加強(qiáng)概念變式增進(jìn)概念理解
——《梯形的認(rèn)識》素養(yǎng)進(jìn)階習(xí)題展評與教學(xué)建議

文|章威維 陳楚楚 宋煜陽

一、習(xí)題展評

●習(xí)題一

1.習(xí)題內(nèi)容。

在下面兩個(gè)圖形中分別添加一條線段，使它形成梯形。（每個(gè)圖形各畫四個(gè)）

圖1

圖2

說一說：圖1 改畫為梯形，你是怎樣想的？_______________。

圖2 呢？_______________。

2.能力指向。

對梯形定義的理解。通過梯形的分割活動(dòng)，考查學(xué)生對梯形概念的了解程度。要形成梯形，在沒有平行線的圖形中，需要?jiǎng)?chuàng)造出一組平行線；在平行四邊形中需要破壞一組平行線，使圖形只有一組平行線，強(qiáng)化“只有一組對邊平行”的定義理解。

3.學(xué)情分析。

對鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)39 名學(xué)生進(jìn)行了后測，發(fā)現(xiàn)一半以上的學(xué)生對圖1 能畫出2、3 個(gè)梯形，圖2 基本能畫對。圖1 中58.9%的學(xué)生畫出與線段a 構(gòu)成一組平行線的梯形，38.5%的學(xué)生畫出與線段b 或線段d 構(gòu)成一組平行線的梯形，只有12.8%的學(xué)生畫出與線段c構(gòu)成一組平行線的梯形?？梢妼W(xué)生對一般四邊形中分割出梯形，有需要?jiǎng)?chuàng)造出一組平行線這樣的意識，但對平行線的方位，還是趨向于水平方向的最多。69.2%的學(xué)生無法清楚地寫出“說一說”中畫出梯形的依據(jù)，只會根據(jù)圖形描述成：“把四邊形分割成一個(gè)梯形和三角形”，不能從梯形的概念去說明如何從一般四邊形或平行四邊形中分割出梯形。

●習(xí)題二

1.習(xí)題內(nèi)容。

在下面圖形中任選兩個(gè)圖形進(jìn)行隨意交叉擺放，重疊部分會形成不同形狀的圖形。按要求選擇合適的序號并畫出草圖。

2.能力指向。

對各個(gè)圖形特征的掌握與應(yīng)用。通過兩個(gè)圖形交叉后重疊部分圖形的判斷，考查學(xué)生對圖形特征的認(rèn)知，發(fā)展學(xué)生的動(dòng)態(tài)想象能力。

3.學(xué)情分析。

測評統(tǒng)計(jì)顯示，試測班級中12.8%的學(xué)生能全部正確解答，但大部分的學(xué)生只能回答正確（1）（2）（3）小題，解答兩個(gè)圖形重疊部分是六邊形出現(xiàn)困難。錯(cuò)例中部分學(xué)生畫成了五邊形，如下圖。

這個(gè)錯(cuò)誤體現(xiàn)出學(xué)生缺少對不規(guī)則多邊形圖形的認(rèn)知。學(xué)生平時(shí)常見的圖形都是規(guī)則的圖形，如六邊形常見的是正六邊形的圖示，但對不規(guī)則六邊形學(xué)生就不敏感，已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的缺乏導(dǎo)致解題困難。

●習(xí)題三

1.習(xí)題內(nèi)容。

在下面方格圖中，在格點(diǎn)上（方格交點(diǎn)）添加一個(gè)點(diǎn)，得到一個(gè)梯形ABCD，點(diǎn)D 的位置有（）種選法。請?jiān)诟褡訄D里畫出所有梯形，標(biāo)注出點(diǎn)D 的序號，如第一種D1，第二種D2。

2.能力指向。

對梯形概念變式和梯形特征的辨析。根據(jù)三個(gè)點(diǎn)找第四個(gè)點(diǎn)形成梯形，在動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)中，考查學(xué)生對梯形概念的理解和特征的掌握，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

3.學(xué)情分析。

根據(jù)學(xué)生解答的具體表現(xiàn)，劃分為五個(gè)水平層次，如下表。（表格見文末）

測試班級學(xué)生的水平大多集中于水平1、水平2 和水平3。問題主要反映為概念變式認(rèn)識不充足，局限于標(biāo)準(zhǔn)梯形（兩底水平方向）和直角梯形等特殊梯形的認(rèn)知，對一般梯形（兩底不在水平方向或兩腰接近平行）辨認(rèn)度低。60%的學(xué)生能找到形成直角梯形的點(diǎn)D；43.5%的學(xué)生能找到與AB 邊平行的線段DC 上的三個(gè)點(diǎn)，還有20%的學(xué)生錯(cuò)誤地把形成平行四邊形的那個(gè)點(diǎn)也標(biāo)進(jìn)去了。另外的三個(gè)點(diǎn)，需要調(diào)用與BC 邊平行的線段認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生明顯碰到了困難，只有15.6%的學(xué)生能找到其中的1、2 個(gè)點(diǎn)，達(dá)到水平4 的不足6%，說明對梯形概念特征的靈活辨析能力還不足。

二、教學(xué)建議

1.在操作和辨析中，建構(gòu)圖形特征，強(qiáng)化概念理解。

在建立標(biāo)準(zhǔn)梯形的表象時(shí)，學(xué)生對于“兩條底不在水平方向”或“兩條腰接近平行”這些非標(biāo)準(zhǔn)圖形的一般梯形，容易出現(xiàn)辨識困難，需要通過變式材料的操作、辨析幫助學(xué)生建構(gòu)概念。教學(xué)中，一方面通過畫不同梯形的活動(dòng)，在比較中凸顯梯形的本質(zhì)屬性；另一方面通過變式圖形辨析活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從形和邊這兩個(gè)角度去判斷，以強(qiáng)化梯形的特征。像習(xí)題一添加線段的過程中，在一般四邊形中努力找出一組平行線，建立“沒有平行線的四邊形需要?jiǎng)?chuàng)造一組平行線”的操作經(jīng)驗(yàn)；而在平行四邊形中，則需要破壞一組平行線，使它們不平行。這樣的操作，都指向“只有一組對邊平行的四邊形是梯形”這一概念本質(zhì)理解。

2.在分割和移動(dòng)中，加強(qiáng)圖形聯(lián)系，發(fā)展空間觀念。

在四邊形概念體系中，梯形與其他四邊形的關(guān)系非常密切。需要打通各圖形之間的聯(lián)系壁壘，通過分割或移動(dòng)，建立梯形與其他圖形的聯(lián)系。如，移動(dòng)梯形的上底，當(dāng)上底與下底一樣長時(shí)，就變成了平行四邊形；當(dāng)上底為零時(shí)，就變成了三角形。又如，在一個(gè)梯形中畫一條線段，既能分割成平行四邊形和梯形，也能分割成兩個(gè)三角形，還能分割成兩個(gè)梯形或一個(gè)梯形和一個(gè)三角形等。這些分割和移動(dòng)，有效溝通了梯形與其他圖形的關(guān)系，培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的動(dòng)態(tài)想象能力。教學(xué)中，可以動(dòng)態(tài)演示一個(gè)梯形，隨著一個(gè)點(diǎn)的不斷移動(dòng)，從“標(biāo)準(zhǔn)梯形——等腰梯形——直角梯形——平行四邊形——兩腰接近平行的梯形——三角形”進(jìn)行轉(zhuǎn)變，圖形的變動(dòng)引發(fā)了特征的變化，促使學(xué)生對梯形與平行四邊形、三角形之間的內(nèi)在聯(lián)系理解更為清晰。