟^察比較中明晰了算理，在合作交流中探索了算法，在數(shù)形結(jié)合中歸納了算法，最后在深化應(yīng)用中提升了能力。

【課后總評(píng)】

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)掌握了兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算基礎(chǔ)上展開的。許老師設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生將未知轉(zhuǎn)化為已知，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法；借助模型溝通算理與算法，建立乘法豎式；運(yùn)用多元表征，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維。整節(jié)課充滿著“生長(zhǎng)”的氣息。

一、巧借轉(zhuǎn)化，促進(jìn)知識(shí)“生長(zhǎng)”

新課伊始，在探究24×12 到底得多少時(shí)，教師巧妙引導(dǎo)，搭建聯(lián)系新舊知識(shí)的橋梁，采用轉(zhuǎn)化的方法，在主題圖上分一分、圈一圈，借助數(shù)量關(guān)系進(jìn)行算法理解，將新知轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算，與已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了有效銜接，有效促進(jìn)向新知的積極遷移。在計(jì)算——觀察——比較——辨析中，經(jīng)歷計(jì)算方法“多樣化”到“普適性”的歸納過(guò)程，凸顯了計(jì)算道理的一致性與方法的多樣性。

二、數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)“理法”相融

理解算理、掌握算法是形成運(yùn)算能力的兩翼。借助幾何直觀理解算理，形成算法，是學(xué)習(xí)運(yùn)算內(nèi)容的重要方法。許老師借助“點(diǎn)子圖”，幫助學(xué)生以“形”悟“理”。在圈一圈、畫一畫、擺一擺、算一算、說(shuō)一說(shuō)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，巧妙地溝通了口算、筆算與圖形三者之間的關(guān)系。在“直觀”到“抽象”、“特殊”到“一般”的推理中，實(shí)現(xiàn)循理入法,以理馭法；在“怎樣算”“為什么這樣算”的追“根”溯“源”下，把握了計(jì)算教學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵。在分析的基礎(chǔ)上，建立乘法運(yùn)算豎式，從算理過(guò)渡到算法，讓計(jì)算過(guò)程可視化，促使學(xué)生看得見算理，說(shuō)得清思維過(guò)程，發(fā)展了學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識(shí)。

三、搭建模型，尋找知識(shí)勾連

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識(shí)的核心內(nèi)容，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的核心價(jià)值。在“怎樣書寫豎式可以清楚地記錄計(jì)算過(guò)程，并算出結(jié)果”的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下，教師留給學(xué)生足夠的時(shí)空，讓學(xué)生經(jīng)歷解釋口算方法、創(chuàng)造筆算方法、對(duì)比橫式與豎式、歸納計(jì)算方法等學(xué)習(xí)過(guò)程，引領(lǐng)學(xué)生聚焦直觀模型、算式表征與計(jì)算方法之間的聯(lián)系，給學(xué)生思考、質(zhì)疑、表達(dá)的機(jī)會(huì)，在多元對(duì)話中清晰地構(gòu)建出兩位數(shù)乘法的豎式模型，體會(huì)豎式計(jì)算的優(yōu)勢(shì)，使“算法”落地。在“鞏固練習(xí)，深化拓展”環(huán)節(jié)，教師充分挖掘教材資源，設(shè)計(jì)有層次的練習(xí)，進(jìn)行多維訓(xùn)練，提升運(yùn)算能力，感悟筆算乘法解決實(shí)際問(wèn)題的價(jià)值；借助模型思想進(jìn)行拓展延伸，引導(dǎo)學(xué)生遷移類推：嘗試兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）筆算乘法、三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法，溝通了乘法計(jì)算間的聯(lián)系，在整體中架構(gòu)知識(shí)，引發(fā)學(xué)生向數(shù)學(xué)更深處漫溯。