新型零泊松比類蜂窩結(jié)構(gòu)等效彎曲剛度研究

廖學(xué)知，王洪波，李寶玉，趙曉寧

(1.中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院, 北京 100076; 2.中國航天科技集團(tuán)有限公司, 北京 100048)

1 引言

蜂窩結(jié)構(gòu)依賴于自身的拓?fù)湫问娇沙尸F(xiàn)出不同的力學(xué)特性和泊松比效應(yīng)，由于其具備出色的比強(qiáng)度、比剛度，且具有可設(shè)計(jì)性強(qiáng)的特點(diǎn)，在航空、航天等領(lǐng)域得到廣泛運(yùn)用，并吸引了國內(nèi)外眾多工程技術(shù)人員研究。

零泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的零泊松比特性主要表現(xiàn)為單方向的變形時(shí)，正交方向不產(chǎn)生形變。Olympio等首先提出了零泊松比六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)，通過理論分析推導(dǎo)出等效楊氏模量和剪切模量的理論表達(dá)式，并分析蜂窩參數(shù)對其力學(xué)性能的影響。劉衛(wèi)東、孫秦等人對零泊松比手風(fēng)琴蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)外等效模量進(jìn)行了理論建模與參數(shù)分析。Chen基于剪紙工藝研制了彎曲型零泊松比SILICOMB蜂窩樣件，并對其剛度性能進(jìn)行了研究。Gong提出了一種可實(shí)現(xiàn)2個(gè)正交方向變形的四角星形零泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)，且在變形時(shí)能保證曲率光滑。Huang提出了一種將傳統(tǒng)六邊形蜂窩結(jié)構(gòu)與薄板連接組裝在一起的新型零泊松比構(gòu)型，并建立了結(jié)構(gòu)的面內(nèi)拉伸模量及等效彎曲模量的理論表達(dá)式。Broccolo等將內(nèi)凹六邊形和正六邊形的蜂窩結(jié)構(gòu)交替布置，得到混合零泊松比蜂窩陣列結(jié)構(gòu)。艾森等以鋁合金和鋼材為基體材料，針對零泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的非線性變形行為進(jìn)行了研究。

波紋結(jié)構(gòu)同樣作為一種典型的具備極端各向異性的結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)為橫向柔性和縱向剛性。Gong將正弦型剖面波紋板視為薄殼結(jié)構(gòu)，考慮波紋板的軸向拉伸變形和彎曲變形，采用卡式定理對橫向拉伸、彎曲剛度進(jìn)行了理論建模。Winkler等采用廣義平面應(yīng)變有限元法，研究了不同幾何形狀對波紋結(jié)構(gòu)的等效剛度的影響。Bartolozzi采用卡式定理，提出了表征波紋結(jié)構(gòu)性能的一般解析公式，可適用于不同的波紋形狀。

綜上所述，目前對于各種零泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)以及波紋結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能已進(jìn)行廣泛研究，但對具有曲面壁板的蜂窩結(jié)構(gòu)彎曲性能研究較少。本文針對具有正弦波紋壁板的零泊松比類蜂窩結(jié)構(gòu)，基于能量法對其等效彎曲剛度進(jìn)行了理論推導(dǎo)與有限元仿真，分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對其性能的影響。本研究獲得的相關(guān)結(jié)果可以為該結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)、材料選型等提供重要支撐，亦可服務(wù)于柔性變形結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

2 新型結(jié)構(gòu)力學(xué)建模與仿真

2.1 結(jié)構(gòu)介紹

新型零泊松比類蜂窩結(jié)構(gòu)的幾何結(jié)構(gòu)如圖 1所示。該結(jié)構(gòu)典型特征為以正弦波紋結(jié)構(gòu)作為蜂窩結(jié)構(gòu)的傾斜壁板，其基本方程為：

(1)

式(1)中：表示幅值；表示波長(即壁長)。此外采用直壁連接各個(gè)獨(dú)立胞元，以使得該結(jié)構(gòu)在縱向伸縮時(shí)，可呈現(xiàn)出典型的零泊松比特性。值得注意的是當(dāng)波紋幅值為0時(shí)，該結(jié)構(gòu)退化為手風(fēng)琴式蜂窩結(jié)構(gòu)，可用于變形蒙皮；而當(dāng)波紋幅值不為0時(shí)，由于波紋壁板較出色的拉伸變形能力，將使得該新結(jié)構(gòu)比手風(fēng)琴式蜂窩結(jié)構(gòu)易形成更大的變形，這有利于如伸縮翼變形飛行器等需要大變形的場景。

取其單胞元結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，采用與蜂窩結(jié)構(gòu)類似的參數(shù)定義方法，胞元傾斜壁直線長度為，直壁長度為，蜂窩角為，直壁壁厚為，正弦波紋壁厚，定義壁高度為。

圖1 新型零泊松比幾何結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Geometry of the novel zero Poisson’s ratio structure

2.2 理論模型

本文基于能量等效法建立新型零泊松比類蜂窩結(jié)構(gòu)的等效彎曲剛度理論模型。結(jié)構(gòu)等效示意圖如圖2。

圖2 結(jié)構(gòu)等效示意圖Fig.2 Schematic diagram of the structural equivalent

將圖2所示的胞元結(jié)構(gòu)等效成為正交各向異性薄板，根據(jù)薄板的變形能公式，可以得到其變形能為：

(2)

式(2)中：、、為彎曲剛度；為扭轉(zhuǎn)剛度。

本研究主要是對彎曲剛度進(jìn)行分析，而在彎矩作用下，薄板內(nèi)任意一點(diǎn)的撓度可以表示為：

=++

(3)

其中：

(4)

取板中心為約束點(diǎn)，即=0，聯(lián)立可得：

(5)

(6)

針對各個(gè)胞壁建立如圖3所示的局部坐標(biāo)系，根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系可求解獲得在局部坐標(biāo)系下的受力情況為：

(7)

式(7)中：下標(biāo)表示為傾斜壁板；為直壁板。

圖3 正弦曲線波紋壁板示意圖Fig.3 Skech of Local coordinate system of sinusoidal corrugated wall

根據(jù)參考文獻(xiàn)[19]，可獲得彎矩引起的轉(zhuǎn)角和扭矩引起的扭轉(zhuǎn)角表達(dá)式為：

(8)

式(8)中：為胞元材料彈性模量；為胞元壁厚度；為胞元壁長度；為胞元壁的高度；為薄板扭轉(zhuǎn)引入的修正系數(shù)。

波紋壁板受力圖如圖4。值得注意的是由于正弦曲線薄板在端面受到力矩作用時(shí)，一方面在各個(gè)截面會(huì)產(chǎn)生彎矩和扭矩分量，因此在各微元段會(huì)出現(xiàn)彎扭復(fù)合的現(xiàn)象，另一方面各微元段的彎矩與扭矩分量也會(huì)隨著截面法向量的變化而變化。為修正正弦波紋壁板的扭轉(zhuǎn)變形，本研究采用商業(yè)有限元軟件ABAQUS對正弦波紋壁板施加扭矩時(shí)的變形能進(jìn)行提取，對扭轉(zhuǎn)修正系數(shù)進(jìn)行反解。

圖4 波紋壁板受力圖Fig.4 Moments acting on corrugated wall

在此基礎(chǔ)上，對于胞元單個(gè)壁板的變形能，可表示為：

(9)

因此，整個(gè)單胞元的變形能為：

(10)

接下來分別對波紋壁板及直壁板的變形能進(jìn)行分析。將波紋壁板離散為多個(gè)微元板，如圖4所示可得各處的彎矩和扭矩分別為：

(11)

其中根據(jù)波紋幾何方程(1)可得：

(12)

結(jié)合式(1)、式(9)、式(11)、式(12)，可得波紋板壁板變形能為：

(13)

其中：

(14)

結(jié)合式(7)、式(9)、式(10)、式(13)，可得整個(gè)單胞元的變形能為：

(15)

對比式(5)和式(14)，根據(jù)能量等效，可得：

(16)

其中=0，結(jié)合薄板理論中關(guān)系式：=，可以推導(dǎo)出該結(jié)構(gòu)泊松比、也為0。一方面說明了將結(jié)構(gòu)等效成為正交各向異性薄板，采用能量等效原理求解等效剛度的方法不會(huì)影響結(jié)構(gòu)的零泊松比特性；另一方面也說明本研究提出的新結(jié)構(gòu)在受到純彎矩和作用時(shí)，兩正交方向的彎曲變形不存在耦合效應(yīng)，這從彎曲變形的角度也驗(yàn)證了該結(jié)構(gòu)的零泊松比特點(diǎn)。此外，可以看出與并不相等，且與外載荷無關(guān)，主要取決于結(jié)構(gòu)與材料參數(shù)；其中主要取決于直壁板部分，與直壁板厚度比()以及壁高、蜂窩角直接相關(guān)，而則主要取決于波紋壁板，與波紋度()、波紋壁厚、壁高、蜂窩角直接相關(guān)。

3 有限元模型

本文采用Python實(shí)現(xiàn)參數(shù)化建模，使用商業(yè)有限元軟件ABAQUS對結(jié)構(gòu)的彎曲剛度進(jìn)行模擬，有限元模型如圖5。在不同規(guī)模下進(jìn)行彎曲剛度的仿真模擬，邊界條件如表1所示，經(jīng)對比可發(fā)現(xiàn)，不同規(guī)模下的彎曲剛度具有較好的一致性。因此后續(xù)仿真均為針對不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的單胞元結(jié)構(gòu)，并將反解結(jié)果與理論模型進(jìn)行對比。

圖5 有限元模型示意圖Fig.5 FEM model of honeycomb structure

表1 有限元模型邊界條件Table 1 FEM model boundary conditions

本研究中尚不考慮材料的非線性，且采用各向同性材料進(jìn)行數(shù)值模擬，材料參數(shù)選用彈性模量=200 GPa和泊松比=0.3。此外，考慮到壁厚相對較小，應(yīng)用S8R殼單元進(jìn)行模擬，仿真模型如圖5所示。根據(jù)薄板理論，采用彎矩和撓度的比值表征等效彎曲剛度，具體計(jì)算式為：

(17)

式(17)中，與分別為、端面的撓度值。

圖6展示了使用殼單元仿真的結(jié)果。從變形圖6(a)中可以看出，結(jié)構(gòu)沿方向拉伸時(shí)，方向不會(huì)產(chǎn)生變形；此外，對比彎曲變形圖6(b)與圖6(c)、圖6(d)，其中圖6(b)為典型正泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)，可以看出其在面外變形時(shí)呈現(xiàn)“馬鞍效應(yīng)”，符合正泊松比結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，而本研究中新型結(jié)構(gòu)在單方向彎曲時(shí)并不會(huì)引起正交方向的耦合變形，彎曲面較為平順。這些特點(diǎn)都進(jìn)一步驗(yàn)證了新結(jié)構(gòu)的零泊松比特性，也說明了殼單元不會(huì)對結(jié)構(gòu)的泊松比特性產(chǎn)生影響。

圖6 有限元仿真結(jié)果示意圖Fig.6 Schematic diagram of FEM results

4 結(jié)果討論與分析

4.1 與現(xiàn)有理論模型的對比

本文結(jié)構(gòu)中當(dāng)波紋度()為0時(shí)，結(jié)構(gòu)可退化為手風(fēng)琴式蜂窩結(jié)構(gòu)，可采用文獻(xiàn)[8]中的理論模型進(jìn)行求解。選取=10 mm，=0.1 mm，=0.2 mm，=10 mm，=20 mm時(shí)，本文理論解、有限元解與文獻(xiàn)結(jié)果如圖7所示。從圖7中可以看出，本文理論解、有限元解以及文獻(xiàn)解三者在2個(gè)正交方向的彎曲剛度上均吻合較好，驗(yàn)證了本文模型的正確性以及對于手風(fēng)琴式蜂窩結(jié)構(gòu)的適用性。此外可看出和隨蜂窩角的增大呈現(xiàn)相反的變化規(guī)律，另一方面從理論推導(dǎo)過程可以看出主要取決于直壁，而取決于傾斜壁板，這導(dǎo)致在量級(jí)上大于，呈現(xiàn)出典型的正交異性特征。

4.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對D11的影響

根據(jù)理論推導(dǎo)，主要與蜂窩角()、直壁厚度比()、以及壁高()相關(guān)。因此該部分選取=10 mm，主要針對這3個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)對的影響進(jìn)行分析。圖8—圖10分別展示了它們對的影響，可以看出理論值與仿真值吻合度較高，最大誤差不超過0.7%，進(jìn)一步驗(yàn)證了理論解的正確性與適用性。

圖7 蜂窩角β對彎曲剛度的影響曲線(H=0)Fig.7 Variations of the bending stiffness with angle β(H=0)

圖8展示了在=2 mm、=0.1 mm、=2 mm時(shí)，分別為0.2 mm、0.4 mm、0.6 mm下，蜂窩角由20°變化至60°時(shí)的變化規(guī)律。從圖8可以看出，不同的下，均隨著蜂窩角的增大呈現(xiàn)下降趨勢，且隨著的增大而增大。圖9進(jìn)一步描述了=60°時(shí)，不同壁高下對的影響規(guī)律，由圖9可以看出，與直壁厚呈現(xiàn)線性正相關(guān)的趨勢，與理論推導(dǎo)相符，且隨著的增大，增長速度也逐漸增大。

圖8 不同直壁厚th下蜂窩角β對D11的影響曲線Fig.8 The bending stiffness D11versus the cell angles β for various thickness th

圖9 不同壁高w下直壁厚th對D11的影響曲線Fig.9 The bending stiffness D11versus the thickness th for various height w

圖10對比了在=0.2 mm、=0.1 mm、=60°時(shí)，不同波紋壁幅值下壁高對的影響情況。對比發(fā)現(xiàn)對的變化較為靈敏，與其三次方呈正相關(guān)，即在增加2倍時(shí)，將增加8倍，這與理論推導(dǎo)結(jié)論一致。此外，可以看出與無關(guān)，這是由于主要取決于直壁的貢獻(xiàn)，而波紋斜壁的引入并不會(huì)降低，這有利于同時(shí)滿足變形與承載功能。

圖10 不同波紋幅值H下壁高w對D11的影響曲線Fig.10 The bending stiffness D11versus the height w for variousamplitude H

4.3 結(jié)構(gòu)參數(shù)對D22的影響

根據(jù)理論推導(dǎo)，主要與波紋度()、蜂窩角()、波紋壁厚()、以及壁高()相關(guān)。該部分同樣在=10 mm條件下，主要針對這4個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)對的影響進(jìn)行分析。

圖11描述了在=2 mm、=0.1 mm、=0.2 mm時(shí)，彎曲剛度在不同的下，隨變化呈現(xiàn)出的不同變化規(guī)律。對比有限元結(jié)果與理論解，可以發(fā)現(xiàn)均吻合較好，誤差均小于5。此外，在較小時(shí)，可以看出彎曲剛度對的變化不敏感；而當(dāng)較大為60°時(shí)，隨著波紋幅值的增大呈現(xiàn)明顯下降趨勢。=2 mm時(shí)，對比不同蜂窩角對的影響如圖12所示。

圖11 不同蜂窩角β下波紋幅值H對D22的影響曲線Fig.11 The bending stiffness D22versus the amplitude H for various cell angles β

圖12 不同波紋壁厚tl下蜂窩角β對D22的影響曲線Fig.12 The bending stiffness D22versus the cell angles β for various thickness tl

從圖12中可以看出，整體呈現(xiàn)出隨的增大而增大的趨勢，這是由于的增大使得波紋壁變形逐漸以彎曲變形為主，扭轉(zhuǎn)變形則逐漸減小，而胞壁承彎能力較強(qiáng)，因此單胞的彎曲剛度增大；此外在較小時(shí)，的增長較緩慢。不同壁厚，不同壁高下的結(jié)果如圖13所示。

圖13 不同壁高w下波紋壁厚tl對D22的影響曲線Fig.13 The bending stiffness D22versus the thickness tl for various height w

從圖13中可以看出，隨的增大而增大，這是由于的增大使得傾斜壁板的截面慣性矩增大，進(jìn)而使得單胞的彎曲剛度增大。此外可以發(fā)現(xiàn)在、均較大時(shí)，有限元與理論解，會(huì)出現(xiàn)一定誤差，這是由于在這種情況下，基于薄板理論的推導(dǎo)過程中未得到充分考慮的剪切變形所致。等效彎曲剛度針對的參數(shù)化分析如圖14所示，設(shè)置為為0.1 mm不變，從圖14中可以發(fā)現(xiàn)，在不同的波紋幅值情況下均隨的增大而增大，且相比于手風(fēng)琴蜂窩結(jié)構(gòu)(=0)，可以看出波紋壁的引入，使得有一定程度的下降，尤其是在較大時(shí)，對波紋度較為敏感。

圖14 不同波紋幅值H下壁高w對D22的影響曲線Fig.14 The bending stiffness D22versus the height w for various amplitude H

5 結(jié)論

針對具有正弦波紋壁板的新型零泊松比類蜂窩結(jié)構(gòu)的彎曲性能，基于能量法建立了等效剛度模型，進(jìn)行了仿真驗(yàn)證與參數(shù)分析，理論分析結(jié)果與有限元結(jié)果吻合度較高，證明了理論解推導(dǎo)正確，為后續(xù)結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。得出以下結(jié)論：

1) 該結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)大于，呈現(xiàn)典型的正交各向異性，且隨蜂窩角的增大而減小，變化趨勢與之相反。

2)與波紋度無關(guān)，且在波紋壁厚與蜂窩角較小時(shí)，對波紋度的變化不敏感；而在為60°時(shí)，隨波紋度的增大顯著下降。

3)與直壁厚呈線性正相關(guān)，隨波紋壁厚的增大逐漸增大，兩者均隨著壁高的增大而顯著提升。